1、11(五)王 柱 2013.03.142定義定義:隨機試驗隨機試驗E, 樣本空間樣本空間 =e,如果如果對于每個對于每個e ,都有一個實數(shù)都有一個實數(shù)X(e)與之對應。與之對應。這樣就得到一個定義在這樣就得到一個定義在 上的單值實函數(shù)上的單值實函數(shù) X=X(e) ，稱為，稱為隨機變量隨機變量。對于任意的實數(shù)集合對于任意的實數(shù)集合L,X L 表示事件表示事件 e|X(e) L 。又若又若, ( ,A, P) 為概率空間。為概率空間。令令PX(L)=P(e|X(e) L) , 則則 ( R, , PX ) 也也為為概率空間。概率空間。在其上令在其上令 X*=X*(x) =x，也是，也是隨機變量隨機

2、變量。注意注意 X 與與 X*取值的概率情況相同取值的概率情況相同3隨機變量的隨機變量的特性特性：1.隨試驗的結果而取不同的值隨試驗的結果而取不同的值;2.試驗前試驗前,能知道它可能的取值范圍能知道它可能的取值范圍, 卻不能預知它確切的取值卻不能預知它確切的取值;3.取值有一定的概率取值有一定的概率;4.定義域為樣本空間定義域為樣本空間S,值域值域 R;4定義定義:離散隨機變量，離散隨機變量，它全部可能取到的值是有限它全部可能取到的值是有限 個或可列無限個。個或可列無限個。顯然，掌握一個顯然，掌握一個離散隨機變量離散隨機變量 X 的統(tǒng)計規(guī)律，的統(tǒng)計規(guī)律，必需且只需必需且只需知道知道 “X 的所

3、有可能取的值，以及的所有可能取的值，以及取每一個可能值的概率取每一個可能值的概率”。設：離散隨機變量可能取的值為設：離散隨機變量可能取的值為 xk (k=1,2,)稱為稱為離散型隨機變量離散型隨機變量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。 X 取可能值的概率為取可能值的概率為 pk =P(X=xk) (k=1,2,)Xx1,x2,xk,pkp1,p2,pk,5顯然顯然, 離散型隨機變量離散型隨機變量的的概率分布概率分布或或分布律，分布律，滿足滿足 1. Pk 0 , (k=1,2,) 2. 。 反之，滿足這兩點的反之，滿足這兩點的 pk 叫概率函數(shù)。它一定是叫概率函數(shù)。它一定是 某個某個離散型

4、隨機變量離散型隨機變量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。11kkp6（0）、）、( 0-1 )分布分布定義；定義；隨機變量隨機變量X只只可能取可能取 0 或或 1 兩個兩個值。它的分布律是值。它的分布律是 P(X=k)=pkq(1-k) , k=0,1 (0p1)稱此稱此X為服從為服從(0-1) 分布。分布。例如例如：性別，合格，扔幣，標準。：性別，合格，扔幣，標準。，且顯然10p10kkkp7（1）、）、貝努利試驗的貝努利試驗的二項分布二項分布 將隨機試驗將隨機試驗E重復進行重復進行n次，若每次次，若每次試驗的結果互不影響，即每次試驗結果出試驗的結果互不影響，即每次試驗結果出現(xiàn)的概率都不

5、依賴于其它各次試驗的結果，現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結果，則稱這則稱這n次試驗是相互獨立的次試驗是相互獨立的。*設試驗設試驗E只有兩個可能結果只有兩個可能結果A和和Ac，P(A)=p,P(Ac)=1-p=q, (0p0 是常數(shù)。則是常數(shù)。則稱稱 X 為服從參數(shù)為為服從參數(shù)為 的的泊松泊松分布，記為分布，記為X ( )。 例例:呼叫次數(shù)呼叫次數(shù),印刷錯誤印刷錯誤,遺失遺失信件信件,急診人數(shù)急診人數(shù),交通事故數(shù)交通事故數(shù),粒子計數(shù)粒子計數(shù),.。，且顯然10p0kkkp12 超幾何分布與二項分布的關系。超幾何分布與二項分布的關系。已經(jīng)證明：已經(jīng)證明：若當若當 時，時， （ 不變）不變），則，則

