1、 第八章 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數方程二、空間曲線的參數方程 三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影第五節空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組:0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S 特點： 曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.例如例如,方程組632122zxyx表示怎樣的曲線？ xzy1oC2221xyz 表示母線平行于 軸的圓柱面236,xz 表示一個平面221 .236xyxz表示

2、了平面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao222()24aaxy又如又如,方程組再如再如 曲線曲線 1)1(1222222zyxzyx表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？xyzxyzxyz 214322zyx化簡：化簡：二、空間曲線的參數方程二、空間曲線的參數方程稱它為空間曲線的參數方程.)(txx )(tyy )(tzz xyzoL),(zyxM 當給定t 時，就得到曲線上的一個點；隨著參數的變化，可得到曲線上全部的點。將曲線C上的動點M坐標x, y, z表示成參數t 的函數:vbt,令,2 時當bh2taxcostaysin t vz 上升高度例

3、例 1 如果空間一點M在圓柱面x2+y2=a2上以角速度繞z軸旋轉，同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中、都是常數),那么點M構成的圖形叫做螺旋線.試建立其參數方程.解：取時間t為參數，動點從A點出發，經過t，運動到M點，M點在xoy面上的投影為M MM t xyzoAbzayaxsincos稱為螺距螺距 .6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據第一方程引入參數 , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)2

4、0( t例例2. 將下列曲線化為參數方程表示:)(tx)(ty)(tz)( t繞 z 軸旋轉時的旋轉曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取點點 M1繞 z 軸旋轉, 轉過角度 后到點 , ),(zyxM則cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t這就是旋轉曲面滿足的參數方程 . 例例3. 求空間曲線 :1xty tz2繞 z 軸旋轉所得旋轉曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋轉曲面方程為4)(4222zyxxzoy例如例如, 直線繞 z 軸旋轉所得旋轉曲面 ( 即球面 ) 方程為 sinax 0ycosaz cossin

5、ax sinsinay cosaz )0(200說明說明: 一般曲面的參數方程含兩個參數 , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 又如又如, xoz 面上的半圓周 0),(0),(zyxGzyxFL消去變量z后得：）（10),( yxH曲線關于 的投影柱面xoy設空間曲線的一般方程：以此空間曲線L為準線，母線垂直于所投影的坐標面.投影柱面的特征：注意：曲線L上的所有點都在該柱面上。 投影柱面與xoy面的交線稱為曲線L在xoy面上的投投影曲線影曲線，簡稱投影投影。三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影zyxCC消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影

6、曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC設空間曲線 C 的一般方程為如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面（2）確定投影柱面與 xoy 面的交線 00),(zyxH在 xoy 面上的投影曲線方程的一般步驟 0),(0),(zyxGzyxFL（1）消去變量z后得 xoy 面上的投影柱面：）（10),( yxH求空間曲線：即為所求投影曲線的方程zyxC1o002222zyyx

7、1) 1() 1(1:222222zyxzyxC解: 先求兩方程消去z而得的母線平行于z軸 的交線C，關于xOy面的投影柱面方程為：022 22yyx故xoy 面上的投影曲線方程為例如例如, ,在xoy 面上的投影曲線方程為例例4 4 求曲線 在坐標面上的投影. 211222zzyx例例4 4 求曲線 在坐標面上的投影. 211222zzyx解解 （1）消去變量z后得,4322 yx在 面上的投影為xoy,04322 zyxxyzo例例4 4 求曲線 在坐標面上的投影. 211222zzyx解解xyzo（2）因為曲線在平面 上，21 z所以在 yoz 面上的投影為線段.,021 xz23| y

8、（3）同理在 xoz 面上的投 影也為線段.23|,021 xyz截線方程為2220yzxxyz解解,004522 zxxyyx,0042522 yxxzzx截線方程為2220yzxxyz解解.00222 xzyzy四、空間曲面或立體在坐標面上的投影四、空間曲面或立體在坐標面上的投影. . M),(zyx M )0 ,(yxSDxyzo稱區域稱區域 D 為為空間曲面空間曲面 S在在 xoy 面上面上的投影。的投影。上述概念可推廣到空間立體在坐標面上投影的情形上述概念可推廣到空間立體在坐標面上投影的情形. .補充: 空間立體或曲面在坐標面上的投影.空間立體空間立體曲面曲面例例6解解半球面和錐面的

9、交線為, )(3,4:2222yxzyxzC面上的投影為在則交線xoyC . 0, 122zyx面上的投影為所求立體在 xoy. 122 yx.,)(322面上的投影求它在錐面所圍成xoyyxz和由上半球面設一個立體224,yxzzxyo1C空間曲線的一般方程、參數方程四、小結空間曲線在坐標面上的投影( , , )0( , , )0F x y zG x y z( )( )( )xx tyy tzz t( , )00H x yz( , )00R y zx( , )00T x zy22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx備用題備用題求曲線繞 z 軸旋轉的曲面與平面 的交線在 xoy 平面的投影曲線方程. 1zyx解：解：旋轉曲面方