1、第 3 章作業參考解答3-1 試作附圖中各圓桿的扭矩圖。習題 3-1 附圖解答 各桿的軸力圖分別見解答附圖(a)、(b)、(c)、(d)。2T10 T3T(a) Mx1004T(c) M /N·mx52 1.5312.5(b) M /kN·mx(d) M /kN·mx3-2 一傳動軸以每分鐘 200 轉的角速度轉動，軸上裝有4 個輪子，如附圖，主動輪 2 輸入功率 60kW，從動輪 1，3，4 依次輸出功率 15kW，15kW 和 30kW。（1）作軸的扭矩圖。（2）將 2，3 輪的位置對調，扭矩圖有何變化？解答 (1)各輪上作用的力偶矩為T4T3T2T1T115

2、´103 ´60= = 0.716kN ×m2p ´200習題 3-2 附圖2.149T260´103 ´60= = 2.865kN ×m ， 2p ´2001.432T315´103 ´60= = 0.716kN ×m2p ´200(a) M /kN·mx0.7161.432T430´103 ´60= =1.432kN ×m2p ´2000.716 = 2.149kN × m 。 1.432扭矩圖見附圖(a)，最大

3、扭矩為Mxmax(b) M /kN·mx= 1.432kN × m。 (2) 2，3 輪的位置對調后扭矩圖見附圖(b)，最大扭矩為Mxmax13-3 一直徑d=60mm 的圓桿，其兩端受T=2kN·m 的外力偶矩作用而發生扭轉，如附圖示。設軸的切變模量G=80GPa。試求橫截面上1，2，3 點處的切應力和最大切應變，并在此三點處畫出切應力的方向。解答 1，2，3 點處的切應力分別為t = 0.02T 2000t= = = 47.2 MPa3.14´0.06 /163W3pt= 2t /3 = 31.4 MPa13習題 3-3 附圖切應力方向見附圖(1)。

4、最大切應變為gmax=t 47.2´106= = 5.9´10-4maxG 80´109t(1)1t33-4 一變截面實心圓軸，受附圖示外力偶矩作用，求軸的最大切應力。習題 3-4 附圖解答 扭矩圖見附圖(1)。300 最大切應力發生在AB 段100A D E CB300500 (1) Mx/N·mtmax= MWx =P5001 p ´ 2.5 ´103 -616=162.97MPa3-5 從直徑為300mm 的實心軸中鏜出一個直徑為150mm 的通孔，問最大應力增大了百分之幾?解答 實心和空心圓截面的扭轉截面系數分別為WP1=1

5、1pD3 ，W = pD3 (1-a4 )16 16P2 tt1max 2 max1-a4 150 15W= = = 1- ( ) =P24W1 300 16P1最大應力增大的百分數t -t2 max 1maxt1max16= -1 = 6.67%1523-6 一端固定，一端自由的鋼圓軸，其幾何尺寸及受力情況如附圖所示，試求：（1）軸的最大切應力。（2）兩端截面的相對扭轉角。設 G=80GPa。A B E C D 1030p 40p60pM/N·mx習題 3-6 附圖(1)解答 1.作扭矩圖，需計算 AB 段和 CD 段中的最大切應力才能確定軸的最大切應力。60p MAB 段中：t

6、= = = 35.56MPaxp ´3 ´10maxW3 -6 1P 1640p 16´40 M( ) ( )CD 段中：t = = = ´10 = 24MPa-6 xp ´3 ´ 1-a ´10 27 1-3maxW9 4 -6 -4 1P 16= 35.56MPa 所以軸中tmax2相對扭轉角分四段計算40p ´0.2 30p ´0.1 30p ´0.1 60p ´0.15Dj = Dj + Dj + Dj + Dj = + + +GI GI GI GI DC CE EB BAP1

7、 P1 P2 P2=11p 12p p æ 11 12 ö+ = ç + ÷GI GIG èç I IP1 P2P1 P2 øp æ 11ç= +80´109 çè p ´3 ´10 (1-3 )4 -8 -413213212 ö÷ = 0.01143rad4 -8 ÷p ´3 ´10 ø3-7 一圓軸 AC 如附圖所示。AB 段為實心，直徑為 50mm；BC 段為空心，外徑為 50mm，內徑為

