1、第十章第十章 矩陣位移法矩陣位移法10-1 概述概述10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 10-3 單元剛度矩陣的坐標轉換單元剛度矩陣的坐標轉換10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣10-5 支承條件的引入支承條件的引入10-6 非結點荷載的處理非結點荷載的處理10-7 矩陣位移法的計算步驟及示例矩陣位移法的計算步驟及示例10-8 幾點補充說明幾點補充說明手算：手算：小型、簡單問題，講究技巧。小型、簡單問題，講究技巧。一一、手算與電算比較：、手算與電算比較：電算：電算：大型、復雜問題，要求方法具有系統(tǒng)性、大型、復雜問題，要求方法具有系統(tǒng)性、 通用性。通用性。結構力學中的電算方法結構力學中

2、的電算方法 結構矩陣分析方法結構矩陣分析方法 (桿件有限元法桿件有限元法) 結構矩陣分析方法是以傳統(tǒng)結構力學理論為基礎、結構矩陣分析方法是以傳統(tǒng)結構力學理論為基礎、以矩陣作為數(shù)學表述形式、以電子計算機作為計算手以矩陣作為數(shù)學表述形式、以電子計算機作為計算手段大規(guī)模的計算方法。段大規(guī)模的計算方法。 超靜定結構分析：超靜定結構分析： 力法，位移法，力矩分配法。力法，位移法，力矩分配法。10-1 概述概述二、結構矩陣分析方法二、結構矩陣分析方法特點與分類：特點與分類： (1) 公式推導書寫簡明公式推導書寫簡明, ,導出公式緊湊導出公式緊湊, ,形式規(guī)格化。形式規(guī)格化。 矩陣力法矩陣力法( (或稱柔度

3、法或稱柔度法) )以力作為基本未知量。以力作為基本未知量。 矩陣位移法矩陣位移法( (或稱剛度法）或稱剛度法）采用結點位移作為基采用結點位移作為基本未知量。借助矩陣進行分析，并用計算機解決各種本未知量。借助矩陣進行分析，并用計算機解決各種桿系結構受力、變形等計算的方法。桿系結構受力、變形等計算的方法。 (2) 各種情況可統(tǒng)一處理，通用性強。各種情況可統(tǒng)一處理，通用性強。 (3) 計算過程規(guī)范化，適合計算機進行自動化解算。計算過程規(guī)范化，適合計算機進行自動化解算。 對于桿系結構，對于桿系結構，矩陣位移法矩陣位移法因易于編制通用的計算程序。因易于編制通用的計算程序。10-1 概述概述三、矩陣位移法

4、的三、矩陣位移法的思路思路 ：1）離散，進行單元分析單元分析，建立單元桿端力和桿端位移的關系。2）集合，進行整體分析整體分析，建立結點力與結點位移的關系。任務任務意義意義單元單元分析分析建立桿端力與桿端位移建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單間的剛度方程，形成單元剛度矩陣元剛度矩陣用矩陣形式表示桿用矩陣形式表示桿件的轉角位移方程件的轉角位移方程整體整體分析分析由變形條件和平衡條件由變形條件和平衡條件建立結點力與結點位移建立結點力與結點位移間的剛度方程，形成整間的剛度方程，形成整體剛度矩陣體剛度矩陣用矩陣形式表示位用矩陣形式表示位移法基本方程移法基本方程10-1 概述概述 構造結點構造結點:

5、 :桿件的轉折點、匯交點、支承點和截面突桿件的轉折點、匯交點、支承點和截面突變點。變點。 非構造結點非構造結點: :一根等截面直桿內的單元與單元之間的一根等截面直桿內的單元與單元之間的結點。結點。 1. 結點和單元結點和單元 單元與單元之間通過單元與單元之間通過結點結點聯(lián)結，結點一經確定，則單聯(lián)結，結點一經確定，則單元也就全部確定了。元也就全部確定了。 單元單元最基本的分析部件，最簡單的單元是等截面最基本的分析部件，最簡單的單元是等截面直桿。直桿。 梁單元梁單元受軸力、還受剪力和彎矩作用則稱為梁單受軸力、還受剪力和彎矩作用則稱為梁單元（梁、剛架）。元（梁、剛架）。 軸力單元軸力單元只受軸力作用

6、的單元（桁架）。只受軸力作用的單元（桁架）。 四、基本概念四、基本概念 10-1 概述概述2. 坐標系坐標系4321123234 結構整體坐標系結構整體坐標系xoy用于描述結構整體的量用于描述結構整體的量結點的坐標、結點的位移、作用在結構上的外力等。結點的坐標、結點的位移、作用在結構上的外力等。 單元局部坐標系單元局部坐標系固定在單元上，固定在單元上， 軸與桿軸重合軸與桿軸重合, ,自自 軸逆時針旋轉軸逆時針旋轉900時時的方向為的方向為 軸正向。用于描述單元的桿軸正向。用于描述單元的桿端力和桿端位移等。端力和桿端位移等。 xxy10-1 概述概述將結構離散成單元的分割點稱作結點將結構離散成單