6、NpNM/mn,)(NqpCCCCmnmmnnNmnMNmM13泊松泊松定理定理: 0 是一常數(shù)是一常數(shù), n是任意正整數(shù)是任意正整數(shù),設設 npn= ,則對于任意固定的非負整數(shù)則對于任意固定的非負整數(shù)k,有有k!e)p(pckknnknknn1lim注意注意: 定理的條件定理的條件 npn= 意味著當意味著當 n 很很大時大時pn必定很小。因此，當必定很小。因此，當 n很大、很大、p 很很小時，小時，“右邊右邊”為為“左邊左邊”的近似式。的近似式。 !)1 (limkeppckknnknknn14例例05-105-1 已知一電話總機每分鐘收到傳呼次數(shù)已知一電話總機每分鐘收到傳呼次數(shù) 為一為一

7、隨機變量，服從隨機變量，服從 的泊松分布，求的泊松分布，求(1)(1)每分鐘恰每分鐘恰有有8次傳呼的概率，次傳呼的概率，( (2) )每分鐘傳呼次數(shù)大于每分鐘傳呼次數(shù)大于8的概率。的概率。解解 ：X4, 2 , 1 , 0,!kkekXPk0298. 0! 84!848ekeXPk0214. 0!/41!/4880494kkkkkekeXP15例例05-205-2 已知某自動機床產(chǎn)品的次品率為已知某自動機床產(chǎn)品的次品率為0.001，從，從產(chǎn)品中任取產(chǎn)品中任取5000個，求這個，求這5000個產(chǎn)品中次品超過個產(chǎn)品中次品超過5的的概率。概率。解：解： 設設5000個產(chǎn)品中次品數(shù)為個產(chǎn)品中次品數(shù)為

8、, ,則則于是所求概率于是所求概率 如果直接按二項分布公式計算，計算量很大。如果直接按二項分布公式計算，計算量很大。由于由于 很大，很大， 很小很小, ,這時這時 不很大不很大, ,可以利用泊松定理可以利用泊松定理, ,可得可得 X)001.0 ,5000( BX5000650005000999. 0001. 05kkkkCXPnpnp505550616. 0!5!51515kkkkekekXPXP384. 0616. 015XP16例例05-305-3 某人進行射擊，設每次射擊命中率為某人進行射擊，設每次射擊命中率為 0.02，獨立射擊獨立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。次，求至少擊中兩

9、次的概率。PX1=1-PX=0-PX=1=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =np=8, PX1=1-PX=0-PX=1 =1-e-8-8e-8=0.997 1. 一個事件盡管在一次試驗中發(fā)生的概率很小一個事件盡管在一次試驗中發(fā)生的概率很小,但只要試驗次數(shù)很多但只要試驗次數(shù)很多,而且試驗是獨立地進行的而且試驗是獨立地進行的,那末這一事件的發(fā)生幾乎是肯定的。那末這一事件的發(fā)生幾乎是肯定的。2. 如果射手在如果射手在400次射擊中次射擊中,擊中目標的次數(shù)擊中目標的次數(shù)竟不到兩次竟不到兩次,我們將懷疑我們將懷疑“假設假設”的正確性的正確性,即即認為該射手射擊的命中率達不到

10、認為該射手射擊的命中率達不到0.02。查指數(shù)函數(shù)表得查指數(shù)函數(shù)表得0.0003351717 由由假設假設推導出推導出“小概率事件小概率事件”; 再由此再由此“小概率事件小概率事件”的發(fā)生就可以推斷的發(fā)生就可以推斷 “假設假設不成立不成立 ” 。“統(tǒng)計推斷原理統(tǒng)計推斷原理” 18例例05-405-4.為了保證設備正常工作，需配備適為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設備量的維修工人，現(xiàn)有同類型設備300臺，臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是都是0.01。在通常情況下一臺設備的故障。在通常情況下一臺設備的故障可由一個人來處理。可由一個

11、人來處理。問問至少需要配備多少至少需要配備多少工人，才能保證當設備發(fā)生故障但不能及工人，才能保證當設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于時維修的概率小于0.01?解解:設需配備的維修工人數(shù)設需配備的維修工人數(shù) N，同一時刻，同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)為發(fā)生故障的設備臺數(shù)為X, 則則,Xb(300,0.01)。所需的。所需的 N 滿足滿足 PX0.99。 =np=3用泊松泊松近似,查 (泊松分布表泊松分布表) N+1=919例例05-505-5 現(xiàn)有同類型設備現(xiàn)有同類型設備80臺，各臺工作是相互獨立臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是的，發(fā)生故障的概率都是0.01。一臺設備的故障能。一臺設

