1、1. 【學習目標】2.61雙曲線的性質(zhì)理解雙曲線的對稱性、范圍、定點、離心率、漸近線等簡單性質(zhì)能利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的方程.2. 能用雙曲線的簡單性質(zhì)分析解決一些簡單的問題【要點梳理】要點一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)xy雙曲線-=1(a>0,b>0)的簡單幾何性質(zhì)abJI兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設B(0,-b),B2(0,b)為y軸上的兩個點，貝4線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|AA2|=2a,|BB2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。 雙

2、曲線的焦點總在實軸上。 實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。 離心率2cc雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作e=WY=上。 2aa因為c>a>0,所以雙曲線的離心率e=f.1。acccbc2_a2Icc.bb由c2=a2+b2,可得/2a=")21=Je2-1，所以巴決定雙曲線的開口大小，-越大，e也越a.aaaa大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線a=b，所以離心率e=2。漸近線范圍27筆_1即x2_a2ax_a或x_-a雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側，是無限延伸的。因此雙曲線上

3、點的橫坐標滿足xva或x>a.對稱性22xy對于雙曲線標傕方程T=1(a>0,b>0),把x換成-x,或把y換成-y,或把x、y同時換成-x、-y,ab22方程都不變，所以雙曲線%_當=1(a>0,b>0)是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對ab經(jīng)過點A2、Ai作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點B、B2作x軸的平行線y=±b,四條直線圍成一個矩形(如圖)，矩形的兩條對角線所在直線的方程是y=±bx。a我們把直線y=±°x叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。ab,22b|MN|=-J

4、x2-a2xaa要點二、雙曲線兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。頂點雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。22雙曲線%-%=1(a>0,b>0)與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為a2b2A1(-a,0),A2(a,0),頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。專業(yè)知識整理分享標準萬程22xy與=1(aA0,b0)ab22yxJ_=1(aA0,b0)ab圖形I_lr.Jy1811I0X性質(zhì)焦點F"c,0),F2(c,0)菖(0,-c),F2(0,c)焦距IF1F2I=2c(c=Ja2+b2)IF1F2I=2c(c

5、=Ja2+b2)范圍xx去一戒x芝a，yRyy<a或y芝a,xwR對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點(土a,0)(0,土a)軸實軸長=2a，虛軸長=2b離心率e=c(ea1)a漸近線方程.by=±xa.ay=±xb(3)與雙曲線22yLz_L=i有公共漸近線的雙曲線ab22與雙曲線當乙=1有公共漸近線的雙曲線方程可設為a2b2舄<0,焦點在y軸上)(4)等軸雙曲線的漸近線22xya"(九A0,焦點在x軸上,等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為y=±x，因此等軸雙曲線可設為x2-y2=舄0).要點四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關線段的幾何特

6、征：雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：c>b>0,c>a>0,且c2=b2+a2。22雙曲線當一匕=1(aa0,ba0),如圖:ab(1)實軸長|AA21=2a，虛軸長2b，焦距|F|F2切2c,(2)離心率:IPF1IIPM1IIPF2I_IA1F1Iipm2rIAK1IIA2F2IIA2K2Ie»1；要點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在

7、x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。要點三、雙曲線的漸近線(1) 已知雙曲線方程求漸近線方程：2222若雙曲線方程為%"2=1,則其漸近線方程為%一土=0=蘭±'=0ny=±bxa2b2a2b2aba已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的常數(shù)”換成“0；'然后因式分解即得漸近線方程。(2) 已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為mx土ny=0，貝U可設雙曲線方程為m2x2-n2y2=#，根據(jù)已知條件，求出人即可。(3)頂點到焦點的距離：AF

8、1=A2F2=ca,AF2=|A2F1=a+c；(4)APF1F2中結合定義PF1-1PF=2a與余弦定理，將有關線段PF1PF2、F1F2和角結合起(5)與焦點三角形APRF2有關的計算問題時，常考慮到用雙曲線的定義及余弦定理(或勾股定理)角形面積公式S/F1F2=【|PF1PF2sinF1PF相結合的方法進行計算與解題，將有關線段|PF1、IPF212F1F2，有關角NF1PF2結合起來，建立PF1PF2、PF1PF2之間的關系【典型例題】類型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例1.求雙曲線16x29y2=144的實軸長和虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、漸近線方程與離心率焦點在y軸上）22,則其漸近線方