7、元的分割點稱作結點. .634512結點的選擇結點的選擇: :轉折點、匯交點、支承點、轉折點、匯交點、支承點、 剛度變化、荷載作用點等剛度變化、荷載作用點等整體編碼：單元編碼、結點編碼、整體編碼：單元編碼、結點編碼、 結點位移編碼。結點位移編碼。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐標系坐標系: :整體整體( (結構結構) )坐標系坐標系; ;X XY Y局部局部( (單元單元) )坐標系坐標系. .曲桿結構曲桿結構: :以直代曲以直代曲. .變截面桿結構變截面桿結構: :以等截面桿以等截面桿 代變截面桿代變截面桿10-1 概述

8、概述 不忽略單元的軸向變形時，平面結構中每個剛結不忽略單元的軸向變形時，平面結構中每個剛結點都有點都有3個獨立的位移（個獨立的位移（2個獨立線位移、個獨立線位移、1個角位個角位移），每一個鉸結點則有移），每一個鉸結點則有2個獨立線位移。個獨立線位移。 平面剛架單元的桿力列向量為平面剛架單元的桿力列向量為 TSNSNjjjiiiMFFMFFeF( (10-1) ) 平面剛架單元的桿端位移列向量為平面剛架單元的桿端位移列向量為 T)(jjjiiievuvu (10-2） 注意：注意：桿端力與桿端位移必定是一一對應的，即有桿端力與桿端位移必定是一一對應的，即有幾個桿端位移分量就有幾個桿端力分量。幾個

9、桿端位移分量就有幾個桿端力分量。 3. 桿端位移和桿端力桿端位移和桿端力10-1 概述概述 平面桁架鉸結點只有兩個獨立的線位移，與此對平面桁架鉸結點只有兩個獨立的線位移，與此對應，桁架單元的桿端力只有軸力和剪力與其對應，但應，桁架單元的桿端力只有軸力和剪力與其對應，但實際上桁架單元的剪力總是為零的，所以有實際上桁架單元的剪力總是為零的，所以有TNN00jieFFF( (10-3) ) 桿端位移向量桿端位移向量 Tjjiievuvu (10-4) 其他任何單元都存在桿端力與桿端位移一一對其他任何單元都存在桿端力與桿端位移一一對應的關系。應的關系。 FFNN12e12桿端力向量桿端力向量21212

10、1vuuve10-1 概述概述 作用于結點上的所有的力的合力作用于結點上的所有的力的合力, 沿坐標軸方沿坐標軸方向分解為三個分量向分解為三個分量, 構成該結點的構成該結點的結點力向量結點力向量。4. 結點力和結點位移結點力和結點位移 與結點力向量對應的是與結點力向量對應的是結點位移向量結點位移向量，是矩陣，是矩陣位移法的位移法的基本未知量基本未知量。注意：注意：結點力和結點位移都是相對于結點力和結點位移都是相對于整體坐標系整體坐標系的。的。 10-1 概述概述桿端位移和桿端力桿端位移和桿端力的正負號：的正負號： 作用在作用在結點上的外力和結點位移結點上的外力和結點位移的正負號：的正負號： 5.

11、 正負號規(guī)定正負號規(guī)定（強調）（強調） 凡是與單元坐標軸方向一致的位移和力均為正值，凡是與單元坐標軸方向一致的位移和力均為正值，反之為負值。反之為負值。 力矩和轉角以力矩和轉角以逆時針逆時針方向為正，反之為負。方向為正，反之為負。 與整體坐標系方向一致的結點力和結點位移為正，與整體坐標系方向一致的結點力和結點位移為正，反之為負。反之為負。 以以逆時針逆時針轉的結點力矩和結點轉角為正值轉的結點力矩和結點轉角為正值, ,反之為反之為負值。負值。10-1 概述概述矩陣位移法基本思想矩陣位移法基本思想:- 結構離散化結構離散化將結構拆成桿件，桿件稱作將結構拆成桿件，桿件稱作單元單元。單元的連接點稱作單

12、元的連接點稱作結點結點。對單元和結點編碼對單元和結點編碼.634512e單元桿端力單元桿端力- 整體分析整體分析單元桿端力單元桿端力結點外力結點外力單元桿端位移單元桿端位移結點外力結點外力單元桿端位移單元桿端位移(桿端位移桿端位移=結點位移結點位移)結點外力結點外力結點位移結點位移基本未知量基本未知量:結點位移結點位移10-1 概述概述1. 建立建立單元桿端力與桿端位移之間的關系單元桿端力與桿端位移之間的關系 截面直桿單元截面直桿單元e , 其其桿端位移列向量與桿端力列桿端位移列向量與桿端力列向量分別為向量分別為 TejejejeieieievuvuTejeyjexjeieyiexieMFFM

13、FFF10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 當桿端軸向位移為當桿端軸向位移為 、 時，時， ，由胡克由胡克定律得桿件軸向變形的剛度方程為定律得桿件軸向變形的剛度方程為eiuejueiejijuulejeieiejexjejeieiejexiulEAulEAuulEAFulEAulEAuulEAF)()( （a） 在線性小位移范在線性小位移范圍內，忽略軸向受力圍內，忽略軸向受力狀態(tài)與彎曲向受力狀狀態(tài)與彎曲向受力狀態(tài)之間的影響。態(tài)之間的影響。10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 桿端橫向位移桿端橫向位移ij正負正負號規(guī)定號規(guī)定: :使使桿的桿的j 端繞端繞 i 端端作順時針轉時為正值。作順時針轉時為正

