1、問題：已知二維隨機變量 (X, Y) 的分布，如何求出 Z=g (X, Y)的分布？為某種目的將試驗數據“加工”而得的量統計量(1) 設(X1, X2, , Xn) 是n維離散隨機變量， 則 Z = g(X1, , Xn) 是一維離散隨機變量.(2) 多維離散隨機變量函數的分布是容易求的： i) 對(X1, X2, , Xn)的各種可能取值對， 寫出 Z 相應的取值. ii) 對Z的 相同的取值，合并其對應的概率.oP77o例4.1o例4.2o例4.3定理3.3.1 設連續隨機變量X與Y 獨立， 則 Z=X+ Y 的密度函數為( )( )()d =()( )dZXYXYpzpx pzxxpzy

2、 pyy設離散隨機變量 X 與 Y 獨立，則 Z=X+ Y 的分布列為11)() () () ()( = liliiljjjP Xx P YzxP XzyP YyP Zz X與Y 是獨立同分布的標準正態變 量，求 Z = X+ Y 的分布.( )( )()dZXYpzpx pzxx解：2211()expexp2222dxzxx21exp2222z所以 Z = X+ Y N(0, 2).進一步的結論見后若同一類分布的獨立隨機變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有可加性.若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，注意：若 Xi b(1, p)，且獨立，則 Z = X1 + X2 + +

3、Xn b(n, p).且獨立，則 Z = X+ Y b(n1+n2, p).若 X P(1) ，Y P(2)，注意： X Y 不服從泊松分布.且獨立，則 Z = X+ Y P(1+2).若 X N( )，Y N( ) ，注意： X Y 不服從 N( ).211, 222, 且獨立，則 Z = X Y N( ).221212, 221212, X Y N( ).221212, 獨立正態變量的線性組合仍為正態變量. (見下)Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 間相互獨立, 實數 a1, a2, ., an 不全為零, 則22111 , iiinniiiniiiaaa X

4、N若 X Ga(1, )，Y Ga(2, ) ，注意： X Y 不服從 Ga(12, ).且獨立，則 Z = X + Y Ga(1+2, ).若 X 2( n1 )，Y 2( n2 ) ，注意： (1) X Y 不服從 2 分布.且獨立，則 Z = X + Y 2( n1+n2). (2) 若 Xi N(0, 1)，且獨立，則 Z = 2( n ).21niiX (1) 獨立的0-1分布隨機變量之和服從二項分布. (2) 獨立的指數分布隨機變量之和服從伽瑪分布. 設 X 與 Y 獨立，XU(0, 1), YExp(1). 試求 Z = X+Y 的密度函數.解:11, 01( )0, xXp x

5、其 它2, 0( ) 0,0yeyYpyy12( )( )()dZpzp x p zxx被積函數的非零區域為：0 x0用卷積公式：(見下圖)xz1z = x因此有(1) z 0 時pZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 時()0d1zz xzexe pZ(z) =(3) 1 z 時pZ(z) =1()0d(1)z xzexee1已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函數 求 (U, V) 的分布.12(, )(, )Ug X YVgX Y有連續偏導、存在反函數則 (U, V) 的聯合密度為若12( , )( , )ug x yvgx y( , )( , )xx u vyy u v(

6、, )( ( , ), ( , )|UVXYpu vpx u vy u vJ其中J為變換的雅可比行列式：1( , )( , )( , )( , )x yu vJu vx y可增補一個變量V = g2(X, Y) ，若要求 U = g1(X, Y) 的密度 pU(u) ，先用變量變換法求出 (U, V)的聯合密度pUV(u, v)，用此方法可以求出卷積公式、積的公式、商的公式然后再由聯合密度pUV(u, v)，去求出邊際密度pU(u)202.8.4 兩個隨機變量的函數的分布 (, )( , ),X Yf x y設的概率密度為 ZXY的分布 ()( )( )()XYXYXYXYZXYfffzy f

7、y dyfx fzx dx卷積公式：將 和 相互獨卷積立時，的密度函數公式稱為公式即 ZXY則的分布函數為：( )()( , )( , )z yZx y zFzP Zzf x y dxdyf x y dx dy (, )zf uy y du dy(, )( )zzZf uy y dy dufu du( )(, )ZZfzf zy y dy故 的概率密度為：,( )( )( ,)ZZX Yfzfzf x zx dx由的對稱性，又可寫成, z yxuy固定令？21例1：設X和Y是相互獨立的標準正態隨機變量，求 的概率密度。 ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dx221122(,),(,

