1、數學史攜手了，便未曾放開江蘇啟東市中小學教師研修中心 蔡宏圣2003年，做案例乘法的初步認識時，我在想：人類是怎樣把相同加數的加法提升為乘法的，教學能不能呈現這樣的過程。后來，成文文化視野中的小學數學教育實踐與思考，獲得了省教育廳辦公室主辦的“教海探航”征文一等獎。這是我第一次有意識地從數學史的角度去考慮教學，并嘗到了甜頭。2011年暑期，江蘇教育雜志出刊“蘇派新生代名師的教學主張”，我又想：兒童的認知是直觀感性的，數學的特性是理性抽象的，數學教育就是在這兩者間實現平衡，這便是“和諧數學”的根本意義。外人看來，教學主張中看似沒有了數學史，但我自己知道數學史之于“和諧數學”的作用。后來，形成了成

2、果“和諧數學”教學主張的構建及實踐，并獲得了江蘇省教學成果一等獎這一路過來，自從有意識地攜手了數學史，便未曾放開，越琢磨，越感慨其智慧無邊一、 數學史是歷史的知識，還原省略壓縮的豐富細節小學生好奇心強，好問“為什么”。如果問“為什么0沒有倒數”，可以依據定義這樣來回答“因為乘積為1的兩個數互為倒數，0和任何數相乘都得0，找不到一個數和0相乘得1，所以0自然沒有倒數”。如果學生問：小數不小啊，為什么要稱為“小數”呢？為什么稱未知數為“元”，方程的解為“根”呢諸如此類問題，那如何回答？可以發現，有些“為什么”的問題，在邏輯上已經無從回答，即便是一個數學上滿腹經綸的老師都深感棘手。為什么出現這種狀況

3、？上述的“為什么”，有學者將它們分成了兩類，一類稱之為“邏輯上的為什么”，一類稱之為“歷史上的為什么”。“邏輯上的為什么”，可以利用教科書中的定義和邏輯作出回答，而“歷史上的為什么”教科書已經無能為力了。師生據以進行教學活動的教科書，它具有概括性和簡明性，在編寫過程中無奈略去了很多細節。省略的東西，用著名數學家M·克萊因在其著作古今數學思想序言中的話來說，就是“課本上字斟句酌的敘述，未能表現出數學思維創造過程中的斗爭與掙扎、挫折與失敗，以及在建立一個數學結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的努力”，只剩下了純粹的概念、符號、公式、定理、問題。所以，“歷史上的為什么”只能超越教科書，用數學

4、史來回答。數學史，研究數學知識的起源、形成與發展，向前能詮釋一個知識、一個思想乃至一個數學分支的源，向后能詮釋它們的流。對于尋求理解“現在之所以成為現在這樣子”的人們來說，過去的事情都在歷史里，所以從這個意思上說，數學史提供了整個課程的概貌。原來，在中國古代數學著作中，分、厘、毫、秒、忽等單位經常用來表示小數的位置，它們間的關系便是十進分數制，“忽”以下的單位不再給予專有的名稱。三國時代數學家劉徽他在注九章算術時，對于開不盡的根，將不再命名的“忽”以下的部分稱為“微數”：微數無名者以為分子，其一退以十為母，再退以百為母，退之彌下，其分彌細。可見，劉徽所說的微數就是我們今天所說的帶小數的小數部分

5、，確實是較小的數。今天，我們所說的“小數”不再只限于純小數，也就是說，隨著時間的推移，概念名稱的字面意義已經和概念內涵分道揚鑣了一個概念為什么這么稱謂，不會無緣無故，一定有合情合理的一段歷史。教科書不僅省略了許多，而且也壓縮了不少數學知識逐步約定、逐步完善的過程。例如復雜的計算，需要分解為多個簡單數目的計算，為了不遺忘中間步驟的計算結果，就需要進行記錄，這便是計算豎式的由來。翻讀歷史，你可以發現現代樣式的計算豎式，都不是一蹴而就形成的，曾經在歷史上留下痕跡的豎式用現代的眼光看，都留有明顯的缺陷。既如此，我們為什么不容許學生在剛學寫豎式的時候“丟三落四”呢？計算方法的約定也有個過程。多位數的加減

