1、第一冊第一冊 力力 學學力學力學-研究物體機械運動的科學研究物體機械運動的科學。機械運動機械運動-物體相對位置或自身各部份的相對位置物體相對位置或自身各部份的相對位置隨時間發生變化的運動。隨時間發生變化的運動。 一、中國古代力學的成就一、中國古代力學的成就： 我國古代記載的力學知識極為豐富。有關于我國古代記載的力學知識極為豐富。有關于力和力矩，杠桿原理，彈性定律，相對運動等等。力和力矩，杠桿原理，彈性定律，相對運動等等。當時都居世界領先地位。但始終未形成系統的力當時都居世界領先地位。但始終未形成系統的力學體系。學體系。二、古希臘時期的力學的成就二、古希臘時期的力學的成就： 亞里士多德（亞里士多

2、德（Aristotlt，公元前，公元前384年年公元前公元前322年）是古希臘偉大的思想家。他的力學理論著眼年）是古希臘偉大的思想家。他的力學理論著眼對對“運動的原因運動的原因”的探索。的探索。 阿基米德（阿基米德（Archimedes，公元前，公元前287年年公元前公元前212年）。主要工作是靜力學方向。推出了杠桿原年）。主要工作是靜力學方向。推出了杠桿原理。名言是：給我一個支點，我就能把地球挪動。理。名言是：給我一個支點，我就能把地球挪動。還提出了比重原理。最著名的是浮力定理還提出了比重原理。最著名的是浮力定理 古希臘人主要是從整體上對自然界進行觀察，古希臘人主要是從整體上對自然界進行觀察

3、，未對自然界進行分析研究。古希臘的力學屬于萌未對自然界進行分析研究。古希臘的力學屬于萌芽階段。他的理論常常帶有猜測的性質。芽階段。他的理論常常帶有猜測的性質。三、近代的力學（我們將學習的內容）三、近代的力學（我們將學習的內容）： 1415世紀后，西方資本主義生產方式開始世紀后，西方資本主義生產方式開始萌芽，這不僅提出了發展科學的需要，還提供了萌芽，這不僅提出了發展科學的需要，還提供了科學發展所需的材料和設備?？茖W發展所需的材料和設備。 文藝復興運動后，力學開始發展成為一門獨文藝復興運動后，力學開始發展成為一門獨立的學科。立的學科。 17世紀中葉，經過伽利略、笛卡爾、惠更斯世紀中葉，經過伽利略、

4、笛卡爾、惠更斯等科學家的努力，力學實驗的基礎已經建立起來。等科學家的努力，力學實驗的基礎已經建立起來。部分運動學規律已經發現。為牛頓定律的建立奠部分運動學規律已經發現。為牛頓定律的建立奠定了基礎。形成了近代力學。定了基礎。形成了近代力學。力學的許多內容在中學已學過。這里不是簡單的力學的許多內容在中學已學過。這里不是簡單的重復，而是利用高等數學，更嚴格，更系統。重復，而是利用高等數學，更嚴格，更系統。第第 1 章章 （運動的描述）質點運動學（運動的描述）質點運動學1.1 質點運動的描質點運動的描述述質點質點-把實際物體看成只有質量而無大小形狀把實際物體看成只有質量而無大小形狀 的力學研究對象。的

5、力學研究對象。一、理想模型一、理想模型注意：注意： a. 能否看成質點是相對于所研究的問題而言能否看成質點是相對于所研究的問題而言的（例：單擺的擺球電場中電子）的（例：單擺的擺球電場中電子）b .不能看成質的集合（例：剛體運動，流體不能看成質的集合（例：剛體運動，流體運動）運動）。（物體（物體看成看成“質點質點”）例，地球：例，地球： 公轉公轉 質點質點 自轉自轉 剛體剛體 潮汐潮汐 質點系質點系一、一、 參考系參考系 參考系：描述物體運動而選作參考的物體或物體系。參考系：描述物體運動而選作參考的物體或物體系。 1.運動的相對性決定描述物體運動必須選取參考系。運動的相對性決定描述物體運動必須選

