1、§3.2函數的單調性及其極值教學目的：理解函數的單調性，凹凸性、極值、拐點的概念，讓學生看到導數在解決這些問題中所起的作用，會判斷函數的單調性，會求極值；會判斷區間的凹凸性，會求拐點；培養學生動態的數學觀與靜態的數學觀意識。教學難點：極值與拐點的充分條件與必要條件。教學方法：啟發講授式（合情推理與演繹證明并用）教學過程：函數的單調性是函數的重要性質之一，因為它在求極值，證明不等式等方面都有其重要的意義。在中學里已經研究過，但當時由于受到方法的限制，研究得既不深刻，又不全面，而且計算繁瑣，也不易掌握其規律。例 證 在R上是單增的在中學 （）（ 起碼要分三種情況：現在我們已學過導數，那么

2、我們看看能否用導數這個高級工具處理單調性的一些問題。首先觀察： （1） （2） （3） （4）問題：結論圖14 函數有什么性質1234 導數有什么變化？我們把上面觀察得到的事實，用語言敘述為：定理1.設函數在區間內可導（1） 若，當時，則在內單調遞增；（2） 若，當時，則在內單調遞減。分析：對于歸納出的結論，能否成為定理在數學中是需要證明的。那么如何證明呢？即 若則證明：設由微分中值定理， 因為 所以 于是 因為 所以 即 所以在內單調遞減，同理可證（2）例1證明：在R上單增。證：，由定理1，在R上單調增加。（5）例2 證明在內單減，在內單增。證：，在內單減，在內單增分析：從例2可以看出，是單

3、增單減的分界點。以上兩題，給出具體函數在具體區間上的單調性定理。例3求函數的單調區間。思考：（1）與例1、例2有什么不同？（區間沒給出） （2）什么樣的量可以把區間分為單調區間？（分點）步驟：（1）求的定義域（2）求的點，不存在的點，把定義域分成若干個子區間（3）由定理，判別在子區間的符號（4）確定單調區間解：（1）的定義域為（2）令 ， ， 將分成（3）_（4）所以，的單增區間為，單減區間為。例4 考察的單調性。 從圖像上看出，不存在。思考：這個例子告訴我們一個什么情況？不存在的點也可能是單調區間的分界點。為此，修正步驟（1）。例5 討論的單調性。 解：（1）的定義域為 （2） 令 此外，為

4、的不可導點。于是，將分成（3）_（4）所以，的單增區間為，單減區間為。補例 證明：，有分析：即，即證：設，由單減定義： ，而 所以故 二、函數的極值及其求法1.提問：在中學里已經學過極值，那么極值的定義是什么？觀察：如圖（1） 請找出函數的極大值和極小值。極大值，極小值。（1）從圖（1）可以看出，極值是一個局部的、鄰域的概念，最大（小）值（最值）是一個整體的、區間的概念，一個區間的最大（小）值只有一個，而極大(小)值可能不止一個。下面對極值下一個定義。定義1.設函數在的鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于的點恒有：（1），則稱為函數的極大值，為極大值點；（2），則稱為函數的極小值，為極小值點；而極

5、大值與極小值統稱為函數的極值，極大值點與極小值點統稱為極值點。（極值是函數值，極值點是自變量的取值，用定義再驗證一下） 因為極值是一個鄰域的概念，從圖（1）可以看出，一個區間的極小值可能比極大值還大。 根據定義1，我們可以看到，下列函數驗證： (2) (3) 極小值為 極小值點1(4) (5) 極大值 極大值點極大值 極大值點 在處沒有極值 因為在0鄰域內（6）當我們明白了極值的概念之后，我們的工作是如何求函數的極值？當然定義本身已提供了一個求極值的方法，但這種方法在實際問題中是不可取的，因為的鄰域內有無限多個點，用無限多個點去比較大小，顯然是行不通的。既然我們現在要用導數研究這些問題，那么我

6、們進一步：觀察，圖（1）問題2. 看看在極值點導數有什么情況出現？觀察圖（1）發現在極值點切線平行于軸，即我們把觀察、發現的事實用語言敘述：定理2.（極值的必要條件）設函數在處可導，且為極值（即為極值點），則。分析： 不妨設為極大值（因為沒有具體表達式，不可以求導）證明：(1)設為極大值，則由定義1，必存在的一個鄰域當時，因為為極大值， 所以 又因為在處可導，所以于是 （2）為極小值的情形，可類似證明。（略）定理2告訴我們，可導函數在極值點導數為0。在數學中，我們需要研究相反的問題（逆定理），即導數為零的點一定時極值點嗎？看圖（6），但點不是極值點，所以定理2是必要條件。 那么定理2到底起到一

7、個什么作用呢？找出了極值的可疑點，即把在區間I上的無限多個點有可能變成有限個。至于這些點是否真為極值點，我們還需要觀察：圖（1）、圖（6）。 我們發現：在極值點的左右，有符號變化，而在非極值點，沒有符號變化。定理3 （極值的第一充分條件）設函數在的一個鄰域內可微（在處可以不可微，但必須連續），若當在該鄰域內小于連續地變為大于時，其導數改變符號，則為函數的極值。為函數的極值點，并且（1）若導數由正值變為負值，則為極大值點，為的極大值；（2）若函數由負值變為正值，則為極小值，為的極小值。 現在，有了充分必要條件，就可以求極值了。步驟：1. 求定義域及；2. 求駐點，即的點及不存在的點；（導數不存在的點也可能是極值點）3. 判斷在上述點左右鄰域的符號變化；4. 確定極值點，并求極值。看上節課例3、例5。思考題：1. 極值點一定是導數為0的點嗎？（即極值點一定是穩定點嗎？）2. 導數為0的點是否一定