1、1第四章第四章 一元時間序列分析方法一元時間序列分析方法l 學習目標：學習目標： 了解平穩性和白噪聲過程；熟悉隨機序列模型；熟悉ARIMA過程；2第四章第四章 一元時間序列分析方法一元時間序列分析方法l第一節第一節 時間序列的相關概念時間序列的相關概念l第二節第二節 隨機序列模型隨機序列模型l第三節第三節 單整自回歸移動平均模型單整自回歸移動平均模型l第四節第四節 平穩性與單位根檢驗平穩性與單位根檢驗3時間序列的相關概念l第一節 時間序列的相關概念一、平穩性l平穩性是時間序列分析的基礎。判斷一個序列平穩與否非常重要，因為一個序列是否平穩會對它的行為及其性質產生重要的影響。在時間序列平穩性，一般

2、包括下列兩類平穩過程：l1、嚴格平穩過程（Strictly Stationary Process）如果對所有的t，任意正整數n和任意n個正整數( )， （ ）的聯合分布與( )的聯合分布是相同的, 即：1,ntt1,nttyy1,ntmtmyy1111,tt nntmtn mnP ybybP ybyb4時間序列的相關概念l2、弱平穩性過程（Weakly Stationary Process）如果一個時間序列 的均值，方差在時間過程上保持是常數，并且在任何兩時期之間的協方差值僅依賴于該兩時期間的距離或滯后，而不依賴于計算這個協方差的實際時間，則稱時間序列 是弱平穩的。弱平穩的時間序列有如下性質：

3、 可見，如果一個時間序列概率分布的所有階矩都不隨時間變化，那它就是嚴格平穩的；而如果僅僅是一階矩和二階矩（即均值和方差）不隨時間變化，那它就是弱平穩的。 ty ty2()()ttE yuyu ()tE yuuE yytttt()()122112,tt5時間序列的相關概念l二、自協方差（auto-covariance）決定 是如何與它自身的先前值相關的，對于一個平穩的時間序列，它只依賴于 與 之差。其中，被稱為自協方差函數。另一種更為簡潔的方法使用自相關系數來描述他們之間的關系。考慮弱平穩時間序列 ，當 與它的過去值 線性相關時，可以把相關系數的概念推廣到自相關系數， 與 的相關系數稱為 的間隔

4、為 的自相關系數，通常記為 ，在弱平穩性的假定下它只是的函數，定義tyty1ty() (),0,1,2ttt st ssE yE yE yE ys tytyt lytyt lytylll(,)()()tt ltt lCov y yVar y Var y0(,)()tt lltCov y yVar y=6時間序列的相關概念l三、白噪聲過程如果時間序列 是一個有有限均值和有限方差的、獨立同分布的隨機變量序列，則稱時間序列 為白噪聲。特別的，若時間序列還服從均值為0，方差為 的正態分布，則這個序列稱為高斯白噪聲。它是其它各類型時間序列的重要組成部分，在金融市場效率理論中具有重要的意義。對于白噪聲序列

5、，自相關系數為零。在實際應用中，如果所有樣本的自相關函數接近為零，則認為這個序列為白噪聲序列。若一個隨機過程滿足： 則我們稱之為白噪聲過程（white noise process）。 tyty2()tE y2()tVar y2tr0trt r若若7隨機序列模型l第二節 隨機序列模型若對每一個固定的t， 是一個隨機變量，則 ， ， ，為隨機時間序列。而揭示隨機時間序列自身變化規律和相關關系的數學表達式就是時間序列分析模型。隨機時間序列分析模型分為三類：自回歸模型（auto-regressive model, AR）、移動平均模型（moving-average model,MA）和自回歸移動平均模

6、型（auto-regressive moving average model,ARMA）。對于任一個時間序列，怎樣判斷它是遵循純AR過程（若是的話，階數p取什么值），純MA過程，（若是的話，階數q取什么值）或是ARMA模型，此時p和q各取多少。我們將遵循以下四個步驟對這三個模型做一詳細介紹： ty1y2yty8隨機序列模型l步驟一：識別。步驟一：識別。就是找出適當的p和q值。我們即將說明怎樣借助相關圖和偏相關圖來解決此類問題。l步驟二：估計。步驟二：估計。一旦辨別適當的p和q值，下一步便是估計模型中所含自回歸和移動平均項的參數。l步驟三：診斷。步驟三：診斷。選定模型并估計其參數之后，下一步就要

7、看所選的模型對數據擬合的是否夠好。對所選模型的一個簡單的檢驗，是看從該模型估計出來的殘差是不是白噪聲；如果是，就可接受這個具體的擬合；如果不是，我們必須重新在做。l步驟四：預測。步驟四：預測。ARMA建模方法之所以得以普及，理由之一是它在預測方面的成功。有許多事例用這個方法做出的預測比用傳統的計量經濟建模方法做出的預測更為可靠，特別是在短期預測方面。9隨機序列模型l一、自回歸模型（AR）若一個時間序列可表示為 （4.12）其中， 為白噪聲， ， ，則稱 為一階自回歸過程，或簡稱為 。 自回歸模型是時間序列 表示為它的先前值與一個誤差項 的線性函數。在p階自回歸中， 、 ， ， 是自回歸參數，它

