1、產(chǎn)品產(chǎn)品投入投入限量限量設(shè)備設(shè)備128臺(tái)時(shí)原材料原材料A4016kg原材料原材料B0412kg12xx、1228xx12416412xx12xx、1223zxx12max23zxx12121228416412,0 xxxxx x12,nx xx1 122max(min)nnzc xc xc x11 11221121 1222221 12212( , )( , )( , ),0nnnnmmmnnmna xa xa xba xa xa xba xaxaxbx xx 對(duì)策的三要素：u 局中人：有權(quán)決定自己行為方案的對(duì)局參加者稱為局中人。u 策略：對(duì)局中一個(gè)實(shí)際可行的方案稱為一個(gè)策略。u 贏得矩陣（支

2、付）：當(dāng)每個(gè)局中人在確定了所采取的策略后，其策略組合就形成一個(gè)局勢(shì)，并產(chǎn)生確定的收益或損失稱為贏得（支付）。贏得與局勢(shì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為贏得（支付）函數(shù)。 根據(jù)參加對(duì)策的局中人的數(shù)目，可以將對(duì)策分為二人對(duì)策和多人對(duì)策，局中人為二人的稱為二人對(duì)策。 根據(jù)局中人可供選擇的策略的有限或無限，可將對(duì)策分為有限對(duì)策和無限對(duì)策。 根據(jù)各局中人贏得值的代數(shù)和（贏者為正，輸者為負(fù)）是否為零，將對(duì)策分為零和對(duì)策與非零和對(duì)策。 設(shè)兩個(gè)局中人為I、II，局中人I有m 個(gè)策略： ；用S1表示這些策略的集合： 同樣，局中人II有n個(gè)策略： ,用S2表示這些策略的集合： 12,m 12,n 112,mS 212,nS 局

3、中人I的贏得矩陣是：局中人II的贏得矩陣是 。把一個(gè)對(duì)策記為 。12,;GS SATA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 在局中人I設(shè)法使自己的贏得盡可能大的同時(shí)，局中人II也設(shè)法使局中人I的贏得盡可能小。 所以局中人I應(yīng)首先考慮用 策略所能贏得的最小，然后在這些最小贏得中選擇最大。局中人I可以保證贏得同樣，局中人II可以保證局中人I的贏得不超過 maxminijjiaminmaxijjia1、混合策略定義定義7-1：對(duì)給定的矩陣對(duì)策若等式成立，則稱這個(gè)公共值為對(duì)策G的值，記為VG，而達(dá)到的局勢(shì) 稱為對(duì)策G在純策略意義下的解，記為而和分別稱為局中人I和局中人II的最優(yōu)純策

4、略。12,;GS SAmaxminminmaxijijjjiiaa(,)ij *(,)ij*i*j定理7-1：矩陣對(duì)策在純策略意義下有解的充分必要條件是：存在一個(gè)局勢(shì) ，使得對(duì)一切 均有 12,;GS SA*(,)ij1,2,1,2,im jn* *iji ji jaaa定理7-1表明矩陣對(duì)策有解的充分必要條件是在A中存在元素 是其所在行中最小的同時(shí)又是其所在列中最大的。這時(shí) 即是對(duì)策值，因此 也稱為“鞍點(diǎn)”，而 為對(duì)策的解。12,;GS SA* *i ja* *i ja* *i ja*(,)ij 對(duì)矩陣對(duì)策 而言，局中人I有把握的至少贏得是 ，局中人II有把握的至多損失是 。局中人I的贏得不

5、會(huì)超過局中人II的損失，即總有 。 僅當(dāng) 時(shí)，矩陣對(duì)策G存在純策略意義下的解，且 。但實(shí)際更多的情況是 ，此時(shí)不存在純策略意義下的解。ijji1aminmaxv ijij2amaxminv 12,;GS SA12vv12vv12GVvv12vv例如，假設(shè)贏得矩陣為：4563A1, 5amaxminv*ijij2j2, 4aminmaxv*ijji1i 對(duì)兩個(gè)局中人來說，不存在一個(gè)雙方均可接受的平衡局勢(shì)，對(duì)策沒有純策略意義下的解。一種較合乎實(shí)際的想法是給出一個(gè)選取不同策略的概率分布。定義7-2:對(duì)給定的矩陣對(duì)策其中 把純策略集合對(duì)應(yīng)的概率向量 其中 和 其中分別稱為局中人I和局中人II的混合策略

