1、 用微分學方法研究用微分學方法研究空間空間曲線就是通過曲線切線來研曲線就是通過曲線切線來研究曲線性質。若將空間曲線看成是兩曲面的交線，則曲究曲線性質。若將空間曲線看成是兩曲面的交線，則曲線的切線和兩曲面的切平面有著密切聯系，而切平面的線的切線和兩曲面的切平面有著密切聯系，而切平面的性質與其法向量的性質密切相關。性質與其法向量的性質密切相關。 切平面在一點的法向量對應曲面上曲線在該點的法切平面在一點的法向量對應曲面上曲線在該點的法線。對空間曲線而言，其在一點的線。對空間曲線而言，其在一點的其法線有無窮多條，法線的全體其法線有無窮多條，法線的全體構成一個平面，這一平面稱為曲構成一個平面，這一平面稱

2、為曲線的法平面線的法平面，因此空間曲線的切因此空間曲線的切線和法平面有著密切聯聯系。線和法平面有著密切聯聯系。 對空間曲線一般可有兩種看法，一種是將曲線看對空間曲線一般可有兩種看法，一種是將曲線看成是動點運動形成的軌跡，由此導出的曲線方程是參數成是動點運動形成的軌跡，由此導出的曲線方程是參數方程；另一種看法是將曲線看成是曲面的交線，由此導方程；另一種看法是將曲線看成是曲面的交線，由此導出的曲線方程是曲線的一般式方程。出的曲線方程是曲線的一般式方程。 在曲線的一般式方程中，有一種特殊交面式方程對在曲線的一般式方程中，有一種特殊交面式方程對問題的討論常有重要作用，這就是問題的討論常有重要作用，這就

3、是曲線的投影式方程。投影式方程既曲線的投影式方程。投影式方程既可以用來確定曲線在坐標面上的投可以用來確定曲線在坐標面上的投影，又是將曲線一般式方程化為參影，又是將曲線一般式方程化為參數式的一種途徑。數式的一種途徑。 設有空間曲線設有空間曲線 ：x = ( t )，y = ( t )，z = ( t )， t , , . .考慮其切線及法平面方程考慮其切線及法平面方程。 為保證曲線的切線存在，曲線本身需是光滑的為保證曲線的切線存在，曲線本身需是光滑的。 由參數方程表出的曲線光滑的分析條件是由參數方程表出的曲線光滑的分析條件是 x = ( t ), y = ( t ), z = ( t )在各點具

4、有在各點具有連續導數連續導數。 曲線在一點的切線的直觀定義是曲線在該點割線的曲線在一點的切線的直觀定義是曲線在該點割線的極限位置極限位置。 據此可導出曲線的切線方程：據此可導出曲線的切線方程： 任取任取 M0 ，而，而 M 為為 上點上點 M0 鄰近的一點。鄰近的一點。 設點設點 M0 , , M 的的坐標分別為坐標分別為 M0( x 0, ,y0 , ,z 0 )，M ( x 0 + x, ,y0 + y , ,z 0 + z ). . 過點過點 M0 , ,M 作割線作割線 M0M ，則割線方向向量為，則割線方向向量為 則割線方程可寫為：則割線方程可寫為：xyO 0M Mxyz , , 0

5、00.yyzzxxxyz z T 設：設：M0 t 0 , , M t 0 + t，則當，則當 M M0 時，時， t 0， x, , y , , z 0 . 改寫割線方程：改寫割線方程： 故對割線方程取極限有故對割線方程取極限有則割線方程轉化為切線方程則割線方程轉化為切線方程 000 yyxxzzxyzttt . 000000limlimlimtttyyxxzzxyzttt , 000000 limlimlim.tttyzxtttttt , , 由由于于 由曲線由曲線 在點在點 M0 處切線方程知，其方向向量為處切線方程知，其方向向量為 ( t0 )= ( t 0 ), ( t 0 ), (

6、 t 0 ) ，于是當于是當 ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )不全為零時，不全為零時，由點由點 M0 可可確定一個垂直于切向的平確定一個垂直于切向的平量面量面 ，稱此平面為曲線，稱此平面為曲線 在點在點 M0 處的法平面。處的法平面。 法平面方程為法平面方程為 : : ( t 0 )( x- - x 0 )+ ( t 0 )( y- - y0 )+ ( t 0 )( z- - z 0 ).xyOz T 0 Tt0 即即,T 設有投影式給出的空間曲線設有投影式給出的空間曲線考慮其在一點考慮其在一點 M0 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程。 為利用已知結果進行討論，先將曲線方程

7、化為參數為利用已知結果進行討論，先將曲線方程化為參數式，取式，取 x 為參數，則為參數，則 的程可化為的程可化為 ：x = x，y = ( x )，z = ( x )， x a , ,b . . 若若 y = ( x )，z = ( x )在點在點 M0 處可導，則處可導，則 在點在點 M0 處存在切線及法平面。處存在切線及法平面。 0:0Fyx yxxa bGzx zx , , ,.或或 曲線曲線 在點在點 M0 處的切向量為處的切向量為 曲線曲線 在點在點 M0 處的切線及法平面方程分別為處的切線及法平面方程分別為000 1Tx0 xx ,00 dddd 1 x xyzxxTx0,或或.

