1、第八章 主應力法及其應用 8.1 解析法的解本思路 1 1、基本假設、基本假設 （1 1） 連續的，宏觀的連續的，宏觀的 （2 2） 確定的確定的描述方程描述方程+ +邊界條件邊界條件 求定解求定解2 2、描述方程，基本方程、描述方程，基本方程平衡方程平衡方程 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程 屈服準則屈服準則 邊界條件邊界條件 連續方程連續方程 塑性變形體積不變塑性變形體積不變 （1）平衡方程 ij0ix. .i jx y z（2）幾何方程 jiijij1()2uuxx（3）物理方程 ijijmij1122GE 彈性 塑性 增量理論 ijijdd32ddijij32dijijijmij12

2、12dddGdE 全量理論 ijij32彈塑性增量理論 應力應變速率方程 （4）邊界條件 物體外表面為S，Sd和St分別表示位移和外力 uuTT 位移給定值 外力給定值 （5）補充方程 屈服準則 13|ss連續方程 222221()2xyyxx yyx 2xyyzzxxxyzxy z （+-）塑性變形體積不變 0,0mmd有3+3個方程3、求解 在邊界條件 uuTT 下求解 ,iijiju3D2D1D平衡321幾何631物理631塑性條件111連續條件622總計22116未知數15834、基本解法 n位移法位移法 以位移為未知量，經過幾何方程和以位移為未知量，經過幾何方程和物理方程，得到一位移

3、表示的應力物理方程，得到一位移表示的應力諸分量。然后帶入平衡方程，得到諸分量。然后帶入平衡方程，得到位移表示的平衡方程。在邊界條件位移表示的平衡方程。在邊界條件下，從平衡方程解出連續且單值的下，從平衡方程解出連續且單值的位移。再按幾何方程求出位移。再按幾何方程求出 ，此，此時將自動滿足協調方程。進而按物時將自動滿足協調方程。進而按物理方程求出理方程求出 ，此時，此時 將滿足平將滿足平衡方程。衡方程。 ijijijij( )iuijijui幾何方程幾何方程物理方程物理方程平衡平衡+ +邊界邊界 ( ui)物理方程物理方程ijij()ij ij以滿足平衡條件的應力諸分量以滿足平衡條件的應力諸分量

4、為未知量，經過物理方程得到應為未知量，經過物理方程得到應力表示的應變諸分量力表示的應變諸分量 。在利。在利用幾何方程的積分應變求位移用幾何方程的積分應變求位移u ui i時，要求積分為單值，即積分只時，要求積分為單值，即積分只依賴于積分路線，必須使被積函依賴于積分路線，必須使被積函數滿足全微分條件；對幾何方程數滿足全微分條件；對幾何方程求積分的全微分條件就是變形協求積分的全微分條件就是變形協調方程。為保證此條件成立，應調方程。為保證此條件成立，應將以應力表示的應變諸分量帶入將以應力表示的應變諸分量帶入協調方程，結合邊界條件解出協調方程，結合邊界條件解出 ，再按物理方程求相應的應變分量，再按物理

5、方程求相應的應變分量，此時利用幾何方程積分，即可得此時利用幾何方程積分，即可得到單值的位移分量到單值的位移分量u ui i。 應力法應力法 ij物理方程物理方程 協調方程協調方程+ +邊界條件邊界條件 ij物理方程物理方程 ijij幾何方程幾何方程 ui 5、主應力法的基本方法（切塊法）n實質是將應力平衡微分方程和屈服方程聯立求實質是將應力平衡微分方程和屈服方程聯立求解。解。n將問題簡化成平面問題或軸對稱問題。將問題簡化成平面問題或軸對稱問題。n根據金屬的流動趨向和所選取的坐標系，對變根據金屬的流動趨向和所選取的坐標系，對變形體截取包括接觸面在內的基元體或基元板塊，形體截取包括接觸面在內的基元

6、體或基元板塊，切面上的正應力假定為主應力，且均勻分布。切面上的正應力假定為主應力，且均勻分布。n不考慮剪應力以材料屈服方程的影響。不考慮剪應力以材料屈服方程的影響。xy2Kxy平面應變鐓粗型的變形力設 mK設長度為l 202xxxxxPlhdlhldxmKddxh 屈服方程為 yxyx2;K dd聯解(1)(2)得 y2mKxch (1)(2)yyeye,2eexxmKcxh當時所以y金屬流動方向鐓粗方向xyexexdxyyxx+dxyeh平行砧板間平面應變鐓粗及垂直應力y的分布圖形最后得 yye2()emKxxh單位面積平均變形力為 yye021exeemKxPpdxFxhxeye0,2Ky