6、。12,;GS SA112,mS 212,nS ()ijm nAa12( ,)mXx xx01iixx12(,)nYy yy01jjyy如果局中人I選取的策略為局中人II選取的策略為 ，則期望值稱為局中人I的期望贏得，而局勢(shì)（X，Y）稱為“混合局勢(shì)”，局中人I，II的混合策略集合記為 。12(,)mXx xx12(,)nYy yy(, )TiijjE X Yx a yXAY *12,SS定義7-3:設(shè) 是對(duì)策G的混合擴(kuò)充，如果有則稱這個(gè)公共值為對(duì)策G在混合意義下的值，記為 ，而達(dá)到 的混合局勢(shì) 稱為對(duì)策G在混合策略意義下的解，而 和 分別稱為局中人I，II的最優(yōu)混合策略。*12,;GSSE*2

7、211maxmin(, )minmax(, )Y SY SXSXSE X YE X Y*GV*GV*(,)XY*X*Y定理7-2：任意一個(gè)給定的矩陣對(duì)策在混合策略意義下一定有解。 矩陣對(duì)策的解可能不只一個(gè)，但對(duì)策值是唯一的。 2、優(yōu)超原則 在局中人I的純策略中，假設(shè)存在 和 ，如果對(duì)局中人II的一切純策略，都有 ，即局中人I的贏得矩陣的第l行元素不小于第k行對(duì)應(yīng)的元素，則局中人I的純策略 優(yōu)于 ，局中人I選擇 的概率為零，可以去掉贏得矩陣的第k行。 同理，在局中人II 的純策略中，假設(shè)存在 和 ，如果對(duì)局中人I的一切純策略，都有 ，則局中人II的純策略 優(yōu)于 ，局中人II選擇 的概率為零，可以

8、去掉贏得矩陣的第k列。k1kjijaa1kkk1ikilaa1kk例7.4.3：設(shè)某矩陣對(duì)策的贏得矩陣為388065 . 57864959379520503023A試?yán)脙?yōu)超原則簡(jiǎn)化該矩陣。解：經(jīng)4步后最終可化為二階矩陣64374A3、沒有鞍點(diǎn)的矩陣對(duì)策的解法 2*2 矩陣對(duì)策的公式解法定理7-3：對(duì)給定的矩陣對(duì)策如果A無鞍點(diǎn)，則局中人I的最優(yōu)混合策略 ，局中人II的最優(yōu)混合策略 和對(duì)策值 由下列公式給出：令 122*2,;,()ijGS SAAa*12(,)Xxx*12(,)Yyy*GV11221221Daaaa*1222121112*122122112111221221()/()/()/(

9、)/()/GxaaDxaaDyaaDyaaDVa aa aD上述公式來源于以下兩個(gè)方程組：0 x,x1xxVxaxaVxaxa2121G222112G2211110y,y1yyVyayaVyaya2121G222121G212111在人們的日常生活或企業(yè)組織的經(jīng)營(yíng)管理中，經(jīng)常會(huì)遇到一些決策問題，它包括下列要素：1、自然狀態(tài)，描述了決策問題所處的各種狀態(tài)；2、行動(dòng)方案，解決決策問題，決策者可采取的行動(dòng)；3、后果，是決策者采取了某一行動(dòng)方案后可能獲得的結(jié)果；4、效能，是客觀結(jié)構(gòu)在決策者心中的價(jià)值。決策問題通常有兩種描述和解決方法，一種是決策矩陣法，一種是決策樹方法。狀態(tài)概率狀態(tài)方案決 策12imA