8、.xyz 1yx : 2zx :例：例：求曲線求曲線 在點在點處的切線與法平面處的切線與法平面。 求切線與法平面關鍵是求出曲求切線與法平面關鍵是求出曲線的切向量。線的切向量。 對于曲線方程的不同形式，相應對于曲線方程的不同形式，相應切向量的形式幾求法也有所不同。切向量的形式幾求法也有所不同。 按曲線方程的不同表出形式，可按曲線方程的不同表出形式，可有兩種方法計算本例切線與法平面。有兩種方法計算本例切線與法平面。 222222xyzaxyax,. 0222aaaM, 將第二個方程代入第一個方程，消去變量將第二個方程代入第一個方程，消去變量 y 使曲使曲線線 化為投影式化為投影式 在此隱式投影式方

9、程兩邊對在此隱式投影式方程兩邊對 x 求導有求導有2222 22 :xyzaxyax ,.22 22 :axzaxyax ,. d20dd22dzazxyxyax,. dd2d2d2zaxzyaxxy ,.因此因此 求得曲線求得曲線 在點在點 M0 處的切向量為處的切向量為 曲線曲線 在點在點 M0 處的切線及法平面方程為處的切線及法平面方程為00 dd111 0.dd2MMyzTxx , , 1201 .2, 0222:012MaaazxyL,02 :0 .Mxza 0000 0000 2 21d2d2d02dxayaazMxayaazMazzxaxyyx ,. 為利用曲線參數式求解需先將為

10、利用曲線參數式求解需先將 化為參數式。化為參數式。 將第二個方程代入第一個方程，消去變量將第二個方程代入第一個方程，消去變量 y 使曲線使曲線 化為投影式化為投影式 化圓柱面方程為標準型有化圓柱面方程為標準型有 2222 22 :xyzaxyax ,. 22 22 :axzaxyax ,.axzaaaxy 2222 2:22 ,.axzaaaxy 2222 2:22 ,. 觀察投影式方程選擇參數變換：觀察投影式方程選擇參數變換： 令：令： 代入代入 的投影式方程解得的投影式方程解得 若若 a 0 ，則可取曲線則可取曲線 的參數方程為的參數方程為 由由 的的參數方程參數方程求點求點 M0 對應的

11、參數值對應的參數值 t 0aaxt cos22,attytzaaxaa222222221cossinsin222, . :sinsin1cos222aatxytzat ,. 02t .aaaM 0222, 由參數方程易由參數方程易求得求得 在點在點 M0 處的切向量為處的切向量為 求得曲線求得曲線 在點在點 M0 處的切線及法平面方程為處的切線及法平面方程為0 0 ttttMTxyz , 21cossinsin222taattta , 2sincoscos2222taaattt , 220201 .222aaa , , , 0222:012MaaazxyL,02 :0 .Mxza 作空間曲線圖

12、形一般是較為困難的，其基本方法是作空間曲線圖形一般是較為困難的，其基本方法是由所論曲線在各的投影曲線想象空間曲線的圖形，再結由所論曲線在各的投影曲線想象空間曲線的圖形，再結合相應的投影柱面作出空間曲線的圖形。合相應的投影柱面作出空間曲線的圖形。 作空間曲線圖形可分為三個步驟：作空間曲線圖形可分為三個步驟： 由給定曲線由給定曲線 的方程寫出其在三個坐標面的投影曲的方程寫出其在三個坐標面的投影曲 線線 xy , , yz , , zx 的方程的方程。 由投影曲線由投影曲線 xy , , yz , , zx 的方程想象相應的投影柱的方程想象相應的投影柱 面面 xy , , yz , , zx 的圖形

