1、第二章第二章 流體的運動流體的運動流體：包括氣體、液體流體：包括氣體、液體流體的基本特征：流動性，無固定形狀流體的基本特征：流動性，無固定形狀？理想流體、穩定流動？理想流體、穩定流動 連續性方程、伯努利方程連續性方程、伯努利方程？實際流體？實際流體 粘性、雷諾數、粘性流體的運動規律粘性、雷諾數、粘性流體的運動規律流體運動的學科稱為流體動力學流體運動的學科稱為流體動力學 可壓縮，體積隨壓強不同可壓縮，體積隨壓強不同 而改變。液體的體而改變。液體的體積變化小，氣體的體積變化大。積變化小，氣體的體積變化大。 都有粘性，很多流體的粘性小，在小范都有粘性，很多流體的粘性小，在小范圍流動時，粘性造成的影響

2、可以忽略。圍流動時，粘性造成的影響可以忽略。 理想流體：絕對不可壓縮、完全沒有粘滯性理想流體：絕對不可壓縮、完全沒有粘滯性 2-1 理想流體理想流體 穩定流動穩定流動一、理想流體一、理想流體實際流體實際流體二、穩定流動二、穩定流動研究流體運動的方法有兩種研究流體運動的方法有兩種 拉格朗日法：拉格朗日法： 將流體分成許多無窮小的流體質元，跟蹤并研究每一個將流體分成許多無窮小的流體質元，跟蹤并研究每一個流體質元的運動情況，求出它們各自的運動軌跡和流動速度。流體質元的運動情況，求出它們各自的運動軌跡和流動速度。這實際上是沿用質點動力學的方法來討論流體的運動。這實際上是沿用質點動力學的方法來討論流體的

3、運動。 歐拉法：歐拉法： 把注意力集中到各空間點，觀察流體質元經過每個空間把注意力集中到各空間點，觀察流體質元經過每個空間點的流速、壓強、密度等物理量，尋求它的空間分布隨時點的流速、壓強、密度等物理量，尋求它的空間分布隨時間的演化規律。間的演化規律。 在流動過程中的任一瞬時，流體在所占據的空間每一在流動過程中的任一瞬時，流體在所占據的空間每一點都具有一定的流速點都具有一定的流速v(x、y、z、t)， ，這個空間稱為流，這個空間稱為流體速度場，簡稱流場。體速度場，簡稱流場。 1、流線和流管流線和流管流速方向：流線上的切線方向流速方向：流線上的切線方向大小：與流線疏密有關，如大小：與流線疏密有關，

4、如A、B、C流管：流管：在流體中作一微小的閉合曲線，通過其上各點的流線所在流體中作一微小的閉合曲線，通過其上各點的流線所圍成的細管圍成的細管 流線：流線： （與電力線和磁力線相似，假想線）（與電力線和磁力線相似，假想線）2、穩定流動、穩定流動 流線上任一點速度大小、方向都不隨時間變化，即流線的形流線上任一點速度大小、方向都不隨時間變化，即流線的形狀保持不變狀保持不變 流線即流體質元的運動軌跡流線即流體質元的運動軌跡3、性質、性質 （1）流線不能相交）流線不能相交 （2）在某一流管內，外面流線不能流進來，里面流線不能流）在某一流管內，外面流線不能流進來，里面流線不能流出去出去2-2 連續性方程連

5、續性方程 伯努利方程伯努利方程一、理想流體的連續性方程一、理想流體的連續性方程在穩定流動中，假設一段細流管，且任一截面上的各物理量都在穩定流動中，假設一段細流管，且任一截面上的各物理量都可以看成均勻的，即（可以看成均勻的，即（1、S1、v1）和（）和（ 2、S2、v2）經過經過t時間，通過截面時間，通過截面S1流入流管質量為流入流管質量為tvSStvm1111111)(經過經過t時間，通過截面時間，通過截面S2流出流管質量為流出流管質量為根據質量守恒原則及穩定流動的特點有根據質量守恒原則及穩定流動的特點有m1=m2，即，即常量Sv質量流量守恒定律質量流量守恒定律如果是不可壓縮的流體，即有如果是