9、程為當一鳥=0=mnxy=0=mn【解析】把方程化為標準方程922yx.,-一=1,由此可知實半軸長a=3,虛半軸長b=4,c=16a2b2=5舉一反三:【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程.雙曲線的實軸長2a=6,虛軸長2b=8，頂點坐標（0,<）,（0,3），焦點坐標（0,5）,（0,5）,3y=-x4離心率e=C=5,漸近線方程為a3【總結升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a,b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點所在軸的不同，幾何量也有不同的表示.舉一反三：【變式1】雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍，貝Um等于（）2(1)16362y22二=1；(2)x-2y=8；(3

10、)【答案】(1)y±-x;(2)y=±x;22【變式2】（2015北京）已知雙曲線烏-y2a22y-2x2=72(3)y=,2x1（a>0）的一條漸近線為J3x+y=0,1A.一4【答案】AB.-41D.-4【變式2】已知雙曲線8kx2-ky2=2的一個焦點為（0,一；）,貝Uk的值等于（【解析】漸進線為J3x+y=0,有一°=一史，由雙曲線的方程22y2=1得aab=1，且a>0.所以類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。22(1)。匕二1916；(2)22工-1916【解析】（1）雙曲線2y_16=1的漸近線方程為:201622

11、（2）雙曲線。土916=-1的漸近線方程為:2J916【總結升華】雙曲線22件出°,b>0）的漸近線方程為.22y=±bx,雙曲線當-三=1的漸近線方aab.3a=一322xV【變式3】（2016北與文）已知雙曲線一=1（a>0,b>0）的一條漸近線為ab為（75,0），則a=【答案】依題意有例3.(1)(2)根據(jù)下列條件,2與雙曲線x92x+y=0,一個焦-點；b=c-、5jb，結合cJa+b,解得a=1,b=2。2a求雙曲線方程。2_y=1有共同的漸近線，且過點（-3,2扼）16一漸近線方程為3x十2y=0，且雙曲線過點M（8,&/3）【解析】

12、（1）解法一:22當焦點在x軸上時，設雙曲線的方程為今=1ab程為x=±衛(wèi)y，即aax2y=±x；若雙曲線的方程為2bm2y"一九（m、na0,赤a0,焦點在x軸上，九<0,nb_4由題意，得Ja?，解得a2=-,b2=4（-3）2（2、一3）2142一以2-1ab4x2y2所以雙曲線的方程為一一匕=19422當焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為與一4=1ab【變式1】中心在原點，一個焦點在（0,3）,一條漸近線為A.5x25y236=154bW*=i3654y=x的雙曲線方程是（313x2C.8113y2=13613x2D.81也=136【變式2】過點（2,

13、a_4由題意，得b，解得a2=X,b2=-9（舍去）（2、3）2（-3）2,42一*一1ab2-2）且與雙曲線2=1有公共漸近線的雙曲線是（）綜上所得，雙曲線的方程為4x2922解法二：設所求雙曲線方程為_=K（九#0）,916將點（3,2構代入得赤=1,4所以雙曲線方程為王一業(yè)-=即竺一也=1916494（2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是-=0.2322故設雙曲線方程為4匕=九，49點M（8,6,3）在雙曲線上,824（6、3）29=4,22所求雙曲線方程為x-y=1.1636【總結升華】求雙曲線的方程，關鍵是求a、b,在解題過程中應熟悉各元素a、b、c、e及準線）之間的關系，并注意方程思

