1、期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用一、定積分的概念與性質(zhì)一、定積分的概念與性質(zhì)1 1、定義：、定義：iniibaxfdxxf10)(lim)( 2 2、幾何意義：曲邊梯形的面積、幾何意義：曲邊梯形的面積3 3、性質(zhì)：、性質(zhì)：dxxgkdxxfkdxxgkxfkbababa )()()()(2121 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(0)( aadxxf baabdxxfdxxf)()(期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié) babadxxgdxxfxgxfba)()(),()(,則則上上在在)()( )()(baabfdxxfba 積分中值定理積分中值定理是是

2、奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(xf;0)( aadxxf是是偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))( xf aaadxxfdxxf0.)(2)(二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1 1、定義：、定義：)()()(badttfxxa 2 2、導(dǎo)數(shù)：、導(dǎo)數(shù)：)()()(xfdttfdttfdxdxaxa 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié))()()()(xuxufdttfdxdxua )()()()()()()(xvxvfxuxufdttfdxdxuxv 三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()(| )()()()(aFbFxFdxxfCxFdxxfbaba 四、定積分的計(jì)算：方法與不定積分相同四、定

3、積分的計(jì)算：方法與不定積分相同1 1、換元積分法（既換元又換限）、換元積分法（既換元又換限）則則令令),(),( ba 根根式式代代換換三三角角代代換換令令)2()1()()()()(dtttftxdxxfba 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)2 2、分部積分法、分部積分法 bababaxduxvxvxuxdvxu)()(|)()()()( babadxxuxvxvxu)()(|)()(五、無窮限的反常積分五、無窮限的反常積分 CxFdxxf)()()()(lim| )()(aFxFxFdxxfxaa )(lim)(| )()(xFbFxFdxxfxbb )(lim)(lim| )()(xFxFxFd

4、xxfxx 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)六、定積分的應(yīng)用六、定積分的應(yīng)用 1 1、微、微元元法法 2 2、平面圖形的面積、平面圖形的面積 (1) (1)直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形 (2) (2)極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形 3 3、體積、體積 (1) (1)平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積 (2) (2)旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)dxxfdyyg)()( 第六章第六章 一階常微分方程一階常微分方程一、可分離變量方程一、可分離變量方程兩邊積分兩邊積分dxxfdyyg)()( 得通解得通解CxFyG )()(二、可化為可分離變量方程二、可化為可分離變量方程齊次方程齊次方

5、程),(xydxdy uxyxyu 即即令令,)(dxduxuuxuxdxdy 則則代入原微分方程得代入原微分方程得期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié) uudxduxudxduxu)()( dxxduuu1)(1 可分離變量方程可分離變量方程三、一階非齊次線性微分方程三、一階非齊次線性微分方程)0)()()( xQxQyxpdxdy通解公式：通解公式： dxxPdxxPeCdxexQy)()()(期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)一、空間解析幾何簡(jiǎn)介一、空間解析幾何簡(jiǎn)介理解空間直角坐標(biāo)系，認(rèn)識(shí)并會(huì)畫簡(jiǎn)單的空間理解空間直角坐標(biāo)系，認(rèn)識(shí)并會(huì)畫簡(jiǎn)單的空間曲面（平面、柱面、球面、

6、橢球面、橢圓拋物曲面（平面、柱面、球面、橢球面、橢圓拋物面、錐面）面、錐面）二、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性二、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性三、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算（本質(zhì)：一元函三、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算（本質(zhì)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）數(shù)的導(dǎo)數(shù)）四、全微分的概念與計(jì)算四、全微分的概念與計(jì)算dyyzdxxzdz 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)五、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（畫出各變量間的函數(shù)關(guān)系五、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（畫出各變量間的函數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，看圖寫公式）結(jié)構(gòu)圖，看圖寫公式）六、二元隱函數(shù)求導(dǎo)法六、二元隱函數(shù)求導(dǎo)法則則確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)是是由由方方程程設(shè)設(shè),),(),(zyxFyxzz zyzxF

