1、數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science1IIR濾波器設計方法有間接法和直接法濾波器設計方法有間接法和直接法。 間接法間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設計步驟是：計步驟是： 先設計過渡模擬濾波器得到系統函數先設計過渡模擬濾波器得到系統函數Ha (s)，然后將然后將Ha(s)按某種方法轉換成數字濾波器的系統函數按某種方法轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。 模擬濾波器的設計方法已經很成熟，不僅有完整的設模擬濾波器的設計方法已經很成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；計公式，還有完善的圖表和曲

2、線供查閱； 另外，還有一另外，還有一些典型的優良濾波器類型可供我們使用。些典型的優良濾波器類型可供我們使用。 直接法直接法直接在頻域或者時域中設計數字濾波器，由于直接在頻域或者時域中設計數字濾波器，由于要解聯立方程，設計時需要計算機輔助設計。要解聯立方程，設計時需要計算機輔助設計。第第7章章 無限脈沖響應濾波器的設計無限脈沖響應濾波器的設計數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.1 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如有多種典型的

3、模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器、橢圓濾波器、貝塞爾濾波器橢圓濾波器、貝塞爾濾波器等。這些濾等。這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用，而且所設計的系統函數都滿足電路實現條件。使用，而且所設計的系統函數都滿足電路實現條件。 數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science3典型的濾波器各有特點：典型的濾波器各有特點： 巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性；具有單調下降的幅頻特性； 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者阻帶

4、有等波紋特性，的幅頻特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性；可以提高選擇性； 貝塞爾濾波器貝塞爾濾波器通帶內有較好的線性相位特性；通帶內有較好的線性相位特性； 橢圓濾波器橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻帶內均呈現等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴重。帶內均呈現等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴重。設計時，根據具體要求選擇濾波器的類型。設計時，根據具體要求選擇濾波器的類型。數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science4 設計濾波器，先設計低通濾波器，再通過頻率設計濾波器，先設計低通濾波器，再通過

5、頻率變換將低通濾波器轉換成希望類型的濾波器。變換將低通濾波器轉換成希望類型的濾波器。 先介紹低通濾波器的技術指標和逼近方法，然先介紹低通濾波器的技術指標和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設計方法。計方法。數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.1.1 模擬濾波器的描述方法模擬濾波器的描述方法 模擬濾波器的頻率響應是根據非周期函數的傅里模擬濾波器的頻率響應是根據非周期函數的傅里葉變換定義式葉變換定義式(3.84)得來的。實際模擬濾波器的頻率得來的。實際模擬濾波器的頻率響應響應其中其中h(t)

6、是實際模擬濾波器的單位脈沖響應，是因果是實際模擬濾波器的單位脈沖響應，是因果的。脈沖響應的。脈沖響應h(t)的拉普拉斯變換的定義是的拉普拉斯變換的定義是0)()()(dtethdtethHtjtj)( )()(LT)(jsdteththsHst(7.1)(7.4)數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 拉普拉斯變換的簡寫是拉普拉斯變換的簡寫是LT，s=+j表示帶實部表示帶實部的復數角頻率，稱復數頻率，簡稱復頻率，它不但能的復數角頻率，稱復數頻率，簡稱復頻率，它不但能簡化模擬角頻率的書寫，還能使一些不收斂的傅里葉簡化模擬角頻率的書寫，還能使一些不收斂的傅里葉

7、變換收斂。變換收斂。 濾波器輸出濾波器輸出y(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換Y(s)比輸入比輸入x(t)的的拉普拉斯變換拉普拉斯變換X(s)，得到的比例函數稱系統函數，即，得到的比例函數稱系統函數，即 模擬濾波器的模擬濾波器的系統函數常用多項式的分式來表示，系統函數常用多項式的分式來表示，分母的最高冪分母的最高冪N表示濾波器的階。表示濾波器的階。)()()(sXsYsH(7.5)( )(01110111是正整數和NMcscscscdsdsdsdsHNNNNMMMM(7.6)數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 模擬濾波器的幅頻特性模擬濾波器的幅頻特性|