12、備的故障能由一個人來處理。考慮兩種配備維修工人的辦法，由一個人來處理。考慮兩種配備維修工人的辦法，其其一是由一是由4人維護，每人負責人維護，每人負責20臺臺；其二是由其二是由3人共同人共同維護維護80臺臺。是比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不。是比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率之大小？能及時維修的概率之大小？X “第第i人維護的人維護的20臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”。Xb(20,0.01)Ai “第第i人維護的人維護的20臺中發(fā)生故障不能及時維修臺中發(fā)生故障不能及時維修”。X1Y “80臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”。Yb(80,0.01)。Y

13、3np=0.2 近似得:P0.0175np=0.8 近似得:P0.0091)()(14321ApAAAAp20 2.2.3隨機變量隨機變量的的分布分布函數(shù)函數(shù)稱為稱為X的分布的分布函數(shù)函數(shù)。X的分布的分布函數(shù)函數(shù)F(x )是普通的函數(shù)是普通的函數(shù)。 表示表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間 (- x 上的概率。上的概率。X的分布的分布函數(shù)函數(shù) F(x ) 的的性質(zhì)性質(zhì):10 F(x )是一個不減函數(shù)。是一個不減函數(shù)。20 0 F(x ) 1。 且左無窮遠點為且左無窮遠點為0, 右無窮遠點為右無窮遠點為1。30 F(x+0 )= F(x )，即，即F(x )是右連續(xù)的。是右連續(xù)的。 且間斷點最多有可列個且間

14、斷點最多有可列個。定義定義2.3.1 : X為一個隨機變量為一個隨機變量 , x 是任意實數(shù)是任意實數(shù), 函數(shù)函數(shù) xXPxF21 實際上，令實際上，令 P(- x = F(x ) , 則則 ( R, ,P )為一個概率空間。為一個概率空間。反之反之,一個一個函數(shù)函數(shù) F(x ) 有有性質(zhì)性質(zhì):1 10 0 F F( (x x ) )是一個不減函數(shù)。是一個不減函數(shù)。2 20 0 0 F F( (x x ) ) 1。 且左無窮遠點為且左無窮遠點為0, 0, 右無窮右無窮 遠點為遠點為1 1。3 30 0 F F( (x+x+0 )= )= F F( (x x ) )，即，即F F( (x x )

15、 )是右連續(xù)的。是右連續(xù)的。且間斷且間斷 點最多有可列個點最多有可列個。 對對任意實數(shù)任意實數(shù)x ,定義定義 X(x)=x ,則其為一個隨機變則其為一個隨機變量量 , 其分布其分布函數(shù)函數(shù)是是F(x ) 。22 例例05-605-6 設隨機變量設隨機變量 的分布律為的分布律為求求 的分布函數(shù)，并求的分布函數(shù)，并求 Xkp-1231/41/21/4XX32,2523,21XPXPXP解解 由概率的可加性，得所求分布函數(shù)為由概率的可加性，得所求分布函數(shù)為 3,41214132,214121,411, 0 xxxxxF 3, 132,4321,411, 0 xxxxxF23F(x )=PX x 為階

16、梯函數(shù)為階梯函數(shù),跳躍點在跳躍點在xk 處處,躍度為躍度為 pk 。x321O11232圖3 , 2 , 141 , 21 ,4141)21(21FXP214143)23()25(2523FFXP43214312)2()3(32XPFFXP24 一般一般離散型離散型隨機變量隨機變量的的分布函數(shù)分布函數(shù)： X 可能取的值是可能取的值是 xk (k=1,2,)， X 取可能值的概率是取可能值的概率是pk =P(X=xk) (k=1,2,)，因為有因為有xxkxxkkkpxXPxXPxF)( 這里和式是對所有滿足這里和式是對所有滿足 的的 求和。求和。這時的這時的分布函數(shù)分布函數(shù) 為階梯函數(shù)為階梯函

17、數(shù), 跳躍點在跳躍點在xk處處,且最多有可列個，且最多有可列個， 躍度為躍度為 pk 。xxkk)(xF 設離散型隨機變量的分布律為設離散型隨機變量的分布律為 252.3 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量的的概率密度概率密度則則 稱稱 X 為為連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量, 其中其中 f(x) 稱為稱為X的的概率概率密度函數(shù)密度函數(shù),簡稱簡稱概率密度概率密度。定義定義2.3.1 : 隨機變量隨機變量X分布分布函數(shù)函數(shù)F(x ),存在非負函數(shù)存在非負函數(shù) f(x) ,對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x,有有 F(x)為為 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間(- x上的上的積分積分xdttfxF)()(注意，這時這時F(