14、值。)(eiejijvv 由兩端固定等截面由兩端固定等截面直桿的轉角位移方程有直桿的轉角位移方程有ejejeieieyjejejeieieyiejejeieieiejejeiejejejeieieiejejeieilEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIlvviiiMlEIvlEIlEIvlEIlvviiiM2323232322226126126126124626)(6422646)(624（b） 10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣將上述將上述（a）和和（b）兩式合在一起，寫成矩陣形式，有兩式合在一起，寫成矩陣形式，有 ejeyjexjeieyi

15、exiMFFMFFlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323ejejejeieieivuvu =單元在局部坐標系中的單元剛度方程。單元在局部坐標系中的單元剛度方程。它可記為它可記為 eeeKF（10-6a） 10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣其中其中 （10-7）1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEI

16、lEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeKeK 稱為局部坐標系中的單元剛度矩陣（簡稱單剛）。稱為局部坐標系中的單元剛度矩陣（簡稱單剛）。 的行數(shù)等于桿端力向量的分量數(shù)的行數(shù)等于桿端力向量的分量數(shù), 列數(shù)等于桿端位列數(shù)等于桿端位移向量的分量數(shù)，移向量的分量數(shù)， eKeK 的每一個元素稱為單元剛度系數(shù)，其表示了一個力。的每一個元素稱為單元剛度系數(shù)，其表示了一個力。10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 任一元素任一元素 表示當表示當j號位移為一單位時引起桿端沿號位移為一單位時引起桿端沿i 號號位移方向的反力。位移方向的反力。eijk1iu1iv1i1

17、ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 單剛陣單剛陣 中某一列的六個元素表示當某個稈端位移中某一列的六個元素表示當某個稈端位移分量等于分量等于1時所引起的時所引起的六六個桿端力分量。個桿端力分量。eK 第第1列的列的六六個元素就是當個元素就是當 (即端點即端點i沿沿 正方向發(fā)正方向發(fā)生單位位移生單位位移)時，單元的時，單元的六六個桿端力分量。個桿端力分量。1eiu

18、x1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣1 2 4 3 5 6 10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣1F2F3F4F5F6F10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣111 lEAF 114 lEAF52232212FlEIF 6222326FlEIF 10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣3334 lEIF3632 lEIF5332236FlEIF 10-2

19、 單元剛度矩陣單元剛度矩陣414 lEAF444 lEAF55525312EIFFl 3556526EIFFl 10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣6664 lEIF6362 lEIF5662266FlEIF 10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 2. . 單元剛度矩陣的特性單元剛度矩陣的特性（反力互等定理）（反力互等定理） （1） 是對稱矩陣。是對稱矩陣。 )(jikkejieijeK1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlE

20、IlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 表達的桿端力和桿端位移的關系，表達的桿端力和桿端位移的關系，對應對應于一個完全的自由單元，于一個完全的自由單元，沒有任何支承約束，可以有沒有任何支承約束，可以有任意的剛體位移。任意的剛體位移。(2) 是奇異矩陣。是奇異矩陣。eK即即 ，其逆矩陣不存在，其逆矩陣不存在.0 eK可以由桿端位移可以由桿端位移 確定桿端力確定桿端力 。反之，若已知桿端。反之，若已知桿端力力 ，卻不能由式，卻不能由式 反求桿端位移反求桿端位移 。eeeFeFeeeKFeeeKF物理概念為：物理概念為： 局部坐標系中的單元剛度矩陣局部坐標系中的

21、單元剛度矩陣 ，只與單元的幾何形，只與單元的幾何形狀、尺寸和物理常數(shù)有關，與單元在結構中的位置無關。狀、尺寸和物理常數(shù)有關，與單元在結構中的位置無關。(3) 位置無關性位置無關性eK矩陣位移法的單元體現(xiàn)了更強的通用性。矩陣位移法的單元體現(xiàn)了更強的通用性。10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元剛度矩陣為單元剛度矩陣為: : eKlEAlEAlEAlEAlEA00000101000001010000000000003. . 其他單元的單元剛度矩陣其他單元的單元剛度矩陣TT00exjexieejejeieieFFvuvuFejejeieiexjexivuvulEAlEAlEAlEAFF0000000

22、0000000 （10-9）( (1) ) 平面桁架單元平面桁架單元10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取作單元，桿端位移條件為：作單元，桿端位移條件為： ， ， ， 。 01eu01ev02ev02eu單元剛度方程為單元剛度方程為T21T21eeeeeMMe eF(10-11)單元剛度矩陣為單元剛度矩陣為eeeelEIlEIlEIlEIMM21214224lEIlEIlEIlEIe4224K（10-12）（10-13）(2) 連續(xù)梁單元連續(xù)梁單元桿端位移向量與單元桿端力向量為桿端位移向量與單元桿端力向量為: :10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩

