1、關于二元函數的極限關于二元函數的極限與連續與連續現在學習的是第1頁，共17頁（1）二元函數的定義）二元函數的定義當當2 n時時，n元元函函數數統統稱稱為為多多元元函函數數.類似地可定義三元及三元以上函數類似地可定義三元及三元以上函數一、一、多元函數概念多元函數概念現在學習的是第2頁，共17頁例例 求求 的定義域的定義域224),(yxyxf解解0422yx所求定義域為所求定義域為.4| ),(22yxyxD現在學習的是第3頁，共17頁例例 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),

2、(222yxyxyxD 現在學習的是第4頁，共17頁（2）二元函數）二元函數 的圖形（幾何意義）的圖形（幾何意義）),(yxfz 設設函函數數),(yxfz 的的定定義義域域為為D，對對于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對對應應的的函函數數值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標標、y為為縱縱坐坐標標、z為為豎豎坐坐標標在在空空間間就就確確定定一一點點),(zyxM，當當x取取遍遍D上上一一切切點點時時，得得一一個個空空間間點點集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個個點點集集稱稱為為二二元元函函數數的的圖圖形形. （如下頁圖）（如下頁圖）現在學習的是第

3、5頁，共17頁二元函數的圖形通常是一張曲面二元函數的圖形通常是一張曲面.現在學習的是第6頁，共17頁xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:現在學習的是第7頁，共17頁二、多元函數的極限二、多元函數的極限現在學習的是第8頁，共17頁說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數的極限也叫二重極限）二元函數的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數的極限運算法則與一元函數類似）二元函數的極限運算法

4、則與一元函數類似01sin)(lim222200 yxyxyx例如：例如：現在學習的是第9頁，共17頁例例: : 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在現在學習的是第10頁，共17頁（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP， 若若極極限限值值與與 k有有關關，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在； （2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在

5、，但但兩兩者者不不相相等等，此此時時也也可可斷斷言言),(yxf在在點點),(000yxP處處極極限限不不存存在在確定極限確定極限不存在不存在的方法：（了解）的方法：（了解）現在學習的是第11頁，共17頁例例 求極限求極限 .)sin(lim20 xxyyx解解yxyxyyx)sin(lim20uuusinlim0 xyu xxyyx)sin(lim20yy2lim212)0( 1sinlim0的整體是所用知識點：uuuu現在學習的是第12頁，共17頁例5 求極限 .11lim222200yxyxyx解：解：) 11()(lim22222200yxyxyxyx分子有理化約分.11lim2222

6、00yxyxyx21現在學習的是第13頁，共17頁三、二元函數的連續性三、二元函數的連續性的連續點。稱為處連續，則點（在點則稱函數：某鄰域內有定義，如果的（在點定義：設函數),(),),(),(),(),),(000000000lim00yxfzPyxPyxfzyxfyxfyxPyxfzyyxx現在學習的是第14頁，共17頁例例6 6 討論函數討論函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續性的連續性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數在故函數在(0,0)處不連續處不連續( (稱為間斷點稱為間斷點) )現在學習的是第15頁，共17頁總結：總結：1.二元函數的所有學習上的知識都可以從二元函數的所有學習上的知識都可以從一元函數推廣而來。我們今天就可以用一元函數推廣而來。我們今天就可以用這個思想來求解二元函數的值、這個思想來求解二元函數的值、定義域定義域、極限極限和判定連續。和判定連續。2.二元函數作為一個新的概念，和以前二元函數作為一個新的概念，和以前的一元函數還是有區別的，比如定義域的一元函數還是有區別的，比如定義域