6、，我們現在約定從個位算起，為什么這樣約定？因為從高位算起，如果后面計算中遇到進位或退位，那就必須回頭重新調整已經完成的高位計算結果。而從個位算起，不存在這種麻煩。但問題是，人類祖先如果沒有經歷這樣的麻煩，未必會作出“從個位算起”的規定。既如此，學生首先學習不進位的加法和不退位的減法，也就不必咬牙切齒地訓斥從高位算起的學生。讓他們在后面的學習中遇見那些麻煩，讓他們自己去改只要是正常的人，誰會一直樂意遭受麻煩呢？教科書中的數學從概念到定理那么嚴謹自如，從例子到公式那么理所當然，但數學史卻告訴我們，每一個數學成果都是點點滴滴累積而成的，常常幾十年乃至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步。懂得“怎么變成現

7、在這樣子”了，教學無疑更為從容和淡定。二、 數學史是開掘的路徑，揭示教學智慧的其他可能牛頓說：“如果我比別人看得遠些，那是因為我站在巨人的肩上”。的確，牛頓沒有說錯。數學上的每一項成果都是世代累積的結果，但即便如此，也不可否認杰出數學家在關鍵節點推動數學向前發展的決定性作用。不過，杰出數學家也是人，所以，歷史上便有數學家之間的“口水仗”。這其中最典型的要數牛頓和萊布尼茨之間關于微積分發明優先權的爭吵。1665年開始，牛頓把自己關于微積分的想法陸續告訴了周圍的朋友。1669年他完成了關于微積分的重要著作，并遞給了英國皇家學會會員，但很遺憾論文被拖到了1711年才得以發表。萊布尼茨在1675年11

8、月完成了關于微積分的歷史性手稿，獨立于牛頓創造了微積分，并在1684年發表了論文。1712年，英國皇家學會公開指責德國數學家萊布尼茨剽竊英國數學家牛頓的微積分思想，萊布尼茨及其追隨者群起而反擊，一場曠日持久的口水仗便開始了。隨著爭論的升級，幾乎整個歐洲都卷了進來，演變成了英國和歐洲大陸之間的榮譽之爭，而不僅僅是兩個數學家之間的恩怨，即使兩人先后去世后，紛爭還沒有停止。這也使得英國在相當長的時間里，都拒絕使用在歐洲大陸更為流行、符號合理、使用方便的萊布尼茲的微積分方法，妨礙了英國18世紀在數學分析方面的發展。除了微積分優先發明權的紛爭外，歷史上還有笛卡爾和費馬互相指責對方抄襲自己的解析幾何方法，

9、匈牙利數學愛好者鮑耶誤會俄國數學家羅巴切夫斯基剽竊自己的非歐幾何思想（高斯死后公布的信件、日記、書稿表明，他也獨立地提出了非歐幾何）等等。數學史中關于某個數學成果優先發明權的紛爭，有力地表明了存在著這樣一種歷史現象，即不同的數學家獨立地在不同的時間里創造了同一個數學成果。向前追溯，這種現象同樣存在于人類數學的萌芽時期：所有的古代文明都有刻痕計數和結繩記事的方法，豐富的考古資料和事實根據支持這個觀點所有這些表明：在一定的情境中，人類的思維按照邏輯走下去，創造出某個數學成果是必然的，只不過創造的時間、創造的人不同而已。基于數學史作這樣的提煉，我們也就能推測，學生數學學習的認知過程和人類數學創造的發

10、展過程相類似。只要認知擴展的情境在，只要人類思維的邏輯在，那么數學家們曾經經歷的認知提升過程，曾經經歷的認知困惑、認知挫折等，人類的孩子自然也會經歷。著名數學教育家波利亞說，“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷”。教學“用字母表示數”，一個公認的教法是利用教師和學生間的年齡關系，老師問“當某同學10歲時，老師多少歲？”學生答：“老師10+16=26歲”；老師再問“當某同學15歲時，老師多少歲？”學生答“老師15+16=31歲”；然后老師問“當某同學a歲時，老師多少歲”，由此引出了“用字母表示數”。2007年，我讀這樣的案例不禁琢磨