6、取參考系。 2.運動學中參考系可任選，不同參考系中物體的運動形式運動學中參考系可任選，不同參考系中物體的運動形式（如軌跡、速度等）可以不同。（如軌跡、速度等）可以不同。 3.常用參考系常用參考系: 太陽參考系（太陽太陽參考系（太陽 恒星參考系）恒星參考系） 地心參考系（地球地心參考系（地球 恒星參考系）恒星參考系） 地面參考系或實驗室參考系地面參考系或實驗室參考系 質心參考系（后面介紹）質心參考系（后面介紹）“山不轉來水在轉山不轉來水在轉，水不轉來云水不轉來云在轉在轉 ，” “坐地日行八萬里坐地日行八萬里 ” 1.2 參照系和坐標系參照系和坐標系 慣性系慣性系自然坐標系自然坐標系to oPnx

7、 xo oy yijkZ Z r rP POx極坐標系極坐標系直角坐標系直角坐標系二、坐標系二、坐標系 坐標系：固結在參考系上的一組有刻度的射線、曲線坐標系：固結在參考系上的一組有刻度的射線、曲線或角度。或角度。 1.坐標系為參考系的數學抽象。坐標系為參考系的數學抽象。 2.參考系選定后，坐標系還可任選。在同一參考系中參考系選定后，坐標系還可任選。在同一參考系中用不同的坐標系描述同一運動，物體的運動形式相同，用不同的坐標系描述同一運動，物體的運動形式相同，但其運動形式的數學表述卻但其運動形式的數學表述卻可以不同可以不同。三、慣性系和非慣性系三、慣性系和非慣性系;慣性系；慣性定律成立的參照性。慣

8、性系；慣性定律成立的參照性。 慣性定律慣性定律; 即即 牛頓第一定律牛頓第一定律 自由粒子永遠保持靜止或自由粒子永遠保持靜止或勻速直線運動狀態。勻速直線運動狀態。 實用上選實用上選 1535 個恒星的平均位形作為基準慣性系個恒星的平均位形作為基準慣性系地球是一個非精確的慣性系。太陽好一些。地球是一個非精確的慣性系。太陽好一些。一般技術上使用的地面參考系和實驗室參考系足夠精確一般技術上使用的地面參考系和實驗室參考系足夠精確是理想化抽象思維的產物。是理想化抽象思維的產物。 標量；一個數標量；一個數+ 單位單位 m，T，t，E能，A功。 2,矢量的加法; 1) 法 CABBA222cosCABABs

9、incosBtgABABC1.3 運動的描述運動的描述.矢量；矢量；1，矢量和標量矢量和標量 矢量矢量; 大小大小, 方向方向, 按按 法則合成法則合成,.,BEavrrf 2) 法法 BAC 3) 解析法解析法jAiAAyxjBiBByxjBAiBABACyyxx)()(22)()(yyxxBABACxxyyBABAtgxAyAAxijyACB 4）減法）減法 )( BABACABBC3，矢量的乘法；，矢量的乘法； 三種三種 1）標量（或常數）乘矢量）標量（或常數）乘矢量 .,.00bkAkk 反向反向例例1， 例例 2，單位矢量，單位矢量vmp0aAA0a 單位矢量（大小為單位矢量（大小為

10、1，方向沿，方向沿A方向）方向）在三維坐標中引入三個單位矢量在三維坐標中引入三個單位矢量;.,kjikAjAiAAzyxkzj yi xr,kji 是三個常矢量，（大小，是三個常矢量，（大小，方向都不變。）方向都不變。）2）標積（點乘），）標積（點乘），cosA BAB xzrijkyBA例例1，功，功 例例2， cosAFSF S2AAAvvmmv212123）矢積（叉乘）矢積（叉乘） CBA大小大小 方向方向 按右手螺旋法則按右手螺旋法則 乘次序不能顛倒乘次序不能顛倒ABBAABCsinCAB例例1，力矩，力矩fLrLfrL,rfL例例2，磁場對一段載流，磁場對一段載流 導線的作用力導線的

11、作用力lIdBlIdf dlIdfB例例3， 以速度以速度 在在 中運動電荷中運動電荷q 受力，受力，vBBvqf例例4， 習題習題 證明證明zyxzyxBBBAAAkjiBA先證先證; kjiii0例例5, 平行四邊形面積平行四邊形面積 BASABS 平行六面體的體積平行六面體的體積 ABCCBAV)(推論推論1; 則三矢量共面。則三矢量共面。 2， 0CBACBACBA互換?；Q。 3，循環置換三矢量，結果不變。，循環置換三矢量，結果不變。BACACBCBA若循環順序改變，則差一負號。若循環順序改變，則差一負號。BCACBA習題習題;證明證明 1, 矢量在矢量在 與與 組成的平面內組成的平

