1、經濟統計與分析軟件應用基礎第第8章章 回歸分析回歸分析預測預測學習要點學習要點l 理解回歸分析和相關性的概念l 掌握一元線性回歸的分析方法l 掌握將非線性問題變換成線性問題，然后求解非線性回歸的方法第第8章章 回歸分析回歸分析預測預測目目 錄錄8.1 基本概念8.2 一元線性回歸8.3 多元線性回歸（略）8.4 非線性回歸8.1 8.1 基本概念基本概念 社會經濟現象之間的相關關系往往難以用確定性的函數關系來描述，它們大多是隨機性的，要通過統計觀察才能找出其中規律。比如：廣告的投入和銷售額兩者之間的關系。 管理決策通常是建立在兩個或多個決策變量之間的依賴關系基礎上的。對于這類情況，可以使用因果

2、關系法來進行預測。回歸分析（Regression Analysis）是因果關系法的一個主要類別，是一種統計學上分析數據的方法，主要是希望探討數據之間是否有一種特定關系。8.1 8.1 基本概念基本概念因果關系法的特點：由若干變量的觀測值來確定這些變量之間的依賴關系，從而由相關變量的未來值和尋找到的變量間的依賴關系來對某個變量進行預測。【例1】某快餐店的主要客戶群是在校大學生。為研究各店鋪銷售額與附近地區大學生人數之間的關系，隨機抽取了10個分店的樣本（見表）。根據這些數據建立回歸模型，根據回歸模型預測一個區內大學生人數為1.8萬的店鋪的季度銷售額。 8.1 8.1 基本概念基本概念自變量自變量

3、因因變量變量目的目的方法方法自變量 在相互聯系的現象之間存在著一定的因果關系，這時把其中起著影響作用的現象具體化，通過一定的變量反應出來，這樣的變量稱作自變量。因變量 由于受到自變量變動的影響而發生變動的變量稱作因變量。8.1 8.1 基本概念基本概念l 回歸分析按照涉及自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析。l 如果在回歸分析中，只包含一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。8.1 8.1 基本概念基本概念l 回歸分析的方法： （1）確定變量 （2）建立預測模型 （3）求參數 （4）進行相關分析 （5）計算預測誤差 （6）確定預測值

4、8.1 8.1 基本概念基本概念Excel中可用以下方法進行回歸分析問題求解：圖表分析： 通過建立散點圖，然后添加趨勢線。使用回歸函數： （麻煩） 提供9個函數用于建立回歸模型和預測。利用規劃求解工具使用回歸分析工具（線性）規劃求解工具是最有效和最方便的求解工具8.1 8.1 基本概念基本概念8.2 8.2 一元一元線性回歸線性回歸模型模型 最簡單的一種情況：問題只涉及兩個統計變量，即只有一個自變量和一個因變量的問題，且兩個變量之間存在著線性相關關系。對于這樣問題的回歸分析稱為一元線性回歸。 一元線性回歸方程： 其中： a為常數項（截距、位移項），可大于、小于或等于零。 b為回歸系數（斜率），

5、可大于或小于零，但不能等于零。bXaYP2328.2 8.2 一元一元線性回歸線性回歸模型條件模型條件 如果滿足以下條件，則可以建立一元線性回歸模型： 只研究兩個變量x、y之間的關系； 根據有關經濟理論，x、y 之間存在相關或因果關系； x、y 之間關系的散點圖近似為一條直線； 建模的目的為得到x對y的邊際值，進行結構分析或預測。8.2 8.2 一元一元線性回歸線性回歸模型檢驗模型檢驗 建立了回歸模型，或者說找到了一條回歸線以后，還需要判斷：這條回歸線是否能夠解釋因變量Y的變化？ 檢驗：1.回歸系數的顯著性檢驗t統計量2.回歸方程的顯著性檢驗F統計量3.判定系數R28.2 8.2 一元一元線性