13、的圖形。 由投影柱面由投影柱面 xy , , yz , , zx 的圖形結合相貫線法作出的圖形結合相貫線法作出 空間曲線空間曲線 的圖形的圖形。例例：作曲線作曲線 的圖形的圖形。 由由 的方程可直接寫出其在的方程可直接寫出其在 xOy 平面上的平面上的投影為投影為 由此可知，曲線由此可知，曲線 在在 xOy 平面上的投影平面上的投影 xy 為該平為該平面上圓心在點面上圓心在點( a/ /2, ,0 )，半徑為，半徑為 a / /2 的圓周。的圓周。2222 22 :xyzaxyax ,. 222 :20 xyaxyaz ,.2222 22 :xyzaxyax ,. 為求曲線為求曲線 在在 xO

14、z 平面上的投影，只需設法消去平面上的投影，只需設法消去方程中的變量方程中的變量 y . . 將第二個方程將第二個方程 x 2 + y 2 = a x 帶代入第一個方程得曲帶代入第一個方程得曲線線 的的投影式投影式 由此可知，由此可知，曲線曲線 在在 xOz 平面上的投影平面上的投影 xz 為該為該平面上頂點在點平面上頂點在點( a , ,0 )，以，以 x 軸為對稱軸的拋物線。軸為對稱軸的拋物線。 2222 22 :xyzaxyax ,. 22 :0 xzzaaxa xay ,. 2222 22 :xyzaxyax ,. 為求曲線為求曲線 在在 yOz 平面上的投影，只需設法消去平面上的投影

15、，只需設法消去方程中的變量方程中的變量 x . . 由第二個方程解得由第二個方程解得 代入第代入第一個方程并一個方程并化簡得化簡得 y 2 = a 2 z 2 - - z 4 . . 求得求得曲線曲線 在在 yOz 平面上的投影平面上的投影 yz 為為 2242xaay, 22 :0yzyzazx ,.Oyzx 222222:xyzaxyax ,.a 與討論曲線切線與法平面問題相類似，曲面的切平與討論曲線切線與法平面問題相類似，曲面的切平面與法線是考察多元函數線性化問題的基本工具。面與法線是考察多元函數線性化問題的基本工具。 然而，與研究曲線的切線問題不同的是，什么是曲然而，與研究曲線的切線問

16、題不同的是，什么是曲面的切平面并不是一個明確的概念。為討論這一問題首面的切平面并不是一個明確的概念。為討論這一問題首先需弄清究竟什么是曲面的切平面。先需弄清究竟什么是曲面的切平面。 為此需解決三個問題：為此需解決三個問題： 如何定義曲面在一點的切平面；如何定義曲面在一點的切平面； 曲面存在切平面的條件；曲面存在切平面的條件； 曲面切平面及法線的方程。曲面切平面及法線的方程。 設三元設三元方程方程 F( x , ,y , ,z )= 0 滿足條件滿足條件 Fx( x 0 , ,y0 , ,z 0 ),Fy( x 0 , ,y0 , ,z 0 ),Fz( x 0 , ,y0 , ,z 0 ) 由上

17、討論知，該三元方程由上討論知，該三元方程確定了確定了一張曲面片一張曲面片 考察考察曲面曲面 上一點上一點 M0( x0 , ,y0 , ,z0 )處的處的切平面及法線的方程。切平面及法線的方程。 .0 先考慮曲面先考慮曲面 在一點在一點 M0 處處切平面的定義問題切平面的定義問題。 由平面方程的討論知，為確定曲面由平面方程的討論知，為確定曲面 在一點在一點 M0 處處的切平面，關鍵在于確定切平面的法向量的切平面，關鍵在于確定切平面的法向量考察曲面考察曲面法向量需滿足的條件法向量需滿足的條件： 若將曲面可看成是曲線按某種方式運動所形成的圖若將曲面可看成是曲線按某種方式運動所形成的圖形，則形，則

18、在點在點 M0 處的切平面必通過處的切平面必通過 上過點上過點 M0 的任的任一曲線一曲線 在點在點 M0 處的切線。因此處的切線。因此 在點在點 M0 處的法向處的法向 必垂直于必垂直于 在在 M0 處處切線切線的的方向向量方向向量即有即有0 .Mn0 Mn量量0 .MT 曲面曲面 上上的曲線的曲線 在一點處的在一點處的切向量的性質切向量的性質: : 設設 為為 : : F( x , ,y , ,z )= 0 上過點上過點 M0 的任一曲線，的任一曲線，其參數方程為其參數方程為 ：x = ( t )，y = ( t )，z = ( t ). .又設又設 M0 t 0 ，則，則 在在 M0 處