23、陣 注意：注意：矩陣中只列出彎矩沒列出剪力。這并不矩陣中只列出彎矩沒列出剪力。這并不是說連續(xù)梁單元中沒有剪力是說連續(xù)梁單元中沒有剪力, , 只不過是只把桿端只不過是只把桿端轉角作為基本未知量來考慮而己。求出桿端彎矩轉角作為基本未知量來考慮而己。求出桿端彎矩, , 便可求出剪力。便可求出剪力。10-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 整體分析時必須建立一個統(tǒng)一的坐標系，稱為整體整體分析時必須建立一個統(tǒng)一的坐標系，稱為整體坐標系，其作用是把各單元上不同方向的量值統(tǒng)一到整坐標系，其作用是把各單元上不同方向的量值統(tǒng)一到整體坐標系方向上來。整體坐標系中，單元桿端位移向量體坐標系方向上來。整體坐標系中，單元桿端

24、位移向量記為記為 e , ,單元桿端力向量記為單元桿端力向量記為 Fe TTejeyjexjeieyiexiejejejeieieiMFFMFFvuvueeF問題的提出問題的提出10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換局部坐標系下的桿端力局部坐標系下的桿端力整體坐標系下的桿端力整體坐標系下的桿端力1. 單元坐標轉換矩陣單元坐標轉換矩陣 局部坐標系局部坐標系 與整與整體坐標系為體坐標系為xoy的夾角的夾角以以x軸逆時針轉到與局部坐軸逆時針轉到與局部坐標系標系 為正。為正。 xyox10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換j 端點桿端力轉換關系端點桿端力轉換關系 端點端

25、點i 處的桿端力分量，有下列轉換關系：處的桿端力分量，有下列轉換關系：eieieyiexieyieyiexiexiMMFFFFFFcossinsincos（10-10a） ejejeyjexjeyjeyjexjexjMMFFFFFFcossinsincos（10-10b） 整體坐標系下的桿端力與局部坐標系下的桿端力之間的關系整體坐標系下的桿端力與局部坐標系下的桿端力之間的關系10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換ejeyjexjeieyiexiejeyjexjeieyiexiMFFMFFMFFMFF1000000cossin-0000sincos0000001000000cos

26、sin-0000sincos簡記為簡記為 eeFTF將（將（10-10a）和（）和（10-10b）聯(lián)合起來寫成矩陣形式）聯(lián)合起來寫成矩陣形式10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換1000000cossin-0000sincos0000001000000cossin-0000sincosTTT稱為單元坐標轉換矩陣稱為單元坐標轉換矩陣, , TT是一正交矩陣。是一正交矩陣。T1TTI為與為與T 同階的單位矩陣。同階的單位矩陣。TTTTTT或或10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換同理同理 eeTTeeTeeFTF由由T-1eeeFTFTF可得可得cossin-00s

27、incos0000cossin-00sincosT坐標轉換矩陣為：坐標轉換矩陣為： 對平面桁架單元對平面桁架單元 ， 。011eeMM022eeMM10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換整體坐標系中的單元剛度方程寫為整體坐標系中的單元剛度方程寫為 eeeKF局部坐標系中的單元剛度方程寫為局部坐標系中的單元剛度方程寫為eeeKF由由 ， ，得，得eeFTFeeTeeeeeeTKKFTF等式兩邊左乘等式兩邊左乘 ，得，得TTTeeeeeKTKTF2. 整體坐標系中的單元剛度矩陣整體坐標系中的單元剛度矩陣TTTKee從而可得兩種坐標系中單元剛度矩陣轉換關系式從而可得兩種坐標系中單元剛

28、度矩陣轉換關系式: :10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換對于平面剛架單元，對于平面剛架單元，整體坐標系中的單元剛度矩陣為整體坐標系中的單元剛度矩陣為 iCliCliBCCliCCliBCliBCiCliCliiCliCliBCCCliBCliCliBCCliCCliBCliBCCliCCliBCliBCxxyyyxyxxyxxyyxxxyyyxyxyyxyxe46126121226646121261261212612122222222222222222222222對稱K式中：式中：sin;cos,yxCClEIilEAB10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換

29、平面桁架單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣為平面桁架單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣為: : lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(稱對K 整體坐標系中的單元剛度矩陣整體坐標系中的單元剛度矩陣 具有與具有與 類似的性類似的性質質(對稱性和奇異性對稱性和奇異性)。 eKeK10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換eieyiexieiMFFFejeyjexjejMFFFeieieieivuejejejejvu2 表示單元表示單元 j 端產生單位位移時引起端產生單位位移時引起 i 端的桿端力。端的桿端力。eijK對于平面剛架單元對于平面剛架單元

30、整體分析中，對每一個結點分別建立平衡方程，為了整體分析中，對每一個結點分別建立平衡方程，為了討論方便，將單元剛度方程按兩端的結點討論方便，將單元剛度方程按兩端的結點 i 、j 進行分塊，進行分塊，寫為寫為對于平面剛架單元，它們都是對于平面剛架單元，它們都是33階方陣。階方陣。對于平面桁架單元，它們都是對于平面桁架單元，它們都是22階方陣。階方陣。 ejeiejjejieijeiiejeiKKKKFF10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換例例: :整體單剛的計算整體單剛的計算 48602460610610005 . 0005 . 024004860610610005 . 0005