6、回歸線性回歸模型檢驗模型檢驗（1）回歸系數的顯著性檢驗t統計量用來確定因變量和每個自變量之間是否存在顯著的關系。（2）回歸方程的顯著性檢驗F統計量用來確定自變量的全體與因變量之間的關系是否顯著。8.2 8.2 一元一元線性回歸線性回歸模型檢驗模型檢驗（3）判定系數R2 可以通過判定系數R2來判斷回歸方程的擬合優度。 通常認為： 當判定系數大于0.9時，所得到的回歸直線擬合得較好。 當判定系數小于0.5時，所得到的回歸直線很難說明變量之間的依賴關系。8.2 8.2 一元一元線性回歸線性回歸模型模型檢驗檢驗 判定系數R2 在Excel中有一個專門用于計算一元線性回歸判定系數的RSQ函數。 語法：語

7、法： RSQ( known_y , known_x ) 說明：說明： known_y 因變量因變量各觀測值所在的單元格區域 known_x 自變量自變量各觀測值所在的單元格區域8.2 8.2 一元一元線性回歸線性回歸步驟與方法步驟與方法 第一步：獲取自變量和因變量的觀測值。 第二步： 繪制觀測值X、Y散點圖（自變量為X軸、因變量為Y軸）。 第三步：初步判斷自變量與因變量間的函數關系，寫出帶未知參數的回歸方程。 第四步：用均方差最小原則，確定回歸方程中的參數的數值，從而得到回歸方程。8.2 8.2 一元一元線性回歸線性回歸步驟與方法步驟與方法 第五步：判斷回歸方程的擬合優度。 第六步：用所得到的

8、回歸方程和給定的自變量值計算因變量的預測值，或者反過來，對于因變量的目標值，利用回歸方程求自變量的值。【例8-1】某快餐店的主要客戶群是在校大學生。為研究各店鋪銷售額與附近地區大學生人數之間的關系，隨機抽取了10個分店的樣本。根據這些數據建立回歸模型，根據回歸模型預測一個區內大學生人數為1.8萬的店鋪的季度銷售額。 8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸要求：（1）采用規劃求解方法預測。（2）采用回歸分析報告預測。（3）在圖表中添加趨勢線及回歸公式和判定系數。 注：該題中，大學生人數為自變量，銷售額為因變量。第一步：獲取自變量和因變量的觀測值8.2 8

9、.2 一元一元線性回歸線性回歸采用規劃求解方法預測自變量因變量第二步： 繪制觀測值X、Y散點圖8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用規劃求解方法預測051015202500.511.522.53季度銷售額(萬元)區內大學生數（萬人）第三步：初步判斷自變量與因變量間的函數關系，寫出帶未知參數的回歸方程8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用規劃求解方法預測bXaY假定a=1，b=1利用回歸方程計算預測值第四步：用均方差最小原則，確定回歸方程中的參數的數值，從而得到回歸方程。8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用規劃求解方法預測觀測值Yi估計值 Yi8.2 8.2 一元線性回歸一元

10、線性回歸采用規劃求解方法預測目標函數目標函數決策變量決策變量規劃求解方法預測約束條件約束條件( (可以缺省可以缺省) )目標函數目標函數決策變量決策變量8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用規劃求解方法預測第五步：判斷回歸方程的擬合優度8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用規劃求解方法預測第六步：用所得到的回歸方程和給定的自變量值計算因變量的預測值。8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用規劃求解方法預測 安裝Excel時選擇“完全安裝”或“自定義安裝”，不能選擇“典型安裝”。進入Excel后加載： 【文件】/【選項】/【Excel加載項】8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回

11、歸采用回歸分析報告工具8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用回歸分析報告工具8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用回歸分析報告工具8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用回歸分析報告工具截距a斜率b擬合度判定系數R28.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用圖表分析（趨勢線）【例8.2】某企業2010年3月至2011年6月銷售形勢穩步增長，且銷售額與銷售時間（月序號）之間有線性關系：Y = a + bX。根據工作表中提供的數據建立一元線性回歸模型，要求：（1）用規劃求解法預測2011年第三季度的月銷售數據。 （2）用回歸分析法預測2011年第三季度的月銷售數據。8.2 8.2