8、H(j)|也有用分貝的衰減也有用分貝的衰減函數函數A()來表示的，即來表示的，即如果如果|H(j)|max=1，則衰減函數將變為，則衰減函數將變為 幅頻特性的平方幅頻特性的平方|H(j)|2叫做叫做幅度平方響應幅度平方響應，它也，它也是描述模擬濾波器的有效方法。因為，利用系統頻譜是描述模擬濾波器的有效方法。因為，利用系統頻譜H(j)的共軛特點，即的共軛特點，即)( | )(| )(|lg10)(22max分貝jHjHjA)( | )(|lg10)(2分貝jHjA) 1 . 7( )()(*可知利用定義jHjH(7.7)(7.8)(7.9)數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnj

9、oy Science幅度平方響應有這種關系，幅度平方響應有這種關系， 這種關系讓設計模擬濾波器這種關系讓設計模擬濾波器的工作變為解方程的工作變為解方程。下面介紹兩種常用的模擬濾波器設計。下面介紹兩種常用的模擬濾波器設計。7.1.2 巴特沃斯濾波器的設計巴特沃斯濾波器的設計 模擬低通巴特沃斯濾波器的幅度平方響應是模擬低通巴特沃斯濾波器的幅度平方響應是它的幅度隨頻率的增大而變小。例如它的幅度隨頻率的增大而變小。例如H(j)在階在階N=1和和5時，它們時，它們的頻率響應曲線的頻率響應曲線為為jssHsHjHjHjH| )()()(*)(| )(|2)( )/(11| )(|c2c2是半功率點截止頻率

10、NjH(7.10)(7.11)數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 為了得到用復頻率為了得到用復頻率s表示的系統，讓我們將表示的系統，讓我們將s=j代入幅度平方響應，就可以得到代入幅度平方響應，就可以得到)( )()()()()(11| )()(| )(|212212c2c22c2c2是分母的根NNNNNNNjssssssssjjsjjssHsHjH圖圖7.2(7.12)( )()( )()()(1c121c前后兩半的極點共軛不影響幅頻特性省略NkkNkkNNNsssHjsssssssH數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Sci

11、ence10低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下：低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： (1) 根據技術指標根據技術指標p、 p、s和和 s，求出濾波器的，求出濾波器的階數階數N。(2) 求出歸一化極點求出歸一化極點pk，得到歸一化低通原型系統，得到歸一化低通原型系統函數函數Ga(p)。也可以根據階數。也可以根據階數N直接查表得到直接查表得到pk和和Ga(p)。(3) 將將Ga(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ga(p)，得到，得到實際的濾波器系統函數實際的濾波器系統函數 這里這里c為為3 dB截止頻率，如果技術指標沒有給出截止頻率，如果技術指標沒有給出c，可以按照，可以按照(7.25

12、)式或式或(7.26)式求出式求出c| )()(asppGsH數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science11令令 ssppsp/10sp/10101101k則則N由下式表示：由下式表示： spsplglgkN 數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science12用上式求出的用上式求出的N可能有小數部分，應取可能有小數部分，應取大于或等大于或等于于N的最小整數。的最小整數。關于關于3 dB截止頻率截止頻率c，如果技術指，如果技術指標中沒有給出，可以按照下式求出。標中沒有給出，可以按照下式求出。N211 . 0pc) 110(pN211

13、 . 0sc) 110(s數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science13表表 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science14數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 例題例題7.1 船舶通信需要一個模擬低通濾波器，其船舶通信需要一個模擬低通濾波器，其通帶截止頻率通帶截止頻率fp=5kHz，通帶衰減，通帶衰減Ap=2dB，阻帶截止，阻帶截止頻率頻率fs=12kHz，阻帶衰減，阻帶衰減As=20dB。請設計一個能滿。請設計一個能滿足這些技

14、術指標的模擬低通巴特沃斯濾波器。足這些技術指標的模擬低通巴特沃斯濾波器。 解解 設計濾波器的關鍵在階設計濾波器的關鍵在階N和和3dB截止頻率截止頻率c。下面分四步來設計模擬濾波器。下面分四步來設計模擬濾波器。（1）確定濾波器的階確定濾波器的階 根據衰減公式和巴特沃斯的幅度平方函數，得根據衰減公式和巴特沃斯的幅度平方函數，得)( dB )/(1lg10)(2cjAN為什么可省略數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science將技術指標分別代入衰減函數，可得階將技術指標分別代入衰減函數，可得階實際的階實際的階N是正整數，最好是大于理論值的最小整數。是正整數，最好是大于理