7、21()2m bKxh當工件寬度為b高度為h時 2(1)4m bpKh(3)(4)工件外端為自由表面 由（3）得 (5)(6)由（4）得 金屬流動方向鐓粗方向xyexexdxyyxx+dxyeh平行砧板間平面應變鐓粗及垂直應力y的分布圖形平衡微分方程和塑性條件聯立求解的數學解析法（附加內容）n對一般空間問題，在對一般空間問題，在3個平衡微分方程和個平衡微分方程和一個塑性條件（屈服準則），一個塑性條件（屈服準則），4個方程求個方程求6個未知數個未知數 ，靜不定問題。，靜不定問題。ijn利用利用6個應力應變關系和個應力應變關系和3個變形連續方個變形連續方程，共得程，共得13個方程，求個方程，求13

8、個未知數個未知數 但此方程組無法求解。但此方程組無法求解。ijij, n對于軸對稱問題，對于軸對稱問題，2個平衡微分方程和個平衡微分方程和1個塑性個塑性條件，再利用條件，再利用4個應力應變關系式和個應力應變關系式和2個變形連個變形連續方程，共得續方程，共得9個方程和個方程和9個未知數，但只有在個未知數，但只有在邊界上剪應力只與一個坐標軸有關時才有解。邊界上剪應力只與一個坐標軸有關時才有解。n對于平面問題，對于平面問題， 2個平衡微分方程和個平衡微分方程和1個塑個塑性條件，求性條件，求3個未知數個未知數當邊界上的剪應力為零或只與一個坐標軸有關時，當邊界上的剪應力為零或只與一個坐標軸有關時，才有解

9、。才有解。xyxy, 例題例題矩形板鐓粗矩形板鐓粗 已知：已知： 長長L L、寬、寬D D、高為、高為h h，la la 接觸面上的剪應力為，接觸面上的剪應力為，沿沿l l方向應變為方向應變為0 0 。平面變形問題。平面變形問題。假設：變形無畸變（出現鼓形），假設：變形無畸變（出現鼓形）， 與與x x無關無關 yxxy解解：平衡方程只分析第一象限平衡方程只分析第一象限 0yx0yxyxyxyx0yxx0yyxy2xy22xy2x2222xyxyxy22(1x yx)y aph對一式和對一式和2式式分別對分別對Y和和X微分得微分得1式減式減2式得式得屈服條件屈服條件 Mises條件條件2s22x

10、y2yx344K422xyxy2 K(2)22222xyxyxy22K2(3)x yxy 0yxK2x2xy222xy2與x無關，且僅為Y的函數時，才可解xy0y2xy2xy12cc y當y=0時， =0 xy1yh2xy122c =0,chxy2y(4)hh2yxyxy0 x0y0h2xyx代入代入平衡平衡方程方程得得 ahp（2 2）代入（）代入（1 1）得）得積分得得（5）)x()y(xh22y1x代入屈服準則式（2）得 222221yh4K2)x()y(xh2222212yh4K2)y(xh2)x(xh2c)x(222221yh4K2c)y(xh2ch4K2cxh2y222x 在x=

11、、y=0處， ，有 2a0 x2Khacy222x2a2x(2K)ha2x4(2K-2 Ky )hh FyyPdFl(x)dx1 a=2kla(1+)4 h 1 a2k(1PP+=Fla)4 hp 當當 變形力變形力 單位流動壓力 ahp積分得 上式左式為上式左式為X X的函數，右式為的函數，右式為Y Y的函數，令等于常數的函數，令等于常數C C代入代入6 6式得式得 （6） （7） x K ya2xa2x(2K)2 (1)h2hk 軸對稱擠壓型的變形力22tan( )22tan( )0zzurdzr drdzrdztan( )urrzY由靜力平衡關系簡化屈服方程聯解（1）（2）（3）得22

12、(1tan)tanzYddzr (1)(2)(3)(4)由幾何關系得由幾何關系得tanbrrz代入（代入（4）前述算式積分得）前述算式積分得121ln(tan)2 (1tan)tantanzbKrzcYK1ln(tan )becKrz 當z=ze時，0z 1tanln()tanbzberzKrz11ln()ln()tanbbbeerrpKKrzr(5)(6)(7)(8)當當z=0處，處， 即為擠入深即為擠入深度為度為 ze 所需的單位變形力所需的單位變形力zz拉延凸緣變形區的應力分布應用主應力法可以應用主應力法可以求解凸緣區的應力求解凸緣區的應力分布。設拉延過程分布。設拉延過程中板厚不變，且暫中板厚不變，且暫不考慮外摩擦影響不考慮外摩擦影響從凸緣變形區切取一扇形基元體，該單元處于平衡狀態，由徑從凸緣變形區切取一扇形基元體，該單元處于平衡狀態，由徑向合力為向合力為0得得()()2sin02rrrt Rddt RdR ddt dR (1)()()2sin02rrrt Rddt RdR ddt dR 略去高階微量，整理后得()rrdRdR (2)式中應力為絕對值表示因處于塑性狀態，根據Mises屈服準則有()rY (3)聯解（2），（3）得rdRYR (4)式中式中Y是材料的真實應力，可根據變形程度由真實應力是材料的真實應力，可根據變形程度由真實應力-應變曲線求應變