11、，通過這樣的學習，學生理解的知識意義與客觀的數學本質有多少距離？“用字母表示數”到底意味著什么？這樣的問題如同一個“暗箱”，你不可能通過詢問學生得到清晰的答案，只有從歷史中去尋找。對于“用字母表示數”，初等代數史上有兩個經典時刻。一個是公元3世紀，古希臘的丟番圖在其著作算術中首次用字母表示數，他用音節第一個字母的縮寫來表示未知量。未知量不同，音節不同，表示未知量的縮寫字母不同，列出的方程也就不同，解方程的方法當然也不同。因而，丟番圖解一個方程用一種方法，全憑高度的技巧。難怪有人說：研究了丟番圖一百個方程的解法后，還是不知道怎樣去解第一百零一個方程。第二個歷史的經典時刻是16世紀，法國數學家韋達

12、實現了歷史性的突破，他不僅用固定的幾個字母表示未知數，而且用某幾個字母表示已知數，因而方程有了更一般的形式，解法也就有了更通用的辦法，開創了符號代數的時代。把兩個歷史時刻聯系起來看，學習“用字母表示數”最重要的一點是體會用字母去概括已知量，這才是對人類原有認知極限的突破。牛頓和萊布尼茨創建的第一代微積分，應用解決實際問題很管用，但數學原理上說不清楚。130多年后，柯西和魏爾斯特拉斯等建立了第二代微積分，把微積分建立在嚴謹的極限理論上。數學分析雖然嚴密了，但由于概念和推理煩瑣迂回，對于一般要學習高等數學的人來說，是聽不明白的微積分。第三代微積分，是正在創建發展的新一代微積分不但嚴謹，而且直觀易懂

13、。三代微積分，在具體計算方法上沒有不同，不同的只是對原理的說明。微積分發展的這段歷史，清楚地說明了一個數學成果的史學形態和最終的學術形態是有距離的，但史學形態卻展示了一個數學成果逐漸完善嚴謹的過程，這樣的過程對于學習者理解學術形態的表達，是有重要啟示意義的。這正如英國數學家阿蒂亞爵士所言的：一個新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分，甚至在幾個簡單且深刻的觀察之上！由此看來，教學中要組織教育形態的數學，要注意從數學史中去尋找教學智慧，一個知識產生、完善過程中的磕磕碰碰，雖然對于知識本身

14、來說沒有意義，但對于學習者來說，卻是一條產生深度理解的路徑。三、 數學史是厚實的背景，構建教師個人的教學哲學關于教師在課堂教學中的角色和地位，我們有很多種提法，但無論怎樣，我們都不可否認教師的價值引領作用。正由于教師在教學活動中發揮了不可缺失的引領作用，所以，教師所具有的觀點與信念，特別是關于“數學”以及由此派生出的關于“數學教育”的觀念，對于數學教育就有著特別重要的影響。換言之，無論是有意識還是無意識，教師所具有的數學觀念在很大程度上決定了他以什么樣的方式從事數學教學活動。限于篇幅，我們從歷史的角度只討論數學教育最重要的使命是什么。為了增強說服力，我們回到數學的源頭。數和形是怎么起源的，是數

15、學史研究饒有興趣的重要課題。由于這段歷史發生在史前時期，所以研究的成果都帶有推測性，但這不妨礙人們對數形起源的正確解讀。遠古時代，原始人為了生存最關心的問題是今天“有”還是“沒有（無）”果實或獵物，在進一步認識“有”的過程中，逐漸分辨出了“多”與“少”。促進人類先祖計數活動進一步發展的是食物的分配和交換活動，比如以羊群中的羊去換牛群中的牛，一只對著一只牽出，直到合適為止，在這樣的活動中漸漸獲得了“一一對應”、“一樣多”的認識。“數（sh）數（shù）階段”的后期，因為計數范圍的不斷擴大，計數數目的不斷增多，過渡到了“實物計數”階段，也就是用石子、樹枝、泥丸、結繩、獸骨刻痕等器物（或辦