14、想的應用。若已知雙曲線的漸近線方程ax土by=0,可設雙曲線方程為22,22axby=九（兀#0）.舉一反三:2A.y22x=14B.C.42，12D.=1【變式3】設雙曲線2x2aB.31（aa0）的漸近線方程為3x±2y=0，貝Ua的值為C.2x2【變式4】雙曲線二abA.實軸2=1與二2勺=赤（赤#0）有相同的（abC.漸近線D.以上都不對類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍22xy-例4.已知Fi,F2是雙曲線2-2=1（ab>0）的左、右焦點，過Fi且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支ab交于A、B兩點,若AABF2是正三角形，求雙曲線的離心率。【解析】.|F1F2

15、|=2c,AABF2是正三角形,-|AF1|=2ctan30=3c,|AF2|=2ctan30343|AF2|-|AR|二；c2c4.3£=ccos303-e=3a【總結升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個重要參數(shù)，求雙曲線離心率的關鍵是由條件尋求a、c滿足的關系式，從而求出舉一反三:【變式1】（1）已知雙曲線2x2a=1(a>0,b>0)的離心率e=23b23過點A（0,-b）和B（a,0）的直線與原點間的距離為號，求雙曲線的方程.22xy求過點（-1,3）,且和雙曲線一-=1有共同漸近線的雙曲線方程49【答案】(1)工-y2=1322(2)義*二127322【變

16、式2】（2015山東文）過雙曲線C:與-%=1（a>0,b>0）的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,aaC于點P.若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為.【答案】23【解析】雙曲線%+%=1的右焦點為（c,0）.不妨設所作直線與雙曲線的漸近線y=°x平行，其方程aaa（|AF21|BF2|）（|AF1|BR|）=12.即（|AF2|BF2|）-|AB|二12-|AF2|BF2|=12|AB|=20.故AABF2的周長L=|AF2|+|BF2|+|AB|=28.【總結升華】雙曲線的焦點三角形中涉及了雙曲線的特征幾何量，在雙曲線的焦點三角形中，經(jīng)常運用正弦定理、余弦定理、雙曲線

17、定義來解題，解題過程中，常對定義式兩邊平方探求關系.舉一反三：22【變式1】已知雙曲線的方程今土=1,點A、B在雙曲線的右支上，且線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點abF2,|AB|=m,F為另一焦點，則ABF的周長為（）A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m【答案】Bx2y2【變式2】已知F1、F2是雙曲線v=1的兩個焦點，P在雙曲線上且滿足|PF1|,|PF21=32,則916NFPF2=【答案】90【鞏固練習】b,x2v2a2c2a2c2為y=(x-c)，代入2-T=1求得點P的橫坐標為x=-,由一-得(與2-4°+1=0,aa解之得c=2+J3,c=2-J3（舍去，因為

18、離心率c>1）,故雙曲線的離心率為ac分別為雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程aa【變式3】已知a、b、ax2+bx+c=0無實根,則雙曲線離心率的取值范圍是()A.1<e<j52B.1<e<2C.1<e<3D.1<e<2+V51.（2015廣東）已知雙曲線C22圣一七=a2b2，一工51的離心率e=，4且其右焦點為F2（5,0），則雙曲線C的方程為（)A.222xy,x=1B.-4392X=11622xyC.=116922xy/D.=1342.2設F1、F2分別為雙曲線-a-%=1(ab=0,bA0）的左右焦點，雙曲線上存在一點P

19、使得|PF1|+|PF2|=3b,-、選擇題【答案】D類型五：雙曲線的焦點三角形例5.已知雙曲線實軸長6,過左焦點F1的弦交左半支于A、B兩點，且|AB|=8，設右焦點F2，求AABF2的周長.【解析】由雙曲線的定義有：|AF2|AF1|=6,|BF2|BF1|=6,|PF1|-|PF2|=-ab，貝U該雙曲線的離心率為（）4A.-B.-C.-D.33343.雙曲線與橢圓丑+匕=1有相同的焦點，它的一條漸近線方程為y=-x，則雙曲線的離心率為（）1664A.x2-y2=96B.y2-x2=160C.x?y2=80D.y2x2=244.過雙曲線2七=1b21的右焦點F2作垂直于實軸的弦PQ,Fi