7、FyzFFxz ,zuvyx),(),(),(yxvyxuvufz 如如xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)七、二元函數(shù)極值的概念及其求法七、二元函數(shù)極值的概念及其求法1 1、解方程組、解方程組 0),(0),(yxfyxfyx2 2、).,(),(00yxyxf的的所所有有駐駐點(diǎn)點(diǎn)得得),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 設(shè)設(shè)值值大大為為極極小小且且)(),(),0( 0, 0) 1 (002yxfAABAC ?？赡苁且部赡懿皇菢O值可能是也可能不是極值),(, 0)3(002yxfBAC 不不是是極極值值),(, 0)2(002y

8、xfBAC 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)八、二元函數(shù)的最值八、二元函數(shù)的最值九、條件極值九、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法1 1、有界閉區(qū)域、有界閉區(qū)域 上二元連續(xù)函數(shù)上二元連續(xù)函數(shù) 的最值：的最值：),( yxfD的的邊邊界界值值及及在在內(nèi)內(nèi)部部所所有有駐駐點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函數(shù)數(shù)在在求求出出DDyxf),(較較大大小小。上上的的最最大大、最最小小值值，比比2 2、實(shí)際問題求最值，、實(shí)際問題求最值， 內(nèi)部唯一駐點(diǎn)必為最值點(diǎn)情形。內(nèi)部唯一駐點(diǎn)必為最值點(diǎn)情形。D1 1、構(gòu)造拉格朗日函數(shù)、構(gòu)造拉格朗日函數(shù))(),(),(),(為為參參數(shù)數(shù) yxyxfyxL :)(0),(),(值值最最下下的的極極在

9、在約約束束條條件件求求目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù) yxyxfz 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)2 2、求駐點(diǎn)，即解方程組、求駐點(diǎn)，即解方程組 0),(0),(),(0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx 該點(diǎn)是否為真的條件極值點(diǎn)，往往據(jù)問題性質(zhì)可判斷。該點(diǎn)是否為真的條件極值點(diǎn)，往往據(jù)問題性質(zhì)可判斷。滿足該方程組的點(diǎn)滿足該方程組的點(diǎn)),(yx就是可能的條件極值點(diǎn)。至于就是可能的條件極值點(diǎn)。至于期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)第九章第九章 二重積分二重積分一、二重積分的概念和性質(zhì)一、二重積分的概念和性質(zhì)1 1、定義：、定義：2 2、性質(zhì)、性質(zhì)3 3、幾何意義：曲頂柱體的體積、幾何意義：曲頂柱體的體積二、

10、二重積分的計(jì)算二、二重積分的計(jì)算iiniiDfdyxf ),(lim),(10 1 1、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié),:) 1 (bxaD 若若).()(21xyx X X型型域域.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:) 2(dycD 若若).()(21yxy Y Y型型域域期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié).)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(,: D).()(21 rrr 2 2、極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算、極坐

11、標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(1)(1)極點(diǎn)極點(diǎn) 是區(qū)域是區(qū)域 的外點(diǎn)的外點(diǎn)ODb.b.被積函數(shù)在極坐標(biāo)下較簡(jiǎn)單，如被積函數(shù)在極坐標(biāo)下較簡(jiǎn)單，如題型特點(diǎn)：題型特點(diǎn)：a.a.積分區(qū)域積分區(qū)域 的邊界為圓或部分圓??；的邊界為圓或部分圓?。籇).(22yxf 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié).)sin,cos()(0 rrdrrrfd,: D).(0 rr Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rrdrrrfd,20: D).(0 rr (2)(2)極點(diǎn)極點(diǎn) 是區(qū)域是區(qū)域 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)OD(3)(3)極點(diǎn)極點(diǎn) 是區(qū)域是區(qū)域 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)OD期末

12、復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)第十一章第十一章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)1 1、概念、概念(1)(1)定義定義 nnnuuuuu3211 niinnuuuus121級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和(2) 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散.,lim11 nnnnnnususs且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和收收斂斂則則稱稱若若.,lim1發(fā)發(fā)散散則則稱稱不不存存在在若若 nnnnus期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)2 2、性質(zhì)、性質(zhì)(1)(1)具具有有相相同同斂斂散散性性。與與)0(11 kkuunnnn(2) ，則則、分分別別收收斂斂于于與與若若BAvunnnn 11收收斂斂。BAvuv