12、面內. 2, 3,證明證明CBABCCBABCACBAzyxzyxzyxCCCBBBAAACBA一、一、運動方程運動方程機械運動是物體（質點）位置隨時間的改變。在坐標機械運動是物體（質點）位置隨時間的改變。在坐標系中配上一套同步時鐘，可給出質點運動到各處的時系中配上一套同步時鐘，可給出質點運動到各處的時刻，從而得到刻，從而得到質點位置坐標和時間的函數關系質點位置坐標和時間的函數關系。該。該函數關系稱為質點的運動函數或運動方程。函數關系稱為質點的運動函數或運動方程。( ),( ),( )xx tyy tzz tXYZoyxzPnAB( , , )x y z( )( )( )( )rr tx t

13、iy t jz t kkzzjyyixx)()()(121212大?。捍笮。?22zyxr四四. .位移位移: :A AB B1r2rrM MN N21()( )rr ttr trr O OS問題：問題：rr |?222zyxrrzryrxcoscoscosX XY YZ Zo ory yx xz zP Pn nA AB B ijk二、二、 質點的位置矢量質點的位置矢量（位矢、矢徑）（位矢、矢徑） 用來確定某時刻質點位置（用矢端表示）的矢量。用來確定某時刻質點位置（用矢端表示）的矢量。opr 該式也叫質點的運動函數或運動方程。該式也叫質點的運動函數或運動方程。例：如圖所示：質點沿曲線路徑由例：

14、如圖所示：質點沿曲線路徑由a運動至運動至b，所經路徑為所經路徑為Sab， a，b的位矢為的位矢為arbrarbrab?bad r?bad r?bad rab 位移大小位移大小Sab 路程大小路程大小rba位移位移trtrrv12( (瞬時瞬時) )速度速度 : :dtrdtrvt0lim平均速度平均速度: :方向：方向： 切線方向切線方向kdtdzjdtdyidtdxkzj yi xdtd)(大小：大?。?22zyxvvvv三、三、速度速度 速度：速度： 運動快慢程度和方向運動快慢程度和方向kvjvivzyx速率速率: : 速度的大小速度的大小 ( ( 標量標量 ) )trvvt0limdtd

15、stst0limdtdxvxdtdyvydtdzvzxyzvvvsv2r1rrA AB B四、四、 加速度加速度加速度：描寫速度的大小和方向變化加速度：描寫速度的大小和方向變化平均加速度平均加速度: :1212ttvvtva方向由速度改變量的方向來決定方向由速度改變量的方向來決定( (瞬時瞬時) )加速度加速度: :kdtzdjdtydidtxd222222方向方向: : 指向軌道曲線凹下的一側指向軌道曲線凹下的一側kajaiazyxoZXYABvkdtdvjdtdvidtdvzyx22dtxddtdvaxx22dtyddtdvayy22dtzddtdvazz22d rdt1vxyzaaadt

16、vdtvat0lim2v2v例：質點在平面運動，分別指出下列情況中做何例：質點在平面運動，分別指出下列情況中做何種特征運動？種特征運動？0d rd t0d rd t0d vd t0d vd t靜止、轉動靜止、轉動靜止靜止勻速率運動（直線、曲線）勻速率運動（直線、曲線）勻速直線運動勻速直線運動例：有一質點沿例：有一質點沿x軸作直線運動，軸作直線運動，t時刻的坐標為時刻的坐標為求：求：1.第第2秒內的平均速度。秒內的平均速度。2.第第2秒末的瞬時速度秒末的瞬時速度 2。第。第2秒內的路程秒內的路程234.52xtt1210.521xxVm s 21966dxVttm sdt 2960dxVttdt