6、不可壓縮的流體，即有常量Sv體積流量守恒定律體積流量守恒定律tvSStvm2222222)(tvStvS222111222111vSvS212211vSvS說明：說明：1、條件：（、條件：（1）理想流體）理想流體 （2）穩定流動）穩定流動2、單位時間內質量流量：、單位時間內質量流量： Q= Sv（單位：（單位：kg/s）3、單位時間內體積流量：、單位時間內體積流量： V=Sv（單位：（單位：m3/s）4、S與與v成反比，成反比，S大大v小，小，S小小v大。大。5、流管有分支時：、流管有分支時：（S, v）（S1, v1）（S2, v2）2211vSvSSv二、伯努力方程二、伯努力方程1、伯努力

7、方程的推導、伯努力方程的推導利用功能原理來進行推導利用功能原理來進行推導截取一段流體截取一段流體XY作研究對象作研究對象各物理量見圖所示，經過各物理量見圖所示，經過t時時間變為間變為X和和YF1=P1S1F2=P2S2故當流體從故當流體從XY流到流到XY時外力所作功為：時外力所作功為：tvSPtvSPtvFtvFW2221112211故當流體從故當流體從XY流到流到XY時的機械能增量為：時的機械能增量為：由功能原理有：由功能原理有： W=E最后整理得：最后整理得：伯努力方程伯努力方程VPVPW21)21()21(12122212mghmvmghmvEEE)21()21(12122221mghm

8、vmghmvVPVP222212112121ghvPghvP常量ghvP221（3）方程中三項都具有壓強的量綱，注意各物理量的單位）方程中三項都具有壓強的量綱，注意各物理量的單位（5）第一、二）第一、二 項是與速度無關稱為靜壓，第三項與速度有項是與速度無關稱為靜壓，第三項與速度有關稱為動壓關稱為動壓（6）水平管：當）水平管：當h1=h2，有：，有： 即流速小的地方壓強大，流速大的地方壓強小。即流速小的地方壓強大，流速大的地方壓強小。2、說明：、說明：（1）成立條件：理想流體在流管中作穩定流動）成立條件：理想流體在流管中作穩定流動（2）各項分別代表該點壓強、單位體積內的重力勢能、動能）各項分別代

9、表該點壓強、單位體積內的重力勢能、動能（4）伯努利方程也叫能量守恒方程）伯努利方程也叫能量守恒方程常量221vP例例2-12-1 設有流量為設有流量為0.12m3 s-1 的水流過一管子，的水流過一管子，A點的壓強為點的壓強為2105Pa，A點的點的截面積為截面積為100cm2，B點的截面積為點的截面積為60cm2，B點比點比A點高點高2 m。假設水的內摩察力可以忽略不計，求。假設水的內摩察力可以忽略不計，求A、B點點的流速和的流速和B點壓強。點壓強。解：根據連續性方程有解：根據連續性方程有)/(121012.02smSQvAA)/(20106 .012.02smSQvBBBBAAvSvS22

10、2121BBBAAAvghPvghP)(1024. 52121)(212142222PavvhhgPvghvghPPBABAABBAAAB又根據伯努力方程有又根據伯努力方程有2-3 伯努利方程的應用伯努利方程的應用一、壓強與流速的關系一、壓強與流速的關系常量221vP即流速小的地方壓強大，流速大的地方壓強小。即流速小的地方壓強大，流速大的地方壓強小。水平管中作穩定流動時水平管中作穩定流動時1、空吸作用、空吸作用圖圖2-5 空吸作用空吸作用A處和處和C處的橫截面積遠大于處的橫截面積遠大于B處的橫截面積。在處的橫截面積。在A處處加一個外力使管中流體由加一個外力使管中流體由A向向B 處流動。處流動。