31、 . 021kk, 1/12, 6/2lilEAl2xy1l已知已知: :1212EI12; 6 lEA求求: :各單元整體單剛各單元整體單剛解解: :484 ,242 , 6/6iili01 1000000100000010000001000000100000011T 11111kTkTkT10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換 1000000010000100000001000000010000102T9024806240605 .0005 .006016012406480605 .0005 .00601601 2222TkTkT10-3 單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣

32、的坐標變換分析任務分析任務: :建立結點力與結點位移的關系建立結點力與結點位移的關系- -結構的剛度方程結構的剛度方程例例: : 4321FFFFF 4321第一步第一步: : 編號，建坐標編號，建坐標符號：與整體坐標正向為正。iiiivu iiiiMYXF結點力列向量結點力列向量結點位移列向量結點位移列向量其中：10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣 1F、 4F 支座反力 2F、 4F 結點外力 F F= = K K 表示整個結構在整體坐標系中的結表示整個結構在整體坐標系中的結點位移與結點力之間的變換關系。點位移與結點力之間的變換關系。-明確任務明確任務有有n個結點的平面剛架，個結

33、點的平面剛架，是是3 3n階向量階向量。T222111)(nnnvuvuvuT2211)(nnvuvuvu F結構的結點力向量。它是由作用在每個結點上結構的結點力向量。它是由作用在每個結點上的外力的外力 ( (包括已知的荷載和未知的支座反力包括已知的荷載和未知的支座反力) ) 構成的。構成的。注意：注意：F與與的階數(shù)相同的階數(shù)相同, , 而且是一一對應的。而且是一一對應的。結構的結點位移向量。矩陣位移法的基本未知量結構的結點位移向量。矩陣位移法的基本未知量。 K 結構的整體剛度矩陣（總剛）。其行、列數(shù)等結構的整體剛度矩陣（總剛）。其行、列數(shù)等于結構結點的位移數(shù)。于結構結點的位移數(shù)。 10-4

34、結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣第二步：單元分析第二步：單元分析323332232232KKKKFF212221121121KKKKFF434443343343KKKKFF10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣第三步，利用變形條件和平衡條件建立第三步，利用變形條件和平衡條件建立 與與 F 的關系。的關系。分別對結點1，2，3，4進行分析10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣由變形條件： 222 333 1144由平衡條件：如結點如結點2 2：2220XXXX2220YYYY2220MMMM即： 222222222MYXMYXMYX即： 222FFF 323222221212

35、)(KKKKF10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣同理，對結點1、3、4的平衡條件為： 2121111KKF 434333332323)(KKKKF 4443434KKF寫成矩陣形式： 43214443342222322322222112114321000000KKKKKKKKKKKKFFFF10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣上式稱為結構的原始剛度方程，簡寫為：上式稱為結構的原始剛度方程，簡寫為： KF K稱為結構的原始剛度矩陣原始剛度矩陣，簡稱總剛總剛?？倓偠染仃囂匦钥倓偠染仃囂匦裕海? 1） K 是對稱方陣；是對稱方陣； kij=kji（反力互等定理），貯存總剛度矩陣

36、時，只反力互等定理），貯存總剛度矩陣時，只需貯存它的一半就行了。需貯存它的一半就行了。（2 2） K K 是稀疏矩陣；是稀疏矩陣；非零元素只分布在主對角線兩側的帶狀區(qū)域內。非零元素只分布在主對角線兩側的帶狀區(qū)域內。 表示結點位移表示結點位移 和結點力和結點力 F F 之間的關系，反映了結構之間的關系，反映了結構的剛度性質，而不涉及原結構上作用的的剛度性質，而不涉及原結構上作用的實際荷載實際荷載，并不是并不是原原結構的位移法基本方程。結構的位移法基本方程。10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣 當尚未引進支座條件的情況下，結構剛度方程當尚未引進支座條件的情況下，結構剛度方程是無法求解的（

37、未引進支座條件時，結構存在剛體是無法求解的（未引進支座條件時，結構存在剛體位移）。位移）。 （3）K 是一個奇異矩陣。是一個奇異矩陣。0K 特稱沒有引進支座條件的總剛度矩陣稱為特稱沒有引進支座條件的總剛度矩陣稱為原始原始總剛度矩陣總剛度矩陣。建立總剛度矩陣有兩種方法建立總剛度矩陣有兩種方法: : 1 1）理論推導）理論推導, , 即剛度法。即剛度法。 2 2）直接由單剛陣按一定的規(guī)律集成總剛度矩）直接由單剛陣按一定的規(guī)律集成總剛度矩陣，稱為陣，稱為直接剛度法直接剛度法10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣由總剛中元素的物理意義形成：由總剛中元素的物理意義形成：2(4,5,6)1(1,2

38、,3) 3(7,8,9)12921999291292221191211921.kkkkkkkkkFFF 則有則有: :912111921kkkFFF, 1193 , 20jj 若令若令: :11k21k31k41k51k61k71k81k91kli/651k61k41k2/12 li11211/12liklik/631241/12 liklik/661其他其他K Ki1i1為為0 0，這種方法太麻煩。，這種方法太麻煩。10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣桁架的指示矩陣為：桁架的指示矩陣為： 任何一個桿端都與一個結點對應。圖示桁架，其單元任何一個桿端都與一個結點對應。圖示桁架，其單元桿