20、是左焦點，若£PFiQ=90七則雙曲線的離心率是()PF2=F1F2，且F2到直線PFi的距離等于雙曲線的實軸長，求該雙曲線的漸近線方程.2212.設雙曲線與一上=1(0<a<b)的半焦距為c,直線l過(a,0),(0,b)兩點.已知原點到直線l的距離為ab、3c,求雙曲線的離心率.4A.#2B.1+.、2C.2+'、2D.3-2225.已知雙曲線與-與=1(a>0,b>0)的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的ab漸近線方程為()A.y=+厄xB.y=±2/2x八2sC.y=+xD.y=均x43倍，則雙曲線的2213.已知雙曲線】2=1

21、(a>0,b>0)過點A四,J5),且點A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為ab求此雙曲線方程.14.已知雙曲線y2=1的兩個焦點分別為Fi、F2，點P在雙曲線上且滿足F1PF90,求AF1PF24的面積.6.(2016天津文)已知雙曲線1(aA0,b>0)的焦距為2際,且雙曲線的一條漸近線與直線2215.如下圖，已知Fi,F2是雙曲線22土=1(a>0,b>0)的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形abMF1F2，若邊MFi的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率.2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為()B.c.匚心1205D.M、1520二、填空題7.已知雙曲線C:2x

22、2a2y_=1(a>0,b>0)的實軸長為2,離心率為2,則雙曲線C的焦點坐標是【答案與解析】1.【答案】：C【解析】由雙曲線右焦點為F2(5,0),則c=5,e=£=°,a=4222xyx8.橢圓十一7=1與雙曲線-24a2a2y2=1焦點相同，貝Ua=b2=c2a2=9,所以雙曲線方程為x169.(2015春黑龍江期末改編)與雙曲線2x2匕=1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線方程為42.【答案】：B10.(2016浙江文)設雙曲線x2虹=1的左、右焦點分別為Fi,F2.若點P在雙曲線上，且F1PF23為銳角三角形，貝U|PFi|+|PF2|的取值范圍

23、是三、解答題11.設Fi，F(xiàn)222分別為雙曲線與-%=1(a>0,b>0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點abP,滿足【解析】：由雙曲線的定義得：|PF1|-|PF2|=2a,(不妨設該點在右支上)2a3b3b2a|PF1|+|PF2|=3b,所以|PFi|=,|PF2|=,22兩式相乘得虹宣=ab。結合c2=a?+b2得，44a3故e=，故選B。33.【答案】：D【解析】：設雙曲線方程為y2x2=九0豐0).焦點(0,_4.3),%A0,又2九=(4,)2,%=24【解析】：因為|PF2|=|F2Fi|,P點滿足-yr=1，二y=bJc2a2b2a2c=b、.c22-a1-2

24、=e，故e=1+.2.5.【答案】：B【解析】：如圖，2222-a,即2ac=b=c-a,22xy因為雙曲線過點(2,2),所以k=3，所以雙曲線的方程為=1o31210.【答案】(2很,8)【解析】由已知a=1,b=J3,c=2,則e=f=2，設P(x,y)是雙曲線上任一點，由對稱性不妨設aP在右支上，貝U1vxV2,|PF|=2x+1,|PF2|=2x1,一Vi/7/ZF1PF2為銳角，則|PF1|2+|PF2|2>IF1F2I2,即(2x+1)2+(2x1)2>42,解得x,所以J<x<2,22IPF1I|PF2|=4x(2.,7,8)分別過雙曲線的右頂點A,右焦點.OAABOFFCb=2J2,a故漸近線方程為：y-2,2x.6.【答案】：AF作它的漸近線的垂線，B、C分別為垂足，則OBAsOCF,【解析】由題意得c=J5,=na=2,b=1=W_=1選aa241:(2。)【解析】：由題意得:a=1,e=2,所以c=2,又由標準方程可得焦點在x軸上，所以焦點坐標為a(20).【解析】；由題意得4-a2=a2+1,.2a2=3,a=6222xy=1312【解析】設雙曲線方程為22y.x-心=k,411.【解析】:過F2作F2AXPF1于A,由題意知F2A=2a,F1F2=2c,則A