1、第八節多元函數的極值及其求法教學目的：了解多元函數極值的定義，熟練掌握多元函數無條件極值存在的判定方法、求 極值方法，并能夠解決實際問題。熟練使用拉格朗日乘數法求條件極值。教學重點：多元函數極值的求法。教學難點：利用拉格朗日乘數法求條件極值。教學內容：一、多元函數的極值及最大值、最小值定義設函數zf（x，y）在點（xo，y。）的某個鄰域內有定義，對于該鄰域內異于（xo，y。）的點，如果都適合不等式f（x, y） f（x0,y0），則稱函數f（x,y）在點（x0,y。）有極大值 f（x0,y。）。如果都適合不等式f（x,y） f（x0, y0），則稱函數f（x，y）在點（x0,%）有極小值f（x

2、o，yo）極大值、極小值統稱為極值。使函數取得 極值的點稱為極值點。例 1 1 函數z 3x?4 4/ /在點（0 0, 0 0）處有極小值。因為對于點（0 0, 0 0）的任一鄰域內異于（0 0， 0 0）的點，函數值都為正，而在點（ 0 0， 0 0）處的函數值為零。從幾何上看這是顯然22的，因為點（0 0, 0 0, 0 0）是開口朝上的橢圓拋物面z3x 4y 的頂點。例2函數zX y2在點（0 0, 0 0）處有極大值。因為在點（0 0, 0 0）處函數值為零， 而對于點（0 0, 0 0）的任一鄰域內異于（0 0, 0 0）的點，函數值都為負，點（0 0, 0 0, 0 0）是位于

3、xOy 平面下方的錐面zx2 y2的頂點。例3函數z xy在點（0 0, 0 0）處既不取得極大值也不取得極小值。因為在點（0 0, 0 0） 處的函數值為零，而在點（0 0, 0 0）的任一鄰域內，總有使函數值為正的點，也有使函數值 為負的點。定理 1 1 （必要條件）設函數zf（x,y）在點（Xo,y0）具有偏導數，且在點（Xo,y0）處有極 值，則它在該點的偏導數必然為零：證不妨設z f（x，y）在點（X0，y0）處有極大值。依極大值的定義，在點（X0，y0）的某鄰域 內異于（X0,y。）的點都適合不等式特殊地，在該鄰域內取 y y。，而xX。的點，也應適合不等式這表明一元函數f（x,y

4、。）在 X X。處取得極大值，因此必有類似地可證從幾何上看，這時如果曲面z f（x，y）在點（Xo，yo，Z0）處有切平面，則切平面成為平行于xOy坐標面的平面z Z00。仿照一元函數，凡是能使fx（X,y）0,fy（x,y）0同時成立的點（X0，y0）稱為函數zf（x,y）的駐點，從定理 1 1 可知，具有偏導數的函數的極值點必定是駐點。但是函數的駐點不一定 是極值點，例如，點（0 0,0 0）是函數zxy 的駐點，但是函數在該點并無極值。 怎樣判定一個駐點是否是極值點呢？下面的定理回答了這個問題。定理 2 2 (充分條件)設函數zf (x,y)在點(X。，y。)的某鄰域內連續且有一階及二階

5、連續偏導數， 又fx(x0,y0) 0, fy(x0, y0) 0，令則 f(x,y)在(X0,yo)處是否取得極值的條件如下：2(1)(1) AC B2。時具有極值，且當 A A。時有極大值，當 A A。時有極小值；2(2)(2) AC B2。時沒有極值；2(3)(3) AC B2。時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。這個定理現在不證。利用定理 1 1、2 2,我們把具有二階連續偏導數的函數z f(x，y)的 極值的求法敘述如下：第一步解方程組求得一切實數解,即可以得到一切駐點。第二步對于每一個駐點(X0，yo)，求出二階偏導數的值 A，B 和 C C。第三步定出 AC B2的符號，

6、按定理 2 2 的結論判定f(x0，y0)是否是極值、是極大值還是 極小值。例 1 1 求函數f(x，y)x3 y3 3x2 3y2 9x的極值。解先解方程組求得駐點為( 1,1,。)、(1,21,2)、( -3,-3,。)、(-3,2-3,2 )。再求出二階偏導數在點(1,0)(1,0)處，AC B 12 6 0 又 A A 0 0，所以函數在(1，)處有極小值 f(1，)5;2在點(1,2)(1,2)處，AC B12 (6)，所以f(1,2)(1,2)不是極值；在點(-3,0)(-3,0)處，AC B212 6，所以f(-3,0)(-3,0)不是極值；2在點(-3,2)(-3,2)處，AC

7、B12 (6)0又 A A 0 0 所以函數在(-3,2)(-3,2)處有極大值f(-3,2)=31(-3,2)=31。例 2 2 某廠要用鐵板作成一個體積為 2nn2nn 的有蓋長方體水箱。問當長、寬、高各取怎樣的 尺寸時，才能使用料最省。2 m解設水箱的長為 xmxm ,寬為 ym，則其高應為 xy ，此水箱所用材料的面積22A 2(xy y x ) xy xyA 2(xy2-)0即x y ( x x 0 0，y 0)可見材料面積 A 是 x x 和 y 的二元函數，這就是目標函數，下面求使這函數取得最小值的點(x,y)解這方程組，得:Ax2( y電)xX邁,yV2從這個例子還可看出，在體

8、積一定的長方體中，以立方體的表面積為最小。、條件極值拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法要找函數zf(x，y)在附加條件(x，y)0下的可能極值點，可以先構成輔助函數其中為某一常數求其對 X X 與 y 的一階偏導數，并使之為零，然后與方程(2)(2)聯立f fx(x,(x, y)y)x(x,(x, y)y) 0,0,f fy(x,(x, y)y)y(x,(x, y)y) 0,0,(x,y)(x,y) 0.0.( i i由這方程組解出 x x，y 及，則其中 x x，y 就是函數 f(x,y)在附加條件下(x,y) 的可能極值點的坐標。這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。例如，要求函

9、數在附加條件(x,y,z,t)0，(x, y, z,t) 0下的極值，可以先構成輔助函數其中1，2均為常數，求其一階偏導數，并使之為零，然后與 (2)(2)中的兩個方程聯立起來 求解，這樣得出的 X X、y y、Z Z、t就是函數 f(x,y,乙 t)在附加條件 下的可能極值點的坐標。至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判2例 3 3 求表面積為 a 而體積為最大的長方體的體積。解設長方體的三棱長為 x, y,z，則問題就是在條件下，求函數的最大值。構成輔助函數求其對 x x、y y、z z 的偏導數，并使之為零，得到yzyz 2(2( y y z)z) 0 0 xzxz 2(x2(x z)z) 0 0 xyxy 2(2( y y z)z) 0 0 再與(10)(10)聯立求解。因 x、y、z都不等于零，所以由(11)(11)可得y = yz， z = x z .由以上兩式解得(x, y,z,t) 2xy 2yz2xz a20(3 3)(4(4)將此代入式(10)(10)，便得6ax y z= = 6這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能2的極值點處取得。也就是說，表面積為 a 的長方體中，以棱長為、6a/6 的正方