16、法）來幫助計數。有時候，為了不丟失這些計數工具，就把果核等串在小棒或細繩上，這怕是最原始的計數器了。也有時候，湊巧沒有這些實物計數工具，人們還學會了利用自己的手指來計數。手指計數的障礙在于“手僅十指”，所以人類最初借用其他人的手指一起來計數，比如用“3人4指”來表示用完了3個人的手指還多4個手指。漸漸地，人們意識到當用完了自己的全部手指后，可以在旁擺一塊石子或一根樹枝，這樣就能“解放”自己的手指繼續開始計數了！這便是十進制計數法的雛形。當然，歷史上還曾經出現其他進制的計數法，但人類最終廣泛使用了十進制計數法，因為絕大多數人生來有10個手指。“手指計數”促成了進位制計數方法的出現，進而進一步促成

17、了數的表達和記錄符號的出現，數字符號的出現標志著數概念的形成。從“基本數覺數數階段實物計數手指計數生成計數符號”，每一次的進步都無比艱辛。相對于數概念的起源來說，古人對形的認識要更為直接具體，因為大自然始終把它的種種模樣展現在他們面前。但這不等于人類能自動化地從大自然那里獲得各種幾何圖形的認識，促使人類脫離具體實物體會各種形狀、形狀間的不同大小、彼此間的關系等，還是制作勞動工具、編織、建屋、圖騰崇拜等實踐活動。這些活動提供了不斷相互比較的機會，讓人們最終找出了不同物體外在形狀方面的共同之處，從而形成了幾何圖形。人類的歷史約有680萬年，在前500萬年，人類基本上還只有單音節語言，近200萬年以

18、來，產生了多音節語言，而現在我們普遍使用的阿拉伯數字，實際上源自印度，這個歷史僅有千余年。數學的起源與進步，不是輕松的過程，即便是最簡單的數學知識，也是人類思維抽象概括的結果。我們的教科書同樣非常鮮明地表達了這個過程，即便是要認識數“1”，也必須從情境中的實物出發，剝離各種無關緊要的東西，只保留它量方面的特性，以一粒算珠（在量的特征上，它和1個小朋友拉手風琴是等價的，但更為抽象）為橋梁，逐步抽象成符號“1”。正因為是抽象來的，所以便具有了廣泛的代表性，具有模型的意義，“1還能代表什么”的追問正是這個意思的體現。數字、基本幾何圖形是數學里不能再簡單的知識，即便是這樣，它們的形成也離不開抽象概括的

19、思維活動。數學越往后發展，數學來自于人心智的本性就越發突出。歐幾里得的幾何原本是成熟最早的分支，是影響最為深遠的學說，它所體現的公理思想，已經和任何自然現象沒有了關系，如果非要找緣由的話，那就是來自于古希臘圣賢們心智中的邏輯思想。很多時候，一個數學教師對自己的使命常常搖擺和迷失，那么現在很顯然，既然數學是人想出來的，那數學教育最重要的使命，便是千方百計地讓學生去思考，通過思考學會思考。可思考是“苦”事，怎么讓孩子們喜歡思考？2002年8月，陳省身先生為中國青少年數學論壇題辭“數學好玩”，與此同時，他還曾論及“雖然數學的成果都是創新的，畢竟還有好的數學和不大好的數學之分”。最終證明費馬大定理的數

20、學家安德魯·霍爾斯10歲時已經著迷于數學。他回憶起第一次看到費馬大定理時這么說：“看上去如此簡單，但歷史上所有大數學家都未能解決它，這里正擺著一個我一個10歲的孩子能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它，我必須解決它”。安德魯·霍爾斯的回憶為“好的數學”作了最好的注釋，那就是簡單而又豐富。簡單，讓起始的學習順暢自然；豐富，讓后續的學習別有洞天。數學能讓一部分人終生追隨，不是因為簡單，恰恰是因為有點難。因為有點難，所以就有“輾轉反側、冥思苦想繼而石破天驚、豁然開朗”的智力高峰體驗，數學也就變得那么有魅力！不少人覺得數學難，所以不愛數學。實際上這是表面現象，問題的本