17、t=1.5s時改變方向時改變方向1.5121.52.25Sxxxxm質點運動學中的正反問題：質點運動學中的正反問題：質點運動狀態質點運動狀態位矢位矢瞬時速度矢量瞬時速度矢量)(trdttrdv)(質點運動狀態變化質點運動狀態變化已知位置（運動函數）已知位置（運動函數）求速度求速度（求導）（求導）求速度求速度求位置（運動函數）求位置（運動函數） （積分）（積分）ktzjtyitxtr)()()()(（運動方程）（運動方程）位移位移21rrr瞬時加速度矢量瞬時加速度矢量dvadt22d rdt求加速度求加速度正問題：正問題：已知加速度已知加速度反問題：反問題：例例1 1 勻加速直線運動勻加速直線運

18、動運動特點：運動特點：勻加速勻加速a a為常量為常量直線運動直線運動一維一維0 0avx x(t=0)(t=0)(t)(t)x x設質點運動軌道為設質點運動軌道為x x軸軸初始條件初始條件(t=0)(t=0)0 x0v0(0)x 求：求：( )?x t ( )?v t 已知：已知：a a和和解：解：求速度求速度求位置（運動函數）求位置（運動函數） （積分）（積分）已知加速度已知加速度 反問題：反問題：dvadtd va d t0t0vv0vvat0vvat由由由由dxvdtd xvd t0t0 xx000()xtxdxvat dt20012xxv tatx 2202vvax例例2 2 自由落體

19、運動：自由落體運動：沿質點運動軌道建立沿質點運動軌道建立y y軸（正方向向下）軸（正方向向下）0 0gy y(t=0)(t=0)(t)(t)y yv已知：已知：a g00y 00v 求：求：( )?y t ( )?v t 解：解：同理可得同理可得vgt212ygt22vgy例例3 3 豎直上拋物體運動：豎直上拋物體運動：沿質點運動軌道建立沿質點運動軌道建立y y軸（正方向向上）軸（正方向向上）0 0y y00v g gag 00v 0vvgt2012yv tgt可以看出：這是位移公式，不是路程公式！可以看出：這是位移公式，不是路程公式?。ㄏ蛳拢ㄏ蛳拢ㄏ蛏希ㄏ蛏希├? 4 斜拋運動斜拋運

20、動運動特點：運動特點：勻加速勻加速曲線運動曲線運動二維（平面運動）二維（平面運動）a g 水平方向水平方向x x軸軸豎直方向豎直方向y y軸軸建立坐標系：建立坐標系：X X方向：勻速方向：勻速y y方向：勻加速方向：勻加速yag (t=0)(t=0)00 x 初始條件初始條件00y 軌道函數軌道函數0 xa y yg gx xo o0 xv0yv0vxvyvv(x y)(x y)cos00vvxsin00vvycos0vvxgtvvysin0cos0tvx 2021singttvy2220cos2xvgxtgy矢量分析方法：矢量分析方法：xyvv iv j000 xyvv ivjagg j 0

21、vvgtrxiyj2012rv tgt212gt0v ty yg gx xo o0 xv0yv0vxvyvv(x y)(x y)rjvivsincos00jgtviv)sin(cos00tj gjviv)()sincos(00jgttvitv)21sin()cos(200200)(21)sincos(tj gtjviv1 12 23 3物體由三光滑軌道的頂端下滑物體由三光滑軌道的頂端下滑哪條軌道用時最短？哪條軌道用時最短？1ag2112gt21 112a t1r2211 111122ra tgt2222221122ra tgt2233331122ra tgt2r3r22 212a t23 31

22、2a t123ttt 222123111222gtgtgt 例例5， 求船的求船的 v，a 已知已知； 0vdtdrj hi xrdtdrhrrdtdxhrxidtdxdtrd22220222200vxhxhrrvdtdxvdtdr?22raixhxrv 0 xyhrx2203haxv 例例 一艘正在沿直線行駛的汽艇，在發動機關閉后，其加速度方向與一艘正在沿直線行駛的汽艇，在發動機關閉后，其加速度方向與速度方向相反，滿足速度方向相反，滿足2,dvkvdt 式中式中 k 為常數。試證明汽艇在關閉發動機為常數。試證明汽艇在關閉發動機后又后又行駛行駛 x 距離時距離時的速度為的速度為0,kxvv e