19、的切向量為處的切向量為 = ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 ) . . 上任一點上任一點 M 處的坐標為處的坐標為 M( t )=( ( t ), , ( t ), , ( t ). . 由于由于 在曲面在曲面 上，故有上，故有 F( M0 )= F ( t ), , ( t ), , ( t )= 0 . . 為考察切向量的性質，在上式兩邊對為考察切向量的性質，在上式兩邊對 t 求全導數有求全導數有0 MT ddFtttt, 0 .xyzFFFtttMMM 由于由于 M0 t 0 ，故對應于故對應于 t = t 0 有有Fx( x , ,y , ,z )t 0 = Fx( (

20、 t 0), ( t 0), ( t 0)= Fx( M0 ), ,Fy( x , ,y , ,z )t 0 = Fy( ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )= Fy( M0 ), ,Fz( x , ,y , ,z )t 0 = Fz( ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )= Fz( M0 ). . 將將 t = t 0 代入以上全導數關系式有代入以上全導數關系式有 0 xyzt tFFFtttMMM000000 0 xyzMMMFFFttt ,. 結果分析：結果分析： 對給定曲面對給定曲面 而言而言，( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 )

21、為曲面為曲面 上一點上一點 M0 處的一個定向量。處的一個定向量。 由曲線由曲線 的任意性知的任意性知，( ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )為曲面為曲面 上一點上一點 M0 處的一個變動的切向量。處的一個變動的切向量。 以上導出的關系式以上導出的關系式( Fx(M0), ,Fy(M0), ,Fz(M0) ( (t 0), ( 0), (t 0)= 0 表示表示 上過點上過點 M0 的任一曲線的任一曲線 在點在點 M0 處的處的切線均與切線均與一個定向量正交，從而一個定向量正交，從而 上過點上過點 M0 的所有曲線在點的所有曲線在點 M0 處的切線均在同一平面上，而該平面的法向

22、量為處的切線均在同一平面上，而該平面的法向量為 =( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 ). .0 MnzyOx 曲面曲面 上點一上點一 M0 處的切平面就是處的切平面就是 上過點上過點 M0 的的所有曲線在點所有曲線在點 M0 處的切線所構成的平面。處的切線所構成的平面。 曲面曲面 在點在點 M0( x 0 , ,y0 , ,z 0 )處的切平面的法向量為處的切平面的法向量為 =( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 ). . 曲面曲面 在點在點 M0 處的切平面處的切平面 的的方程為方程為 Fx( M 0 )( x- - x 0 )+ Fy(

23、M 0 )( y - - y0 )+ Fz( M 0 )( z- - z 0 )= 0 . .0 Mn 過點過點 M 0 且與曲面且與曲面 在點在點 M 0 處的切平面垂直的直處的切平面垂直的直線稱線稱為曲面為曲面 在點在點 M0 處的法線。處的法線。 曲面曲面 在點在點 M0( x 0 , ,y0 , ,z 0 )處的法線的方向向量為處的法線的方向向量為 =( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 ). . 曲面曲面 在點在點 M0 處的法線方程為處的法線方程為 0 Ms 000000000000 :.xyzyyxxzzLFxyzFxyzFxyz, 設曲面的方程為設曲面的

24、方程為 : z = f( x , ,y ),( x , ,y ) D .考慮考慮 上一點上一點 M0( x 0 , ,y0 , ,z 0 )處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程。 求曲面切平面和法線關鍵是求出切平面的法向量，求曲面切平面和法線關鍵是求出切平面的法向量，由平面法向量的性質知，為求切平面的法向量只需確定由平面法向量的性質知，為求切平面的法向量只需確定切平面上的兩個不共線向量即可。切平面上的兩個不共線向量即可。 在曲面在曲面 上取兩條過點上取兩條過點 M0 的特殊的曲線的特殊的曲線 1 : z = f( x , ,y0 )， 2 : z = f( x0 , ,y ).考察曲線考察

25、曲線 1 , , 2 在點在點 M0 處的切線的方向向量。處的切線的方向向量。 由偏導數的幾何意義，由偏導數的幾何意義， 1 , , 2 在點在點 M0 處切線的方處切線的方向向量分別可取為向向量分別可取為 因此有因此有10TM 0011dd0 dd1 0dMMzkxzkxx, , , 20TM 0022d0 ddd0 1dMMzkyzkyy, ,. 10TM 000d1 01 0 dxMzfxyx, , , 20TM 0 00d0 10 1 dyMzfxyy, , , . .zyOx : zfx y ,10 :zfx y , 因此曲面因此曲面 在點在點 M0 處切平面的法向量為處切平面的法向