10、AAA12jnSSSS12()()()()jnP SP SP SP S1112112122221212jnjniiijinmmmjmnaaaaaaaaaaaaaaaa益損期望值E(A)12imEEEEAAAA maxrE AAE(A)叫做決策空間；12,nSS SS叫做狀態(tài)向量；12(), (), ()nP SP SP S同樣設(shè)有m個(gè)行動(dòng)方案A1,A2,Am，寫成集合為12,mAA AA對(duì)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，假定它們是隨機(jī)變量，其發(fā)生的概率分別用 表示，由于發(fā)生這類事件的可能性是相互排斥的，又是相互獨(dú)立的事件，故有表中主要部分是在各自然狀態(tài)下決策者采取行動(dòng)方案的后果。12()()()1nP SP

11、SP S 決策樹是一種形象的說法，如下圖所示。它所伸出的線條像大樹的樹干和樹枝，整個(gè)圖形就像一棵大樹。自然狀態(tài)點(diǎn)自然狀態(tài)點(diǎn)13決策點(diǎn)概率枝概率枝概率枝結(jié)果點(diǎn)結(jié)果點(diǎn)結(jié)果點(diǎn)結(jié)果點(diǎn)方案分枝方案分枝修枝概率枝 圖中左邊的方塊叫決策點(diǎn)，由它畫出若干線條，每條線代表一個(gè)方案，叫方案分枝。方案分枝的末端畫個(gè)圓圈，叫做自然狀態(tài)點(diǎn)。從它引出的線條代表不同的自然狀態(tài)，叫概率枝。在概率枝的末端畫個(gè)三角，叫做結(jié)果點(diǎn)，在結(jié)果點(diǎn)旁，一般列出不同自然狀態(tài)下的收益或損失值。決策樹的畫圖是從左至右逐步完成的。 應(yīng)用決策樹來作決策的過程，是從右至左逐步后退進(jìn)行分析的。根據(jù)右端結(jié)果點(diǎn)旁的益損值和概率枝上的概率，計(jì)算出每個(gè)自然狀態(tài)點(diǎn)

12、上的益損期望值，然后根據(jù)不同方案分枝末端的益損期望值結(jié)果作出選擇。方案的舍棄叫做修枝，被舍棄的方案用在方案分枝上做“ ”的記號(hào)來表示（即修剪的意思）。最后在決策點(diǎn)留下一條方案分枝，即為最優(yōu)方案。決策樹法的優(yōu)點(diǎn) （1）可以構(gòu)成簡(jiǎn)單、明了、清晰的決策過程，使決策者有步驟、有順序地進(jìn)行決策； （2）直觀、形象，可使決策者以科學(xué)的邏輯推理去周密地思考各種有關(guān)因素； （3）便于集體決策，集思廣益，集中群眾智慧和統(tǒng)一不同意見，同時(shí)也很適合于向上級(jí)領(lǐng)導(dǎo)機(jī)關(guān)匯報(bào)決策過程和結(jié)果。在風(fēng)險(xiǎn)決策問題中，自然狀態(tài)的發(fā)生概率一般是根據(jù)過去的資料和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的，其估計(jì)結(jié)果是否準(zhǔn)確直接影響著決策效果。概率估計(jì)的準(zhǔn)確程度取決于所

13、掌握情報(bào)資料的多少和詳細(xì)程度，但是為了獲取情報(bào)，需要進(jìn)行調(diào)查研究等活動(dòng)，要消耗人財(cái)物力。因此需要權(quán)衡是否需要再作調(diào)查或試驗(yàn)，以及需要投入多少人力和財(cái)力去獲取新的情報(bào)。這是一類復(fù)雜的決策問題，涉及統(tǒng)計(jì)決策中的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率。貝葉斯決策法就是運(yùn)用概率論中的貝葉斯定理解決這類問題的方法。貝葉斯決策是在已知自然狀態(tài)先驗(yàn)概率的情況下，通過抽樣調(diào)查，利用貝葉斯公式修正先驗(yàn)概率，進(jìn)而取得后驗(yàn)概率，并據(jù)此進(jìn)行決策的。 設(shè)A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件，它們發(fā)生的概率分別為P(A) 、P(B)， P(AB)表示A、B同時(shí)發(fā)生的概率。 所謂條件概率是指在事件B發(fā)生的前提（條件）下，A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。()(