11、B處的流速必處的流速必遠大于遠大于A處和處和C處的流速，處的流速，B處的壓強小。若增加流管處的壓強小。若增加流管中流體的流速，可以使中流體的流速，可以使B 處的流速增到很大，而使處的流速增到很大，而使B處處的壓強很小，于是的壓強很小，于是D容器中的流體因受大氣壓強的作用容器中的流體因受大氣壓強的作用被壓縮到被壓縮到B處，而被水平管中的流體帶走。這種作用叫處，而被水平管中的流體帶走。這種作用叫空吸作用。空吸作用。 2、流速計（皮托管、流速計（皮托管）分析：皮托管是粗細均勻的水平管，分析：皮托管是粗細均勻的水平管，a是一根直管，是一根直管，b是一根直是一根直角彎管，直管下端的管口截面與流線平行（角

12、彎管，直管下端的管口截面與流線平行（c處），彎管下端的處），彎管下端的管口截面與流線垂直（管口截面與流線垂直（d處），在處），在d處形成速度為零的滯流區。處形成速度為零的滯流區。比較圖比較圖c、d兩處的壓強可得兩處的壓強可得dcPvP221由上式求得的速度就是管中各點的流速，對于該裝置只求出由上式求得的速度就是管中各點的流速，對于該裝置只求出c、d兩點的高度差，即可求得流速兩點的高度差，即可求得流速圖圖2-6 流速計原理流速計原理圖圖2-7是一種皮托管的簡單裝置是一種皮托管的簡單裝置測量時放在待測流速的流體中，測量時放在待測流速的流體中，2處流速為零，形成滯流區，處流速為零，形成滯流區，1孔的

13、孔的孔面平行于流線，流速不為零孔面平行于流線，流速不為零兩處的壓強差可從兩處的壓強差可從U形管中液面的形管中液面的高度差測得，即高度差測得，即ghvPP22121由上式可得ghv2圖圖2-7 皮托管皮托管3、流量計、流量計圖圖2-8 文特利管文特利管 如圖所示，在變截面的水平管的如圖所示，在變截面的水平管的下方，裝有下方，裝有U形管，內裝水銀，測量形管，內裝水銀，測量水平管內的流速時，可將流量計串聯水平管內的流速時，可將流量計串聯于管道中，根據水銀面的高度差，即于管道中，根據水銀面的高度差，即可求出流量或流速。可求出流量或流速。 粗、細兩處各物理量見圖所示，根據伯努力方程有粗、細兩處各物理量見

14、圖所示，根據伯努力方程有2222112121vPvP由連續性方程有由連續性方程有2211vSvS由圖可知由圖可知ghPP)(21由以上由以上3式，解得流量為式，解得流量為)()(22221212211SSghSSvSvSQ二、流速和高度的關系（小孔流速）二、流速和高度的關系（小孔流速）圖圖2-9 小孔流速小孔流速大容器下部有一小孔，小孔的大容器下部有一小孔，小孔的面積比容器內液體自由表面的面積比容器內液體自由表面的小很多，液體可視為理想流體，小很多，液體可視為理想流體，根據連續性方程，小孔處流出根據連續性方程，小孔處流出液體時，容器自由表面高度液體時，容器自由表面高度h下降非常緩慢，可近似為自

15、由下降非常緩慢，可近似為自由表面的速度為零。實際上，隨表面的速度為零。實際上，隨著液面的下降，小孔處的流速著液面的下降，小孔處的流速也會逐漸下降，嚴格說來，并也會逐漸下降，嚴格說來，并不是穩定流動。但因小孔徑極不是穩定流動。但因小孔徑極小，若觀測時間很短，液面高小，若觀測時間很短，液面高度沒有明顯變化，仍然可以看度沒有明顯變化，仍然可以看作穩定流動作穩定流動對于任一流線，由伯努利方程得對于任一流線，由伯努利方程得20021vpghp由上式得由上式得ghv2結果表明，小孔處流速和物體自高度結果表明，小孔處流速和物體自高度h處自由下落得到的速處自由下落得到的速度是相同的。這一關系是意大利物理學理學