8、35mm。要使桿的總扭轉角為 0.12°，試確定 BC 段的長度 a。設 G=80GPa。解答 1作扭矩圖，扭矩圖見附圖(1)。M= 100N × mx2桿件 A、C 截面相對扭轉角分兩段計算Dj = Dj + DjAC BC BA (0.9 - a) ，即M a M= ( )+x xGI GI1-a 4P PGI aDj= + 0.9 - a, 其中a35 0.7P AC4 50M1-ax GI Dj0.31596a = P AC - 0.9 M習題 3-7 附圖100A BCx80´109 ´ ´54 ´10-8 ´0.

9、12´ 0.9p pa = -32 180100´0.31596 0.31596a m = 0.405M/N·mx(1)33-8 附圖示合金圓桿 ABC，材料 G=27GPa，直徑 d=150mm，BC 段內的最大切應力為120MPa。試求：（1）在 BC 段內的任一橫截面上 =0 和 =40mm 間部分面積上所承受的扭矩大小。（2）B 截面的扭轉角。解答 （1）首先計算 T1。T1=tWmaxP=120´10 ´ p ´0.15 = 79.52kN ×m6 3116=0 和 =40mm 間部分面積上所承受的扭矩大小為DM

10、=x40´120´106 ´ p ´0.083 = 6.43kN ×m175 習題3-8 附圖16（2）AB 段中的扭矩為Mx= T1- T2= 79.52 - 20p = 16.69kN × mDjB16.69´103 ´1.5= =1.866´10 rad =1.07-2 027´10 ´ p ´0.159 1 4323-9 附圖示實心圓軸，承受均勻分布的扭轉外力偶矩作用。設軸的切變模量為G，求自由端的扭轉角（用 m，l，G，d 表示）。解答 扭矩方程為x M (x) =

11、 (l - x)mx自由端扭轉角Mdx l (l - x)mdx ml2 16ml2j = ò = ò = =xl 習題3-9 附圖0 GI 0 GI 2GI Gpd4 P P P3-10 附圖所示空心的鋼圓軸，G=80GPa，內外半徑之比a =rR= 0.6,B,C 兩截面的相對扭轉角j =0.03°。求內、外直徑 d 與 D 之值。解答 BC 段內的扭矩為 20kNm。DjBC20´103 ´ 2 0.03p= =80´10 ´ pD (1- 0.6 ) 1809 1 4 432解得 D = 0.325m ，則d = 0

12、.195m。習題 3-10 附圖3-11 一外徑為 50mm，壁厚為 2mm 的管子，兩端用剛性法蘭盤與直徑為 25mm 的實心圓軸相連接，設管子與實心軸材料相同，試問管子承擔外力偶矩 T 的百分之幾?解答 由于變形協調，橫截面上的應力沿徑向成線性分布，實心軸的最大切應力與管子的最大切應力的關系為（見附圖（1）習題3-11 附圖4t1= 2550t= 0.5t2 2實心軸承受的扭矩為=pd t = p ´0.025 ´0.5tT3 3 1 116 1 161管子承受的扭矩為2 tt12T2= 116pD3t2(1-a4 ) =p ´ 0.053 (1- ( ) )

13、t1 46 416 502其中1- () = 0.2836 。管子承擔外力偶矩 T 的百分比4 4650T2T+T1 20.053 ´0.2836= = 81.94%0.5´0.025 + 0.05 ´0.2836 (1)3 33-12 兩端固定的 AB 桿，在 C 截面處受一外力偶矩 T 作用，如附圖示，試導出使兩端約束力偶矩數值上相等時，a/l 的表達式。解答 如兩端約束力偶相等，則其值為0.5T。根據兩段的相對扭轉角相等的有條件有0.5Ta 0.5T(l - a)=1 pd G 1 pd G4 4 32 1 32 2a d4即有d a = d (l - a)