39、端與結點號可用一個矩陣來表示。矩陣的行數(shù)為單元數(shù)，桿端與結點號可用一個矩陣來表示。矩陣的行數(shù)為單元數(shù)，列數(shù)為列數(shù)為2。每一行的兩個數(shù)分別表示該單元。每一行的兩個數(shù)分別表示該單元 i、j 端對應的端對應的結點號。這個矩陣稱為指示矩陣。結點號。這個矩陣稱為指示矩陣。指示矩陣實際指示矩陣實際上也給出了各上也給出了各單元坐標系。單元坐標系。423141433221G Gi j直接剛度法形成總剛度矩陣直接剛度法形成總剛度矩陣 直接剛度法直接剛度法直接由各單元剛度矩陣裝配形成總剛直接由各單元剛度矩陣裝配形成總剛度矩陣。是目前編制計算機程序最常用的方法。度矩陣。是目前編制計算機程序最常用的方法。 1. 1.

40、首先應將結構的結點和單元編號。編號可以任意編，首先應將結構的結點和單元編號。編號可以任意編，并不影響計算結果。并不影響計算結果。34123612F1F35F4410-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣2. 首先列出整體坐標表示的單元剛度矩陣。首先列出整體坐標表示的單元剛度矩陣。3. 將單元剛度矩陣劃分為將單元剛度矩陣劃分為4個子塊：個子塊： ejjejieijeiieK KK KK KK KK K 4. 按按“子塊搬家，對號入座子塊搬家，對號入座”的原則將單元剛度矩的原則將單元剛度矩陣中的子塊，一塊塊地搬入總剛度矩陣中，而搬入的位置陣中的子塊，一塊塊地搬入總剛度矩陣中，而搬入的位置則根據(jù)

41、指示矩陣則根據(jù)指示矩陣G 的規(guī)定來確定。的規(guī)定來確定。 一般的規(guī)律是：第一般的規(guī)律是：第e單元單元i 端對應結點號為端對應結點號為g, , j 端對應結點號為端對應結點號為h。“搬家搬家”時將該單元單元剛度矩時將該單元單元剛度矩陣中的子塊陣中的子塊Kij搬到總剛度矩陣中的子塊位置搬到總剛度矩陣中的子塊位置Kgh，即，即搬到總剛度矩陣中第搬到總剛度矩陣中第g子塊行，第子塊行，第h子塊列中去。子塊列中去。10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣yxji531K11 K13K31K33423141433221G)5(iiK K)5(ijK K)5(jiK K)5(jjK K 例如例如, ,圖示

42、桁架第圖示桁架第號單元的號單元的4個子塊，根據(jù)指個子塊，根據(jù)指示矩陣示矩陣G 的指示，分別搬到：的指示，分別搬到：34123612F1F35F4410-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣 2）用上述用上述 “子塊搬家，對號入座子塊搬家，對號入座” 裝配總裝配總剛度矩陣剛度矩陣的方法的方法也適用于其他任何桿件結構。也適用于其他任何桿件結構。各單元都按此原則各單元都按此原則“搬家搬家”后，桁架的總剛度矩陣為：后，桁架的總剛度矩陣為： 1 2 3 4 4321)6()4()3()3()6()4()3()5()3()2()2()5()6()2()6()2()1 ()1 ()4()5()1 ()5

43、()4()1 (jjjjjjjijijiijjjiijjjijiijijiiiijjjiijijijiiiiiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK K注意：注意： 1）總剛的）總剛的一個子塊位置中搬入幾個子塊時，這一個子塊位置中搬入幾個子塊時，這幾個子塊應疊加。幾個子塊應疊加。34123612F1F35F4410-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣總剛度矩陣的構造總剛度矩陣的構造 圖示桁架有圖示桁架有4個結點，有個結點，有8個位移分量。個位移分量。= =u1 v1 u2 v2

44、u3 v3 u4 v4T T總剛度矩陣則為總剛度矩陣則為8 階方陣階方陣：子塊行子塊行元素行元素行43218765432135kK32K 子塊列子塊列 1 2 3 4 元素列元素列 1 2 3 4 5 6 7 8 341234612F15F43F 將其分成將其分成4個子塊。平個子塊。平面桁架，每一結點具有兩個面桁架，每一結點具有兩個位移分量，每一子塊中就有位移分量，每一子塊中就有兩行兩列共兩行兩列共4個元素。個元素。 1. K32的物理意義是什么？的物理意義是什么？思考：思考：2. k35的物理意義是什么的物理意義是什么？10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣 1. 子塊子塊K32表示

45、結點表示結點2產生單位位移時引起的結產生單位位移時引起的結點點3的結點力。的結點力。 2. k35表示第表示第5號位移（結點號位移（結點3沿沿X方向的位移）方向的位移）為一單位時引起沿第為一單位時引起沿第3號位移（結點號位移（結點2沿沿y方向的位移）方向的位移）方向的力。這個力應該理解為相當于按位移法的基方向的力。這個力應該理解為相當于按位移法的基本結構所規(guī)定的結點本結構所規(guī)定的結點2的豎向附加約束的約束反力。的豎向附加約束的約束反力。4. 總剛度矩陣中某一元素的物理意義是什么？總剛度矩陣中某一元素的物理意義是什么？ 3. 對于空間桁架和平面剛架，每個子塊中含多對于空間桁架和平面剛架，每個子塊