16、家、數學家托里度是相同的。這一關系是意大利物理學理學家、數學家托里斥利（斥利（(E.Torricelli)首先發現的，又稱為托里斥利定理。它首先發現的，又稱為托里斥利定理。它反映了壓強不變時，理想流體穩定流動過程中，流體重力勢反映了壓強不變時，理想流體穩定流動過程中，流體重力勢能與動能之間的轉換關系。能與動能之間的轉換關系。 實際上水柱自小孔流出時截面有所收縮，用有效截面實際上水柱自小孔流出時截面有所收縮，用有效截面S代代替替S，則有，則有ghSvSQ2例例2-2 一開口水槽中的水深為一開口水槽中的水深為H，如圖例，如圖例2-2所示。在水面下所示。在水面下h深處開一小孔。問：（深處開一小孔。問

17、：（1）射出的水流在地板上的射程）射出的水流在地板上的射程S是多是多大大?（2）在水槽的其他深度處，能否再開一小孔，其射出的）在水槽的其他深度處，能否再開一小孔，其射出的水流有相同的射程？（水流有相同的射程？（3）小孔開在水面下的深度）小孔開在水面下的深度h多大時，多大時，射程最遠？射程多長？射程最遠？射程多長？圖圖 例例2-2 解解：（：（1）222221112121vghpvghpP1=P2=P0，h1=H，h2=H-h 解得：解得：ghv22從小孔射出來的水流作平拋運動，射到地面時間為從小孔射出來的水流作平拋運動，射到地面時間為ghHt)(2其射程為其射程為 )(22hHhtvs（2）假

18、設在另一個開一小孔，其離液面高度為）假設在另一個開一小孔，其離液面高度為h，按上，按上述計算方法可求得其射程為述計算方法可求得其射程為)(2hHhs若有相同射程，即有若有相同射程，即有s=s 解得解得 h=H-h（3）要使）要使s最大，只要求最大，只要求s的極大值即可的極大值即可 2Hh 最大射程為最大射程為 求得求得三、壓強與高度的關系（體位對血壓的影響）三、壓強與高度的關系（體位對血壓的影響）如果流體在等截面管中流動，其流速不變，由伯努力方程可得如果流體在等截面管中流動，其流速不變，由伯努力方程可得2211ghPghP高處壓強小，低處壓強大高處壓強小，低處壓強大解釋體位對血壓的影響解釋體位

19、對血壓的影響可見測血壓要注意體位可見測血壓要注意體位2-4 粘性流體的流動粘性流體的流動一、粘性流體的運動一、粘性流體的運動1、層流和湍流、層流和湍流層流：粘性液體的分層流動，相鄰兩層之間層流：粘性液體的分層流動，相鄰兩層之間只作相對滑動，流層間沒有橫向滑動，機械只作相對滑動，流層間沒有橫向滑動，機械能不守恒，軸線上速度最大，管壁最小。能不守恒，軸線上速度最大，管壁最小。湍流：湍流：當液體在管中流速很大時，液體的流動不再保持分當液體在管中流速很大時，液體的流動不再保持分層流動狀態，而變成無規則的運動，這時流體的流動有垂層流動狀態，而變成無規則的運動，這時流體的流動有垂直管軸的分速度，而且還會出

20、現渦流，整個流動顯得雜亂直管軸的分速度，而且還會出現渦流，整個流動顯得雜亂而不穩定而不穩定 圖圖2-11 粘性流體的流動粘性流體的流動2、牛頓粘滯定律、牛頓粘滯定律dxdvSf牛頓粘滯定律牛頓粘滯定律說明：說明：（1）dv/dx表示速度梯度，表示速度梯度，S表示層與層的接觸面積，表示層與層的接觸面積，為流體的粘滯系數為流體的粘滯系數（2）粘滯系數的物理意義：速度梯度為）粘滯系數的物理意義：速度梯度為1時，單位面積上的粘滯阻力時，單位面積上的粘滯阻力（3）粘滯系數的單位：）粘滯系數的單位：Pa.s（4）粘滯系數的大小由流體的性質和溫度決定）粘滯系數的大小由流體的性質和溫度決定（5）牛頓流體和非牛