21、質在于，對他們來說，面前的數學“難”得不合適。“千方百計地讓學生去思考”，數學史給出的技巧是呈現與學生認知水平相匹配的那些數學能解決又不能隨手可得、有信心又需要再作努力的那些數學，而從此愛上思考的技巧是讓孩子不斷地克服“小難”，不斷積淀思考成功的快樂。這樣，即便遇到了“大難”，學生也絕不會感到數學不好玩，恰恰會勾起其克服“大難”的斗志。而越是“大難”，克服后獲得的情感體驗越酣暢淋漓、越震撼心靈。對，讓你的學生在追隨你的日子里享受那怕一次的智力高峰體驗！若能如此，你的教學就有境界了。四、 數學史是思考的視角，保持熱點紛爭的應有定力回顧歷史，數學完全是由偉大數學家的偉大創造締造的。無論那本數學史著

22、作，如果要列舉若干位世上最偉大的數學家及其成果的話，里面肯定有古希臘歐幾里得和他的幾何原本。通覽幾何原本，通篇都是前人業已發現提出的各種數學結論。歐幾里得的偉大，只是重新組織使得它們不再零散。他首先把人們公認的事實列為公理或定義，然后用演繹推理的方式推導出其他所有的定理。就這樣，他創造了一種從公理、定義出現，不斷論證命題得到新定理的構造數學理論的方法，把數學從現實、經驗的領域里提升為脫離實際充滿演繹與證明的純粹數學。自此以后，歐幾里得的幾何原本一直是數學家工作的楷模和典范（而實際上，它的影響遠遠不止數學家）。到了17-19世紀，歷史重復著這樣的片段，只不過公理化對人類的心智提出了更大的挑戰。先

23、是牛頓和萊布尼茨創造了微積分，許多疑難問題運用這一工具后變得易如反掌，不過無限小概念的隨意與混亂遭致了不少質疑與批評。而實際上，先前的數學家們是從現實生活中抽象出概念，而更多數學家們則是在自己的心智中創造出概念。由于這些概念及方法還很能解決實際問題，因而，這種創造變得越來越自由自在和毫無忌憚，越來越多的從人思考中產生的觀念進入了數學，以微積分為源頭衍生出許多重要的數學方法，但那些數學在邏輯上都不能得到保證。數學充溢著直覺、歸納推理以及似是而非的證明，這樣的狀況讓另一部分數學家從19世紀20年代開始掀起了數學公理化運動，直到19世紀70年代，魏爾斯特拉斯、康托爾、戴德金建立了實數理論，解決了因微

24、積分基礎不牢而造成的三百多年爭論這就是數學史上的第二次數學危機。抓住歐幾里得及其幾何原本、數學史的第二次數學危機加以分析，如果高度概括數學發展的話，數學史實際上只有兩種歷史片段：其一是數學結論的創造階段，這里往往是偉大數學家的大膽猜測、直覺或類比推理起著更大的作用；其二是數學理論的構建階段，把已經被創造出來的數學結論用演繹推理的方式賦予邏輯性。也就是說，盡管數學的最終表現形式是嚴格的演繹方式，但又只有依靠直覺、大膽的猜測，并通過多次的反復（猜測、反駁、再猜測、再反駁），我們才能發現并最終獲得可靠的知識。用演繹推理的方式證明，雖然是數學的靈魂，但干這個活之前，總得明確要證明什么，所以從這個意義上

25、愛因斯坦說：“解決問題也許是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，卻需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步”。數學學習不僅要學習如何用演繹的方式去證明，也要有大量的機會去體會如何猜測、如何類比和歸納，這才是完整的數學學習生活！一個對數學看得越透徹的老師，也就越能在數學教育的各種紛爭中保持應有的定力。當下，數學課堂中“先學后教、以學論教”的實踐如火如荼。這樣做的理論基礎是：學生是有學習能動的人，不是一張白紙，因而憑什么把所學知識給藏起來怕孩子先知道？難道只是為了確保教師在課堂里更像個權威？這一番理論很有說服力，讓學生先學起來，把孩子從原先的學習被動狀態中解放出來，也肯定沒有錯。但需要慎思，