46、中含多少個元素？少個元素？思考：思考： 答：答：10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣1）首先對其結點和單元進行編號如圖示。）首先對其結點和單元進行編號如圖示。 )()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK每個子塊都是由每個子塊都是由33階的階的9個元素構成的。個元素構成的。 3）列出剛架的指示矩陣）列出剛架的指示矩陣 i j54423221G G 2）列出各單元的用整體坐標表示的單元剛度矩陣）列出各單元的用整體坐標表示的單元剛度矩陣 為：為：)(eK K134223451平面剛架平面剛架 10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣對號入座裝配總剛度矩陣

47、為：對號入座裝配總剛度矩陣為： 1 2 3 4 554321000000000000)4()4()4()4()3()3()2()2()3()2()3()2() 1 () 1 () 1 () 1 (jjjiijiijjjijjjiijijiiiijjjiijiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK K4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣主子塊：主子塊：主對角線上的子塊， iiK副子塊：副子塊：非主對角線上的子塊， )(jiKiji，j相關單元：相關單元：連接結點i，j單元。i相關結點：相關結點：與結點 相鄰的結

48、點。 i相關單元：相關單元：與結點 相連的單元。 ii總剛的特點：總剛的特點：1） eeiiiiKK（e為結點i的相關單元） 2）若 i，j非相關，則 0ijK ，若 ij為相關，則 eijijKK（e為結點i, 的相關單元） j總剛的形成：對號入座，同號相加。單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律總結：單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律總結：10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣解：有關參數(shù) 1234xy123llmKNlEImKNlEIKNlEImKNlEImKNlEA3332333103221064410246/101212/10500單剛見教材（略）例：試求圖示剛架的原始剛度矩陣。 已知各桿 ,2

49、00GPaE mlmAmI4,101,1032224510-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣 64 0 500 24 0 12 32 0 24 281 0 500 0 24512 24 0 12 240512 32 24 0 281 0 24 12 0 24512 0 0 500240512 32024640 0 050000500 2401224012103稱對K10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣4,1058665444,kkkkk（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）10-4 結構的原始剛度矩陣結構的原始剛度矩陣12342Fx231Fy2M2M3

50、Fy3Fx3圖示剛架原始剛度方程圖示剛架原始剛度方程11111222212222233332333334444344000000FkkFkkkkFkkkkFkk 未知未知未知未知未知未知未知未知已知已知已知已知已知已知已知已知10-5 支承條件的引入支承條件的引入11111222212222233332333334444344000000FkkFkkkkFkkkkFkk 未知未知未知未知未知未知未知未知已知已知已知已知已知已知已知已知由于結點由于結點1 1、4 4為固定端，故支承約束條件為為固定端，故支承約束條件為1400代入結構原始剛度方程，有代入結構原始剛度方程，有222222333333

51、00FkkFkk 和和1122443300FkFk 10-5 支承條件的引入支承條件的引入22222233333300FkkFkk 其中其中為引入支承條件后的結構剛度方程，可寫為：為引入支承條件后的結構剛度方程，可寫為： KF式中：式中： 只包括已知結點荷載，只包括已知結點荷載， 只包括未知結點位只包括未知結點位移，此時的矩陣移，此時的矩陣 即為從結構的原始剛度矩陣中刪即為從結構的原始剛度矩陣中刪去與已知為零的結點位移對應的行和列而得到，稱為去與已知為零的結點位移對應的行和列而得到，稱為結結構的剛度矩陣或縮減的總剛。構的剛度矩陣或縮減的總剛。FK 此時，由于引入支承條件，消除了結構的任意剛體此

52、時，由于引入支承條件，消除了結構的任意剛體位移，故結構剛度矩陣為非奇異矩陣，可得到未知結點位移，故結構剛度矩陣為非奇異矩陣，可得到未知結點位移位移 的唯一解。（若此時結構剛度矩陣仍奇異，的唯一解。（若此時結構剛度矩陣仍奇異，說明原結構為幾何可變或瞬變體系）。說明原結構為幾何可變或瞬變體系）。10-5 支承條件的引入支承條件的引入 求出未知結點位移后，可由單元剛度方程計算各單求出未知結點位移后，可由單元剛度方程計算各單元的內力。整體坐標系下，單元桿端力為：元的內力。整體坐標系下，單元桿端力為：可求得局部坐標系下單元桿端力可求得局部坐標系下單元桿端力或：局部坐標系下單元桿端結點位移或：局部坐標系下

53、單元桿端結點位移同樣可求得局部坐標系下單元桿端力同樣可求得局部坐標系下單元桿端力eeeeeTKKFeeTeeeeKTFTFeeeKF10-5 支承條件的引入支承條件的引入1122443300FkFk 求出未知結點位移后，由式求出未知結點位移后，由式可計算支座反力。可計算支座反力。 但是，當全部桿件的內力都求出后，一般可由結點但是，當全部桿件的內力都求出后，一般可由結點平衡條件求支座反力更方便。平衡條件求支座反力更方便。10-5 支承條件的引入支承條件的引入54321000000000000)4()4()4()4()3()3()2()2()3()2()3()2()1()1()1()1(jjjii