15、論值的最小整數。本題取本題取N=3。（2）確定濾波器的截止頻率確定濾波器的截止頻率 根據衰減函數，如果使用通帶指標來計算根據衰減函數，如果使用通帶指標來計算3dB截截止頻率，則止頻率，則93. 2)/lg(2)110/() 110lg(sp10/10/spAANHz)5468( (rad/s) 3435654682) 110(50002)( ) 110(c)32/(110/2)2/(110/pcpfNA它的阻帶衰減較好(7.23)(7.27)數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science（3）確定濾波器的極點確定濾波器的極點 根據極點公式根據極點公式(7.14)和

16、階和階N=3，選擇位于，選擇位于s平面的平面的左半平面的極點，得系統的極點左半平面的極點，得系統的極點（4）確定濾波器的系統函數確定濾波器的系統函數 根據巴特沃斯濾波器的系統函數式根據巴特沃斯濾波器的系統函數式(7.18)，得，得)34356( 1006. 41036. 21087. 61006. 4)( 22)30. 7( )()()(c139243133c2c2c333213c代入利用共軛特點利用極點sssssssssssssHc)( , ,1334c3c232c1的共軛是ssessesjj(7.30)(7.31)數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science

17、18【例例】 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減 p=2 dB，阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s=30 dB，按照以上，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解解 ： (1) 確定階數確定階數Nsp0.1sp0.110141.3223101ksspp22.42fflg41.32234.25lg2.4N spsplglgkN 取取N=5數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science19(2) 直接查表，由直接查表，由N=5直接查表得到：直接查表得到：

18、012233445a1)(bpbpbpbpbppGb0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式為分母因式分解形式為) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science20(3) 為將為將Ga(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3 dB截止頻率截止頻率c。得到：。得到： 將將p=s/c代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： p10.12cp(101)2 5.2755 krad/sN 5c04c123c232c34c455ca)(bs

19、bsbsbsbssH數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science212. 用用MATLAB工具箱函數設計巴特沃斯濾波器工具箱函數設計巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱函數信號處理工具箱函數buttap, buttord和和butter是巴特沃斯濾波器設計函數。其是巴特沃斯濾波器設計函數。其5種調用格式如下。種調用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計算該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻截止頻率率c=1）模擬低通原型濾波器系統函數的零、極點和增）模擬低通原型濾波器系統函數的零、極點和增益因子。返回長度為

20、益因子。返回長度為N的列向量的列向量Z和和P，分別給出，分別給出N個零個零點和極點的位置，點和極點的位置，K表示濾波器增益。得到的系統函數表示濾波器增益。得到的系統函數為如下形式為如下形式: a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science22式中，式中，Z(k)和和P(k)分別為向量分別為向量Z和和P的第的第k個元素。個元素。 如果要從計算得到的零、極點得到系統函數的分子和如果要從計算得到的零、極點得到系統函數的分子和分母多項式系數向量分母多項式系數向量B和和A,可以調用結構轉換

21、函數可以調用結構轉換函數B, A=zp2tf(Z, P, K)。數字信號處理數字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science232） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)該格式用于計算巴特沃斯該格式用于計算巴特沃斯數字濾波器數字濾波器的的階數階數N和和3 dB截截止頻率止頻率wc。調用參數。調用參數wp和和ws分別為數字濾波器的通帶邊界分別為數字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數字頻率表示數字頻率（對應模擬頻率（對應模擬頻率Fs/2，Fs表示采樣頻率）。表示采樣頻率）。Rp和和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。）。3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 該格式用于計算巴特沃斯該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器模擬濾波器的階數的階數N和和3 dB截止頻率截止頻率wc。wp、ws和和wc是實際模擬角頻率（是實際模擬角頻率（rad/s）。）。其他參數與格式其他參數與格式2）相同。）相同。數字信