23、其中其中 v0 是關閉發動機時的速度。是關閉發動機時的速度。解：解：對題中所給關系式對題中所給關系式2dvkvdt作一數學處理如下：作一數學處理如下：2dvdv dxkvdtdx dt分離變量積分：分離變量積分：00lnln,lnvvvkxkxv0,kxvv e即即2dvvkvdx 00,vxvdvdvkdxkdxvv 故故#運動學基本物理量在不同坐標系中的表達運動學基本物理量在不同坐標系中的表達一、直角坐標系一、直角坐標系( )( )( )( )rr tx t iy t jz t k21()( )rr ttr trr 0limtrdrvtdt 0limtvdvatdt 自然坐標系自然坐標系t

24、o oPnx xo oy yijkZ Z r rP POx極坐標系極坐標系直角坐標系直角坐標系二、 平面極坐標系平面極坐標系 不是常矢量，是質點所在位置不是常矢量，是質點所在位置的函數。的函數。,re:e1. A1. A點的點的位置矢量位置矢量：( )( )( )rr tr t e t2. 2. 質點在質點在 t t 時間內的時間內的位移位移為：為：12()( )rr ttr trr 1rAC橫向位移橫向位移2rCB徑向位移徑向位移圖中圖中：( ) ,OAOCr t2OBOCr 當當 t t 很小時，有很小時，有：22rrr e 1,rre o( )re tX( )r t()re tt ()r

25、 tt AB1rC2rr( )et()ett 坐標系中有兩相互垂直的單位矢量：坐標系中有兩相互垂直的單位矢量： B B點的位置矢量：點的位置矢量：()()()rr ttr tt e tt平面極坐標系：位矢長度為平面極坐標系：位矢長度為 r, r, 輻角為輻角為。沿著沿著 r 和和增加的方向增加的方向12()( )rr ttr trr 2rrer e 在直角坐標系中，有關系式：在直角坐標系中，有關系式：利用矢量求導數方法，可得出下述兩式利用矢量求導數方法，可得出下述兩式: :()rrrrd rededrdrverreredtdtdtdtxyree1reeeedtddtedrrd eed t 徑向

26、速度徑向速度橫向速度橫向速度cossinreijsincoseij 3.3.質點的速度質點的速度12000limlimlimtttrrrvttt 4.4.質點的加速度質點的加速度()rd rer edvadtdt其中：其中：2()rrrrrea e稱為徑向加速度稱為徑向加速度(2)rrea e稱為橫向加速度稱為橫向加速度()rrr ererer ererrdededrdrerererdtdtdtdt2()(2)rrrerrerra ea eedtedrredtedrvrere三、三、 自然坐標系自然坐標系已知質點的運動軌跡，在軌跡上選取任意一點為原點，建立自已知質點的運動軌跡，在軌跡上選取任意

27、一點為原點，建立自然坐標系。然坐標系。位置：用軌跡長度位置：用軌跡長度 s s 來描述，來描述，位移：位移：s ,s ,即即A,B A,B 間軌跡長度。間軌跡長度。o oA A( ) t( )n tB B()tt()n tts s( ) tt1. 1. 質點位置與位移質點位置與位移：切向單位矢量：切向單位矢量n：法向單位矢量：法向單位矢量兩者的方向互相垂直，兩者的方向互相垂直，并且均隨時間而變化。并且均隨時間而變化。2.2.速度速度vv其大小為：其大小為：dsvdt速度只有切向方向分量，沒有法向方向分量。速度只有切向方向分量，沒有法向方向分量。3.3.加速度加速度()dvd vdvdavdtd

28、tdtdt當當 t t 很小時，很小時，n dnd過過A A點作曲率圓，半徑為點作曲率圓，半徑為 ，dsdddsvnndtdt2ndvvdvvavnnaa ndtdt 式中：式中：2nva切向加速度，切向加速度，dvadt法向加速度法向加速度o oA A( ) t( )n tB B()tt()n tts s( ) ttd 圓周運動圓周運動質點做曲線運動時，質點做曲線運動時，可以看作各個瞬間做不可以看作各個瞬間做不同曲率半徑的圓周運動同曲率半徑的圓周運動線速度線速度（圓周運動速率）（圓周運動速率）dsvdt角速度角速度ddt線量與角量關系：線量與角量關系：對勻速圓周運動：對勻速圓周運動：2Trs