21、頓流體：遵守牛頓粘滯定律的流體為牛頓流體，如水）牛頓流體和非牛頓流體：遵守牛頓粘滯定律的流體為牛頓流體，如水和血漿；不遵守牛頓粘滯定律的流體為非牛頓流體，如血液和血漿；不遵守牛頓粘滯定律的流體為非牛頓流體，如血液圖圖2-12 粘性力粘性力 速速度梯度度梯度3、雷諾數、雷諾數雷諾數雷諾數Re （1）Re 1500時，流體作湍流時，流體作湍流 （3）1000 Re 1500時，流體流動不穩定時，流體流動不穩定例例2-3 主動脈的內半徑為主動脈的內半徑為0.01m，血液的流速、粘滯系數、，血液的流速、粘滯系數、密度分別為密度分別為0.25m/s 、0.003Pa.s、1050kg/m3 ，求雷諾數并

22、，求雷諾數并判斷血液以何種形態流動。判斷血液以何種形態流動。(Re=875)結論：液體的粘滯系數愈小、密度愈大，愈容易發生湍流，結論：液體的粘滯系數愈小、密度愈大，愈容易發生湍流，細管不容易發生湍流；而彎曲的管子容易發生湍流。細管不容易發生湍流；而彎曲的管子容易發生湍流。vrRe說明：說明： 二、二、 粘性流體的運動規律粘性流體的運動規律結論：要使粘性流體勻速流體，兩結論：要使粘性流體勻速流體，兩端必須有壓強差端必須有壓強差圖圖2-13 粘性流體在水平管中的壓強分布粘性流體在水平管中的壓強分布幾條豎立直管的液面說幾條豎立直管的液面說明，粘性流體在水平管明，粘性流體在水平管作穩定流動時，液體的作

23、穩定流動時，液體的壓強是逐漸減少的，在壓強是逐漸減少的，在這里伯努力方程不再適這里伯努力方程不再適用，因為流動過程中動用，因為流動過程中動能和勢能都沒有改變，能和勢能都沒有改變，而壓強逐漸減少，這種而壓強逐漸減少，這種現象只能用粘性流體在現象只能用粘性流體在流動過程中要克服粘滯流動過程中要克服粘滯阻力作功來解釋。阻力作功來解釋。 1、泊肅葉公式、泊肅葉公式式中式中R是管子的半徑，是管子的半徑，是流體的粘度，是流體的粘度，L是管子的長度。是管子的長度。 粘性流體在等截面水平細管作穩定流動時，如果雷諾數不粘性流體在等截面水平細管作穩定流動時，如果雷諾數不大，則流動的形態是層流。大，則流動的形態是層

24、流。泊肅葉公式：泊肅葉公式：LPRQ84說明：說明：圖圖2-14 泊肅葉公式的泊肅葉公式的推導推導泊肅葉公式又可寫成如下形式泊肅葉公式又可寫成如下形式 值得注意的是，流阻與管半徑的四次方成反比，半徑的微小值得注意的是，流阻與管半徑的四次方成反比，半徑的微小變化就會對流阻造成很大的影響。血管可以收縮和舒張，其變化就會對流阻造成很大的影響。血管可以收縮和舒張，其半徑變化對血液流量的影響是很顯著的。半徑變化對血液流量的影響是很顯著的。fRPQ48RLRf式中式中其物理意義是：當粘性流體流過一個水平均勻細管時，體積其物理意義是：當粘性流體流過一個水平均勻細管時，體積流量與管子兩端的壓強差成正比，而與流

25、阻成反比。流量與管子兩端的壓強差成正比，而與流阻成反比。稱為流阻稱為流阻流阻的單位：流阻的單位：3msPa流阻的串并聯流阻的串并聯fnfffRRRR21fnfffRRRR111121例例2-4 成年人主動脈的半徑為成年人主動脈的半徑為1.3cm。問在一段。問在一段0.2m距離距離內的流阻和壓強降落是多少？設血流量為內的流阻和壓強降落是多少？設血流量為 ，1341000. 1smsPa3100 . 3解：解：)1097. 5)103 . 1 (14. 32 . 0100 . 388344234msPaRLRf（)(97. 51097. 51000. 144PaQRPf可見與平均動脈壓可見與平均動脈壓13.3kPa相比，主動脈的血壓降落是微不相比，主動脈的血壓降落是微不足道的足道的 2、斯托克司定