14、，解得 =4 4 1+ d2 1l d4 41 2。習題 3-12 附圖 3-13 兩端固定的圓桿，直徑 d=80mm，所受外力偶矩 T=10kN·m，如附圖示。若桿的容許切應力t=60MPa，試校核該桿的強度。解答 設 D 處的約束力偶為 T 。根據 D 截面轉角為零D的條件有T aa (T -T)a T+ + = 0D D DGI GI GITDP P= T /3 = 3.33kNm 。解得TD最大扭矩在 BC 段，且 MPx= 6.67kNm 。習題 3-13 附圖t因為tmaxmax6.67´103= = 66.3MPap ´8 ´103 -61

15、16³ t = 60MPa ，不滿足強度條件。 3-14 附圖示傳動輪的轉速為 200rmin，從主動輪3 上輸入的功率是 80kW，由 1,2,4,5輪分別輸出的功率為 25,15,30 和 10kW。設t=20MPa。（1）試按強度條件選定軸的直徑。（2） 若軸改用變截面，試分別定出每一段軸的直徑。習題 3-14 附圖51.911.1940.477(1) Mx/kN·m1.915解答 1.由輸入和輸出功率計算等效力偶25 15T =1.194kN ×m , T = 9.55´ = 0.7163kN ×m= 9.55´200 200

16、1 2T430 10= 9.55´ =1.433kN ×m , T = 9.55´ = 0.4775kN ×m200 2005T380= 9.55´ = 3.82kN ×m2002.作扭轉圖見附圖（1）。Mx max £ tM =1.91kN ×m, t =Wx max P1.91´103 1 -4 16´ 0.955´10-4W ³ 20´10 = 0.955´10 , d ³ p3P6= 0.0786md 取 79mm，適用于全軸。16

17、80;1.19375´103d ³ ,320´10 p16d1= 67mm ，適用于 1，2 輪之間。d 3216´ 0.4775´103³ ,20´106 pd3= 50mm ，適用于 4，5 輪之間。3-15 附圖示傳動軸的轉速為 n=500 r/min，主動輪輸入功率P =500kW，從動輪2，3 輸1出功率分別為 P 200kW，P300kW。已知t70MPa，q10/m，G8×104MPa。2 3（1）確定 AB 段的直徑 d和 BC 段的直徑 d2。T2T3（2）若AB 和 BC 兩段選用同一直徑，試確

18、定直徑d。解答 (1)由輸入和輸出功率求等效力偶 T1T1= 9.55´500500= 9.55kN ×m習題 3-15 附圖T2200= 9.55´ = 3.82kN ×m 500A B C300T= 9.55´ = 5.73kN ×m 5003作扭矩圖見附圖（1）。由強度條件：tmax= MWx £ t P9.555.73(1) M/kN·mx616´9.55´10 16´5.73´10 3 3d d m d d ³ , = 0.089 . ³ ,3

19、370´10 p 70´10 p 6 61 1 2 2由剛度條件：q = £ qMxGI= 0.075m32´9.55´103 32´5.37´103d4 4³ , d = 0.091m. d ³ , d8´10 ´p 180 8´10 ´p 1801 1 2 210 2 10 2= 0.080m為滿足強度和剛度條件，直徑 d1取 91mm，直徑 d2取 80mm。(2) 若 AB 和 BC 兩段選用同一直徑，可取 91mm。3-17 一實心圓桿，直徑d=100mm

20、，受外力偶矩T 和 T 作用，如附圖示。若桿的容許切1 2應力 t80MPa ；900mm 長內的容許扭轉角 j=0.0014rad ，求 T和 T 的值。已知1 2G=80×104MPa。解答 最大扭矩為 M由強度條件x,max= T1+T2T+Tt = 2 £t = 80MPa1max Wp由剛度條件0.6(T + T ) 0.3TDj = + £ j = 0.00141 2 2GI GIp p= 5.23kN,T =10.5kN 。由上兩方程可解得T2 1習題 3-17 附圖3-18 附圖所示矩形截面鋼桿受外力偶矩作用，已知 T=3kN·m，材料的切變模量G=80×103MPa。求：（1）桿內最大切應力的大小、方向、位置。（2）單位長度桿的最大扭轉角。解答 (1) 桿內最大扭矩為M= 2T x max最大切應力位于最大扭矩橫截面周線上長邊