13、unnnnnnn 111)(發(fā)發(fā)散散，收收斂斂，若若 11nnnnvu發(fā)發(fā)散散。則則)(1nnnvu (3) 在級(jí)數(shù)中去掉、增加或改變前面有限項(xiàng)，不在級(jí)數(shù)中去掉、增加或改變前面有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性。改變級(jí)數(shù)的斂散性。 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)(4)(4). 0lim1 nnnnuu 收收斂斂01 nnnuu ，二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)二、正項(xiàng)級(jí)數(shù).0lim1發(fā)發(fā)散散 nnnnuu.0lim1收收斂斂 nnnnuu定義定義1、比較判別法、比較判別法（1） 1111nnnnnnnnnnvuuvvu發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散收收斂斂收收斂斂注：注：期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)(2)(2) 11,0(limnnnnnnn

14、vullvu與與則則為為確確定定常常數(shù)數(shù)） 11011,1111,npnnnPPnPnqqaq時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)收收斂斂，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)收收斂斂，等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)比比較較級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 具有相同斂散性具有相同斂散性期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)2、比值判別法、比值判別法 11111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuuu斂斂散散性性需需另另外外判判別別，發(fā)發(fā)散散收收斂斂 一般項(xiàng)一般項(xiàng) 中含階乘或指數(shù)表達(dá)式中含階乘或指數(shù)表達(dá)式 情形的適用。情形的適用。nuna期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)3、根值判別法、根值判別法 1111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuu斂斂

15、散散性性需需另另外外判判別別，發(fā)發(fā)散散收收斂斂 一般項(xiàng)一般項(xiàng) 中含有某個(gè)表達(dá)式中含有某個(gè)表達(dá)式 次冪情形的適用。次冪情形的適用。nun期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)萊布尼茲判別法萊布尼茲判別法 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件0lim)2(), 2 , 1()1(1 nnnnunuu則級(jí)數(shù)收斂。則級(jí)數(shù)收斂。三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)定義定義 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)2、絕對(duì)收斂與條件收斂、絕對(duì)收斂與條件收斂定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)

16、發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .)1(11收收斂斂必必收收斂斂，則則若若 nnnnuu（2）別別法法或或根根植植判判別別法法若若用用正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的比比值值判判)3(.11也也發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，則則可可得得判判斷斷出出 nnnnuu期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)四、冪級(jí)數(shù)四、冪級(jí)數(shù)1 1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念概念(1)(1) 定義定義(2)(2) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域Ixxuxuxuxunnn ,)()()()(211部分和部分和 nkknnxuxuxuxuxs121)()()()()(,)(,100收收斂斂常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

17、如如果果對(duì)對(duì)于于 nnxuIx期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)存存在在，對(duì)對(duì)收收斂斂域域中中的的點(diǎn)點(diǎn))(limxsxnn 則則稱稱0 x為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn), ,否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn). .所所有有發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為發(fā)發(fā)散散域域. .函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3)(3) 和函數(shù)和函數(shù)記記作作)()(limxsxsnn ，且且有有為為函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)稱稱)(xs).()(1xuxsnn 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)2、冪級(jí)數(shù)及收斂域、冪級(jí)數(shù)及收斂域(1)(1) 定義定義(

18、2)(2) 收斂收斂半徑半徑與收斂域與收斂域,00 nnnnaxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),0nnnxa 標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式. .其其中中na為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).,)(00nnnxxa 一般形式一般形式. .則則收收斂斂半半徑徑設(shè)設(shè),lim1 nnnaa期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié) 0, 0),(0,),(:0,1xRRR收收斂斂域域：收收斂斂域域：與與收收斂斂端端點(diǎn)點(diǎn)并并集集收收斂斂區(qū)區(qū)間間收收斂斂域域 00nnnnxaa斷斷，則則可可用用比比值值判判別別法法判判若若存存在在進(jìn)進(jìn)而而求求出出其其的的斂斂散散性性，的的斂斂散散性性，得得到到 0nnnxa收收斂斂半半徑徑與與收收斂斂域域。期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)( (3 3) ) 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì).)(0在在收收斂斂域域上上連連續(xù)續(xù)的的和和函函數(shù)數(shù)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)xsxannn 1 1) ) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)可可積積,且且對(duì)對(duì)),(RRx 可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分. 3 3) ) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次. 2 2) ) 期末復(fù)習(xí)總結(jié)期末復(fù)習(xí)總結(jié)五、五、 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)