18、x)為為連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)。1026概率密度概率密度f(x ) 的的性質(zhì)性質(zhì):10 f(x )是一個非負函數(shù)。是一個非負函數(shù)。1)(dttf30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(x1 x2上的積分。上的積分。40 若若f(x)在點在點x處處連續(xù)，則連續(xù)，則F(x )=f(x) 。20 f(x)在全區(qū)間上的積分為在全區(qū)間上的積分為1。x1 x20 xxf0)()()(xfxF )()()(21122121xxdxxfxFxFxXxPxx27例例05-705-7: 隨機變量隨機變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為（1）確定系數(shù)）確定系數(shù) （2）求相應的分布函數(shù)）求相應

19、的分布函數(shù)（3）求概率）求概率解解:由由 其它,022,cosxxAxfA40XP AxAxdxAdxxfxx2sincos1222221A 其它022cos21xxxf28 424sin21cos21404040 xdxdxxfXP 420440FFXP2122212120 x,x,xsinx,)x(F求落在區(qū)間上的概率,用概率密度函數(shù)計算 用分布函數(shù)計算 29特別需要指出的是，對于連續(xù)型隨機變量來說，它特別需要指出的是，對于連續(xù)型隨機變量來說，它取任一指定實數(shù)值取任一指定實數(shù)值 的概率為零的概率為零, ,即即 。由由 在上面不等式中令在上面不等式中令 , ,并注意到并注意到 為連續(xù)型隨機為

20、連續(xù)型隨機變量變量, ,其分布函數(shù)是連續(xù)的其分布函數(shù)是連續(xù)的, ,即得即得因此因此, ,在計算連續(xù)型隨機變量落在某一區(qū)間的概率時在計算連續(xù)型隨機變量落在某一區(qū)間的概率時, ,可以不必分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間可以不必分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間. .例如有例如有 雖然雖然 PX=a=0，但，但 X=a并非是空集并非是空集(不可能事件不可能事件)。A空空,則則P(A)=0 ; 但但 P(A)=0不能得出不能得出A空。空。0 aXPa xaFaFaXxaPaXP00 aXP0 xXbXaPbXaPbXaP301.連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X一定一定具有具有概率密度概率密度f

21、X(x) ,-x;2.反之反之,有一個有一個非負可積函數(shù)非負可積函數(shù)f(x) , 其其在全區(qū)間上的在全區(qū)間上的積分為積分為1。 則它一定是某個連續(xù)型隨機變量則它一定是某個連續(xù)型隨機變量X的的概率密度概率密度函數(shù)函數(shù). 實際上：實際上：令令FX(x)為該為該f(x) 特定的一個原函數(shù)特定的一個原函數(shù)(FX()=1), 記記 Px1 X x2= FX(x2)- FX(x1)則則 (R,P)為概率空間為概率空間,隨機變量隨機變量X(x)=x的的概率密度概率密度函數(shù)函數(shù)為該為該f(x)。31（1）、均勻分布）、均勻分布定義：定義：隨機變量隨機變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為f(x)=1/(b-a

22、),axb; =0, 其它。其它。其它, 0,1)(bxaabxf則則稱此稱此 X 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上服從上服從均勻均勻分布。分布。-2-10123400.20.40.60.81（幾何概率）（幾何概率）32在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上服從上服從均勻均勻分布的分布函數(shù)分布的分布函數(shù)為為:bxbxaabaxaxxF10)( F(x)=0, xa ; =(x-a)/(b-a), axb; =1, b0)為常數(shù)為常數(shù),稱服從參數(shù)為稱服從參數(shù)為,的正態(tài)分布的正態(tài)分布,記為記為N (,2)-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.437xdxexFxx,21)(222)

23、(正態(tài)分布的分布函數(shù)為正態(tài)分布的分布函數(shù)為 xexfx22221正態(tài)分布的密度函數(shù)為正態(tài)分布的密度函數(shù)為38解釋密度函數(shù)的圖形解釋密度函數(shù)的圖形:xexfx,21)(222)(1.曲線關于曲線關于x= 對稱對稱 2.曲線在曲線在x= 處取到最大值處取到最大值 3.曲線在曲線在x= 處有拐點處有拐點,并以并以x軸為漸近線軸為漸近線4. 固定固定, 曲線以曲線以 位置參數(shù)位置參數(shù)5. 固定固定 , 越小越小曲線越高越尖曲線越高越尖特別特別,當當 =0, =1時稱時稱X服從標準正態(tài)分布服從標準正態(tài)分布此此時時,概率密度記為概率密度記為 (x),分布函數(shù)記為分布函數(shù)記為(x)-2-101234500.10.20.30.40.50.60.70.8 21f演示演示9