8、)XNYN 221212 (,)ZXYN 則22221212(,)aXbYcN abc ab22()2212z xxeedx22()4212zzxeedx222412zt xztee dt 2412ze2412ze 0,2ZN即解：由卷積公式：一般：設X,Y相互獨立，22 例2：X,Y相互獨立，同時服從0,1上的均勻分布，求 的概率密度。 ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dxxx=zz120 x=z-1 1011 01( )2 12 0 zZzdxzzfzdxzz其他0101 011xxzxzxz 即 時上述積分的被積函數不等于零 解：根據卷積公式：易知僅當參考圖得：23 例3：

9、設X,Y相互獨立、服從相同的指數分布，概率密度為： 求 的概率密度。1 0( )0 0 xexf xx ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dx(2,)這 是 參 數 為的分 布 (Gamma)的 密 度 函 數0( )0Zzfz當時，000zxzx當時，僅當、時，上述積分的被積函數不等于零22010( )xz xzzZzzfzeedxe于是當時，2 0 ( )0 0zZzezfzz即 解：根據卷積公式：2422121 0( )()0 0yYyeyfyy20,011111 0( )()0 0 xXyexfxx10,0一般的，可以證明一般的，可以證明：若X,Y相互獨立，且分別服從參數為

10、X,Y的概率密度分別為證明：這是例3的推廣，由卷積公式12(,),(,) 的 分布12,ZXY則服從參數為的 分布( )( )()ZXYfzfx fzx dx0( )0Zzfz當時，1212121(1,), ()ZA且常數由此可知：121211012()0( )() ()xz xzZxzxzfzedx 當時，121211012()() ()zzexzxdx12211211 11012(1)() ()zx z tzettdt121zAze25 ,( )( ),( ),)maxYminXX YFxFyMFzFzN 設是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為和現在來求的分布函數和。( )()(

11、,)() ()maxMFzP MzP Xz YzP Xz P Yz 的分布函數為： ( )( )( )maxXYFzFz Fz即()(,)P NzP Xz Yz因為( )()1()1(,)1() ()minFzP NzP NzP Xz YzP Xz P Yz ( )1 (1( )(1( )minXYFzFzFz 即N所以的分布函數為：,Mmax X YNmin X Y的分布26 推廣推廣到n個相互獨立的隨機變量的情況 設X1,X2,Xn是n個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為： 則：( ) 1,2,iXiFxin 11iimaxmini ni nMmax XNmin XFzFz 及 的分

12、布函數和為:1212( )( )( )( )( )1 1( )1( )1( )nnmaxXXXminXXXFzFz FzFzFzFzFzFz ( )( ( )( )1 1( )nmaxnminFzF zFzF z 12,( )nXXXF x特別，當相互獨立且具有相同分布函數時，27例4:設X與Y的聯合分布律為： 1210.20.120.30.4XY,max(, ),)UXY VX YU V令，求(的聯合分布率。1220.20300.4400.4UV解：28 例5：設系統L由兩個相互獨立的子系統L1,L2聯結而成，聯結的方式分別為：(1)串聯；(2)并聯；(3)備用(當系統L1損壞時，系統L2開

13、始工作)。如圖，設L1,L2的壽命分別為X,Y，已知它們的概率密度分別為：試分別就以上三種聯結方式寫出L的壽命Z的概率密度。 0( )0 0 xXexfxx0,0，且 0( )0 0 xYeyfyyXYL1L2XYL2L1XYL2L129A.A.串聯的情況串聯的情況 由于當L1,L2中由一個損壞時，系統L就停止工作，所以L的壽命為Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函數分別為：故Z的分布函數為：于是Z的概率密度為：()min1 0( )0 0zezFzz 1 0( )0 0 xXexFxx 1 0( )0 0yYeyFyy 即Z仍服從指數分布L1L2()min() 0( )0 0zezfzz30B.B. 并聯的情況并聯的情況 由于當且僅當L1,L2都損壞時，系統L才停止工作，所以這時L的壽命為Z=max(X,Y)，Z的分布函數為：于是Z的概率密度為：max( )( )( )XYFzFz F