14、|), ()(|)( )( )P ABP A BP ABP A BP BP B()(|), ()(|)( )( )P ABP B AP ABP B AP AP A或而根據(jù)全概率公式11( )(|) ()()nniiiiiP AP A B P BP AB可以得到貝葉斯定理表達(dá)式：1(|) ()(|)(|) ()ijjjinijjjP A B P BP BAP A B P B 上式說明，已知事件 發(fā)生的概率和 發(fā)生條件下 發(fā)生的概率，就可以求得在事件 發(fā)生的前提下， 發(fā)生的概率。jBjBjBiAiA對(duì)完全不確定型決策問題，獲得了有關(guān)情報(bào)資料后就易于把問題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)型決策問題。而對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，

15、獲得的情報(bào)（信息）越多，對(duì)自然狀態(tài)發(fā)生概率的估計(jì)就越準(zhǔn)確，作出的決策就越合理。但為了獲得情報(bào)，就要進(jìn)行調(diào)查、試驗(yàn)等工作，這需要支付一定費(fèi)用。因此，為了權(quán)衡得失，有必要估算情報(bào)本身的價(jià)值。在多目標(biāo)決策問題中，由于不能簡(jiǎn)單比較兩個(gè)解的優(yōu)和劣，所以就有劣解和非劣解兩個(gè)重要概念。現(xiàn)用一直線坐標(biāo)描述 和 兩個(gè)目標(biāo)（極大化）的大小，得到5個(gè)點(diǎn)（見9-1圖），顯然點(diǎn)都比點(diǎn)為優(yōu)，故為劣解，在多目標(biāo)決策中應(yīng)舍去。而三點(diǎn)各有一個(gè)指標(biāo)優(yōu)越，故不能舍去，稱之為非劣解，也叫有效解。處理多目標(biāo)決策問題，要先找出非劣解，然后再按一定規(guī)則從中選取滿足要求的，作出最后決策。1f2f圖9-1 多目標(biāo)決策1、以少勝多的方法“以少勝

16、多”的主要目的是將多目標(biāo)化成單目標(biāo)問題處理，目前主要有以下幾種方法：（1）主要目標(biāo)法。通過對(duì)實(shí)際問題的分析，抓住其中一兩個(gè)主要目標(biāo)，讓它們盡可能優(yōu)化，而其他指標(biāo)只要滿足一定要求即可。這種方法比較有效。（2）線性加權(quán)法。若有m個(gè)目標(biāo) ，分別給以權(quán)系數(shù) ，然后作新的目標(biāo)函數(shù)（也稱有效函數(shù)） 。這種方法的難點(diǎn)是如何找到合理的權(quán)系數(shù)，使多個(gè)目標(biāo)用同一尺度統(tǒng)一起來，同時(shí)所找到的最優(yōu)解又是向量極值的好的非劣解。1( ),( )mf xfx(1,2,)iim1( )( )miiiU xf x2、層次序列法由于同時(shí)處理m個(gè)目標(biāo)比較麻煩，故可采用層次序列法。層次序列法的思想是把目標(biāo)按其重要性給出一個(gè)序列，分別為

17、最重要目標(biāo)、次要目標(biāo)等。設(shè)給出的重要性序列為 ，下面介紹逐個(gè)求最優(yōu)化地序列最優(yōu)化。首先對(duì)第一個(gè)目標(biāo)求最優(yōu)，并找出所有最優(yōu)解的集合記為 ,然后在 求第二個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，記這時(shí)的最優(yōu)解集合為 ，如此等等，一直到求出第 個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解 ，其模型如下：該方法有解的前提是 非空，同時(shí) 都不能只有一個(gè)元素，否則很難進(jìn)行下去。1( ),( )mf xfx0R0R1Rm0 x0011()max( )x RRf xf x10022()max( )x RRfxfx120()max( )mmmmx RRfxfx011,mR RR012,mR RR1、Precision Tree軟件 PT軟件是作為Excel的“add-in”運(yùn)行的，它鏈接到Excel并為其提供決策分析能力，