54、jiijjjijjjiijijiiiijjjiijiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK42(4)(3)(3)(3)(2)(1)iijjjiijiiiijjKKKKKKKK(3)2 4圖示剛架的原始剛度矩陣圖示剛架的原始剛度矩陣134212345 舍棄與約束所對應的行和列，得到引進了支座條舍棄與約束所對應的行和列，得到引進了支座條件后的總剛度矩陣件后的總剛度矩陣： 這就是這就是后處理法后處理法，即即先集成總剛度矩陣先集成總剛度矩陣，然后再引然后再引進約束條進約束條。還有。還有先處理法先處理法，即，即先引進支座條件先引進支座條件，然

55、后然后集成總剛度矩陣。集成總剛度矩陣。( (暫略暫略) ) 10-5 支承條件的引入支承條件的引入 1 2 3 4 0000432103322)6()4()3()3()6()4()3()5()3()2()2()5()6()2()6()2() 1 () 1 ()4()5() 1 ()5()4() 1 (4432111vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFFFFjjjjjjjijijiijjjiijjjijiijijiiiijjjiijijijiiiiiiyxyx引進約束條件后的剛度方程：引進約束條件后的剛度方程：3322)5()3()2()2()2()6()2()1(3

56、210vuvuFFFjjiijjjiijiiiijjK KK KK KK KK KK KK KK K 通過求解線性代數(shù)通過求解線性代數(shù)方程組的方法求出未知方程組的方法求出未知的結點位移向量。的結點位移向量。圖示平面桁架結構，結構的原始剛度方程為：圖示平面桁架結構，結構的原始剛度方程為：341234612F15F43F10-5 支承條件的引入支承條件的引入1234 FeEx2x2FF FeEy2y2FF FeE22MM FeEx3x3FF FeEy3y3FF FeE33MM2FeyF31242FexF2FeM3FeyF3FexF3FeM1234(a)(b)(c) 對于平面剛架單元，對于平面剛架單

57、元，若單元上作用著非結點荷若單元上作用著非結點荷載，則單元載，則單元的桿端力將由的桿端力將由兩部分構成。一部分是由兩部分構成。一部分是由結點位移所引起結點位移所引起的，另一的，另一部分是非結點荷載作用而部分是非結點荷載作用而直接引起的桿端力直接引起的桿端力, 即固即固端內力。端內力。10-6 非結點荷載的處理非結點荷載的處理2FeyF31242FexF2FeM3FeyF3FexF3FeM(b) 同位移法，剛結點處施加同位移法，剛結點處施加附加鏈桿和附加剛臂阻止所有附加鏈桿和附加剛臂阻止所有結點的線位移和角位移，此時結點的線位移和角位移，此時各單元有固端力，附加鏈桿和各單元有固端力，附加鏈桿和附

58、加剛臂上有附加反力和附加附加剛臂上有附加反力和附加反力矩。由結點平衡條件可知，反力矩。由結點平衡條件可知，附加聯(lián)系上的附加反力等于匯附加聯(lián)系上的附加反力等于匯交于該結點的各固端力的代數(shù)交于該結點的各固端力的代數(shù)和。和。某單元某單元e受非結點荷載作用，單元局部坐標系中的固端力為：受非結點荷載作用，單元局部坐標系中的固端力為：FeFeFeFeFeFeFeTNSNS()ijiijjFFMFFMF固端大小可由固端內力表查得，固端大小可由固端內力表查得，P252表表10-3。10-6 非結點荷載的處理非結點荷載的處理1234 FeEx2x2FF FeEy2y2FF FeE22MM FeEx3x3FF F

59、eEy3y3FF FeE33MM（c）取消附加聯(lián)系，相當于取消附加聯(lián)系，相當于在結點上施加了與上述在結點上施加了與上述附加反力和附加反力矩附加反力和附加反力矩反號的荷載，此荷載成反號的荷載，此荷載成為原結構上非結點荷載為原結構上非結點荷載的的等效結點荷載。等效結點荷載。注意：這里“等效”指圖（a）和圖（c）的結點位移相等整體坐標系中的固端力為：整體坐標系中的固端力為：T()xiyiixjyjjFeTFeFeFeFeFeFeFeFT FFFMFFM將各分量反號并對號入座送到荷載列陣中去，即為等效結點荷載。將各分量反號并對號入座送到荷載列陣中去，即為等效結點荷載。10-6 非結點荷載的處理非結點荷

60、載的處理任一結點任一結點i上的等效結點荷載上的等效結點荷載FEi為：為： xiyiFeExiFeFeiEiEyiFeEii-FFFF-FFM-M 如果除了非結點荷載的等效結點荷載如果除了非結點荷載的等效結點荷載FEi外，結點外，結點i上還上還作用有直接結點荷載作用有直接結點荷載FDi，則，則i點總的結點荷載為：點總的結點荷載為：iDiEiFFF結點結點i的綜合結點荷載的綜合結點荷載DEFFF整個結構的綜合結點荷載整個結構的綜合結點荷載10-6 非結點荷載的處理非結點荷載的處理 各單元最后的桿端力是固端力和綜合結點荷載作用下產各單元最后的桿端力是固端力和綜合結點荷載作用下產生的桿端力之和，即生的