26、量為 于是求得曲面于是求得曲面 在點在點 M0 處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程為為1020 TMTM 0 n M0000 1 0 0 1 xyfxyfxy, , , 0000 1 0 0 1 xyijkfxyfxy, 0000 1 xyfxyfxy,. 0000000 : 0 xyfxyfxyyyzzxx ,;00000001 : .xyyyzzxxLfxyfxy, 對于顯式曲面方程對于顯式曲面方程 : z = f( x , ,y ),( x , ,y ) D . 令：令：F( x , ,y , ,z )= f( x , ,y )- - z，則曲面方程化為隱式方程則曲面方程化為隱式方

27、程 : F( x , ,y , ,z )= f( x , ,y )- z = 0 . 因為因為 Fx = fx( x , ,y )，Fy = fy( x , ,y )，Fz = - -1 . .故求得曲面故求得曲面 在點在點 M0 處的處的切平面及法線的方程切平面及法線的方程為為0000000 : 0 xyfxyfxyyyzzxx ,;00000001 :.xyyyxxzzLfxyfxy, 曲面曲面 的的方程以顯式方程以顯式 z = f( x, ,y )給出時，給出時， 上一點上一點M( x , ,y , ,z )處的法向量可取為處的法向量可取為 = ( fx( x,y), ,fy( x,y)

28、,-,-1 ). 為確定起見，通常約定法向量總是向上的，即法向為確定起見，通常約定法向量總是向上的，即法向量與量與 z 軸的交角是銳角，故取軸的交角是銳角，故取 在點在點 M 處的法向量及處的法向量及相應的方向余弦為相應的方向余弦為 =( - - fx( x,y),-,- fy( x,y),-,-1 ).0 Mn0 Mn 若記若記: : x = x - - x 0 , , y = y - - y0 , , z = z - - z0 , , 則曲面則曲面 : z = f( x , ,y )在點在點 M0 處的切平面方程可寫為處的切平面方程可寫為 z = fx( x 0 , ,y0 ) x + f

29、y( x 0 , ,y0 ) y . . 由此由此聯想到聯想到 z = f( x , ,y )在點在點( x0 , ,y0 )處的全微分處的全微分 d z = fx( x 0 , ,y0 ) x + fy( x 0 , ,y0 ) y . . 比較二者的形式看出比較二者的形式看出，函數函數 z = f( x , ,y )在點在點( x0 , ,y0 )處的全微分的幾何意義處的全微分的幾何意義就是用曲面在該就是用曲面在該點切平上對應的點切平上對應的增量近似代替曲面在該點的增量，即增量近似代替曲面在該點的增量，即 z = f( x 0 + x , ,y0 + y )- - f( x 0 , ,y0

30、 ) d z = fx( x 0 , ,y0 ) x + fy( x 0 , ,y0 ) y . .yO0z x y xz zf x y ,M dz z 000 Pxy, d z z 例：例：求曲線求曲線 在點在點處的切線與法平面處的切線與法平面。 由于曲線方程由交面式給出，由于曲線方程由交面式給出，為求曲線在指定點為求曲線在指定點 M0 處的切線方程處的切線方程只需求出兩曲面在點只需求出兩曲面在點 M0 處的切平面。處的切平面。 求切平面方程的關鍵是求出求切平面方程的關鍵是求出曲面曲面在點在點 M0 處的處的法向量。法向量。 222222xyzaxyax,. 0222aaaM, 構成曲線構成

31、曲線 的兩曲面的方程分別為的兩曲面的方程分別為 1: : F( x , ,y , ,z )= x 2 + y 2 + z 2 - - a 2 = 0， 2 : G( x , ,y , ,z )= x 2 + y 2- - a x = 0 . 為求曲面為求曲面 1 , , 2 的法向量先計算各偏導數：的法向量先計算各偏導數： 022axxFMxa,xxFxyzax 22222 ,yyFxyzay 22222 ,022 ayyFMya,zzFxyzaz 22222 ,0222 ayzFMza,222xxGxyaxxa ,022 0axxGMxa,222 yyGxyaxy,022 ayyGMya,22 0zzGxyax,0 0zGM. 求得兩曲面求得兩曲面 1 , , 2 在點在點 M0 處的法向量分別為處的法向量分別為 曲面曲面 1 , , 2 在點在點 M0 處的切平面方程分別為處的切平面方程分別為 從而求得曲線從而求得曲線 在點在點 M0 處的切線方程為處的切線方程為 0 10 21 12 xyzMnMF F Fa aaa , , , 1:2220222aaazxyzaxy , 2:02ay . .0222 :MxyzaLay,. 2 0 10 000 1 0 xyzMnMGG Gaa , , ,例：例：證明曲面證明曲面 ( a 0 )上任一點處的切平