12、 一元線性回歸一元線性回歸（3）繪制一個月序號-銷售額散點圖，在圖上添加線性趨勢線、線性回歸方程及判定系數R2的值，并與上述兩法所得到的截距a和斜率b的值進行對照。 （4）將用規劃求解法計算得到的2011年第三季度的月銷售數據的預測值添加到散點圖上（粉紅色的點子）。 8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸8.2 8.2 一元線性回歸一元線性回歸采用規劃求解方法預測8.4 8.4 非線性回歸非線性回歸 在實際的問題中，因變量與自變量之間不是簡單的可以用一條直線來擬合的依賴關系，而是表現出一種非線性關系。 非線性回歸分析方法就是用一條曲線來擬合因變量對于自變量的依賴關系。8.4 8.4 非線性回

13、歸非線性回歸 根據問題的性質，擬合曲線可以是指數曲線、對數曲線等多種曲線。具體采用何種曲線主要由兩個方面決定：自變量與因變量之間本身就存在某種內在的函數依賴關系。根據由自變量和因變量觀測值作出的散點圖，看出它們之間的依賴關系。8.4 8.4 非線性回歸非線性回歸l 方法1：添加趨勢線法l 方法2：規劃求解法l 方法3：回歸分析法一元非線性回歸的求解方法：8.4 8.4 非線性回歸非線性回歸 回歸分析法是解決一元線性問題的，因此在回歸分析前先需要將一元非線性問題轉換為一元線性問題，然后才可以通過回歸分析求解。 即通過對變量的適當變換，把非線性函數轉化為線性函數，對新的變量作線性回歸，然后再還原到

14、原來的變量。回歸分析法回歸分析法冪函數 Y = aX b （a 0）設：U = lnX V = lnY則：V = lna + bU回歸分析法回歸分析法指數函數 Y = aebX （a 0）設：V = lnY則：V = lna + bX對數函數 Y = a + blnX設：U = lnX則：Y = a + bU兩個函數兩個函數指數函數 EXP(number) 返回 e 的 n 次冪。常數 e 等于 2.71828182845904，是自然對數的底數。對數函數 LN(number) 返回一個數的自然對數。自然對數以常數項e (2.71828182845904) 為底。8.48.4一元一元非線性回歸

15、非線性回歸【例8-3】某企業連續13年對某產品年銷售額如工作表中數據所示。試根據這些數據建立適當的模型，要求：（1）使用添加趨勢線的方法來預測第14年的年銷售額的預測值。（2）使用規劃求解的方法來預測第14年的年銷售額的預測值。（3）使用回歸分析法來預測第14年的年銷售額的預測值。8.4 8.4 一元非線性回歸一元非線性回歸采用回歸分析報告工具【分析】 觀察年銷售額的散點圖，可以注意到年銷售額是一個典型的指數函數特征，因此可以用指數函數來擬合。 即： Y = aebX 在進行回歸分析前需要先進行變量替換，即： lnY = lna + bX8.48.4 一元非線性回歸一元非線性回歸【例8-4】工作表已有1952年至2001年的鋼鐵產量數據，請在單元格區域G2:G4中寫出指數回歸方程的相關參數，并預測2002年至2005年的鋼鐵產量及建立歷年的鋼鐵產量指數回歸預測模型圖。回歸方程的形式是：Y = aebx 。（1）使用數學方法及變量代換將此問題轉化為一元線性回歸問題。（2）在單元格區域C2:C31中填入新變量U的值。8.4 8.4 一元非線性回歸一元非線性回歸（3）以新變量U為因變量、“年份”字段為自變量，用規劃求解法求參數ln(a)和b的最優值 。注：此處“規劃求解”要調用兩次： 第一