29、 rv rdds 1r2rvss0 0 x xA Ar( )v tv()tv()v tt()nv()()ntvvv 0limtdvvadtt 00()()limlimntttvvtt ntaa0limttvatdvdt切向加速度切向加速度ta大小：大?。悍较颍悍较颍呵芯€方向切線方向線量與角量關系：線量與角量關系：ddt角加速度角加速度()v ttss0 xA( )v trdtrddtdvatr0| () |limnntvat法向加速度法向加速度na大?。捍笮。悍较颍悍较颍褐赶驁A心方向指向圓心方向C CB B()v ttss0 0 x xA A( )v tr( )v tv()tv()v tt()

30、nvtrBCvtlim0trsvtlim0tsrvtlim0vrvrvan2rBCvvn )(圓周運動的加速度圓周運動的加速度切向加速度切向加速度ta速度大小變化產生的加速度速度大小變化產生的加速度法向加速度法向加速度na速度方向變化產生的加速度速度方向變化產生的加速度tdvadt切向加速度切向加速度ta大?。捍笮。悍较颍悍较颍?切線方向切線方向法向加速度法向加速度na大小：大?。悍较颍悍较颍褐赶驁A心指向圓心圓周運動的總加速度圓周運動的總加速度ntaaa22ntaaaa的大小的大小rvan2r2rntervedtdv2nterer2也可以采用也可以采用“自然坐標系自然坐標系”來推導：來推導：C

31、B()v ttss0 xA( )v trtenetevv)(tet)(dttetdtedtvdadtedvedtdvtt?dtedttednteded)1 (ntedtddtednenerv ntervedtdva2圓周運動中線量與角量關系：圓周運動中線量與角量關系：rs rv dtdsv dtdrat2randtdvatdtd勻變速勻變速圓周運動（圓周運動（類似勻變速直線運動）類似勻變速直線運動）t02021tt)(20202rvan21-4 1-4 相對運動相對運動1-4 1-4 相對運動相對運動平動參考系平動參考系 K K2 2 相對于平動參考系相對于平動參考系 K K1 1 的位置矢量

32、為的位置矢量為 R1K1oRp p2r1r位置矢量：位置矢量：R速度：速度：dRudt加速度：加速度：202dud Radtdt2. 2. 已知參考系已知參考系 質點質點P P的位置的位置 , ,速度速度 , ,加速度加速度2K2rva12rrR1. 1. K K2 2 系相對系相對 K K1 1 系系1K1rva 求參考系求參考系 質點質點P P的位置的位置 , ,速度速度 , ,加速度加速度2K2o12rrR （絕對位移）（絕對位移） （相對位移）（相對位移）（牽連位移）牽連位移）rrR 人 對 地人 對 車車 對 地12drdrdRvvudtdtdt00a12rrRvvu伽利略速度變換伽

33、利略速度變換絕對運動絕對運動= =相對運動相對運動+ +牽連運動牽連運動rrR 人對地人對車車對地0aaa當兩參考系相對做勻速直線運動時當兩參考系相對做勻速直線運動時0dvdvduaaadtdtdtaavvu人對地人對車車對地1K1oRp p2r1r2K2o例：如圖所示，在水平面上三個彼此距離為例：如圖所示，在水平面上三個彼此距離為L的質點的質點A、B和和C以以大小為大小為v的速度互相追逐，質點運動方向始終指向它追逐的對象，的速度互相追逐，質點運動方向始終指向它追逐的對象，求：（求：（1）質點需要多長時間才能追上其目標？）質點需要多長時間才能追上其目標？ （2）試寫出描述質點運動軌跡的方程。）試寫出描述質點運動軌跡的方程。ABCLv（1）待選擇答案：）待選擇答案：A. L/v B. L/2vC. D. 2L/3v E. 永遠無法追上，永遠無法追上，F.此題無解此題無解.vL33啟發：兩個質點相對運動問題啟發：兩個質點相對運動問題解：解：三個質點彼此之間作相對運動，運三個質點彼此之間作相對運動，運動軌跡對三角形動軌跡對三角形ABC的中心的中心O具有具有旋轉對稱性。旋轉對稱性。BvrCBvvv考慮考慮C質點相對質點相對B的運動，有的運動，有rv將將 在在BC連線方向的投影連線方向的投影vr/為為/3cos32rvvvv 追逐過程中，追逐過程中，