8、表明每改變一個單位時間值時，對 所產生的影響，它是根據樣本觀測值來估計的參數。011tttyy t()0tE2var()ttr(1)ARtyt12pty10隨機序列模型l2、AR模型階的識別在實際應用中，一個AR時間序列的p階是未知的，必須根據實際情況來決定。這個問題叫做AR模型的階的決定。一般可以通過兩種方法：第一種方法是利用偏自相關函數（partial autocorrelation function, PACF）， 第二種方法是用某個信息準則函數。（1）偏自相關函數（PACF）偏自相關就是 和 之間的，除去居中的諸 （即 ）的影響后的相關。其相關程度可用偏自相關系數 度量。進行回歸對一個

9、 模型，間隔為的樣本偏自相關系數不應為零，而對所有 ， 應接近零，我們利用這一性質來決定p階。 tyt lyy12,1,ttt lyyy , l l0111(1),1, 2,ttltll ltltyyyytT( )AR pjp, j j11隨機序列模型l（2）采用信息準則法判別模型階數在實際應用中，很難利用自相關函數來確定模型的合理階數。較為簡便的方法是，所選定的階數應使得信息準則的數值達到最小。對于信息準則，一般應用赤池（Akaike）準則信息準則（AIC）和許瓦茲（Schwarz）貝葉斯信息準則(SBIC)。 12隨機序列模型l3 3、參數估計、參數估計對一個 模型，我們常用條件最小二乘法

10、來估計其參數，條件最小二乘是從第 個觀測值開始的。l4、模型驗證、模型驗證對實際數據所時擬合的模型，要仔細地驗證它的合理性。若模型是合理的，其殘差序列應該是白噪聲。殘差的樣本自相關函數和Ljung-Box統計量可用來檢驗 與一個白噪聲的接近程度。對 模型，Ljung-Box統計量 漸進服從自由度為m-p的 分布。如果所擬合的模型經經驗驗證是不合理的，那么就需要對它進行修正。( )AR p1p t( )AR p( )Q m213隨機序列模型l5、預測、預測預測是時間序列分析的一個重要應用。向前一步預測向前兩步預測向前多步預測14隨機序列模型l6、判定預測是否精確、判定預測是否精確l在實際中應用中

11、，通常是對整個樣本外的區間進行預測，然后將其與實際值比較，把他們之間的差異用某種方法加總。對第i個觀測值的預測誤差定義為其實際值和預測值之間的差值，再求其平方或取其絕對值使各項為正后進行加總。15隨機序列模型l案例說明案例說明4-1上證指數收益率的上證指數收益率的AR建模建模l本案例數據來自高鐵梅（2006）計量經濟分析方法與建模，數據選取了上證收盤指數(1991年1月2003年3月)的月度時間序列S作為研究對象,用AR(1)模型描述其變化規律。l在此，對其做變化率 ，這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價指數序列并不是一個平穩的序列，而通過變化后的變化率數據，是一個平穩序列，可以作為我們研究

12、、建模的對象。l對上證收益率數據擬合。在此，記上證股價指數變化率序列為sr，建立如下模型：11100/(1,2, ),ttttsrSSStT1tttsrcsru1,2,tT16案例說明4-1上證指數收益率的AR建模圖圖4-2： AR(1)回歸結果回歸結果17案例說明4-1上證指數收益率的AR建模-4004080120160200919293949596979899000102SRSRF圖圖4-3：上證指數收益率序列及其擬合值：上證指數收益率序列及其擬合值18l在圖4-3中，實線是上證指數變化率序列，虛線是AR(1)模型的擬合值。從該圖可以看出我國上證股價指數變化率序列在1991-1994年之間

13、變化很大，而后逐漸趨于平穩。近年來，波動平緩，并且大多在3%下面波動。擬合曲線基本代表了這一時期的均值。19隨機序列模型l案例說明4-2應用AR（1）進行預測下面，我們利用建立的AR(1)模型進行預測。我們選取2000年1月至2006年6月的我國廣義貨幣供應量（M2）月度數據的時間序列，進行AR（1）建模并預測。 201000001500002000002500003000003500004000002000200120022003200420052006M2FForecast: M2FActual: M2Forecast sample: 2000M01 2006M07Adjusted sam

14、ple: 2000M02 2006M07Included observations: 78Root Mean Squared Error 3494.959Mean Absolute Error 2842.679Mean Abs. Percent Error 1.555453Theil Inequality Coefficient 0.008101 Bias Proportion 0.467290 Variance Proportion 0.048130 Covariance Proportion 0.484580圖圖4-5: 利用利用AR模型進行預測模型進行預測21隨機序列模型l二、移動平均模

15、型（二、移動平均模型（MA） 若一個隨機過程 可為下面形式： （4.40）則稱方程式（4.40）表示的是q階的移動平均過程(moving average)，表示為 。 在 模型中， 為參數， 為白噪聲過程。最簡單的移動平均過程是 ，可表達為： tx011tttqt qyc ( )MA q( )MA q12,q t(1)MA1(1)ttyL( )MA q22隨機序列模型l1、MA模型階的識別自相關函數是識別MA模型的階的有用工具。一個時間序列 具有自相關函數 ，若 但對 有 ，則 服從一個 模型。l2、MA模型估計模型估計l估計MA模型通常用最大似然法。有兩種方法求MA模型的似然函數。第一種是條

16、件似然法，即假定初始的擾動（即 ， ）都是0；這樣 ， 計算似然函數所需要的抖動可以遞推得到。第二種方法是把初始抖動 ， 當作模型的附加參數與其它參數一起估計出來。 tyl0llp0lty( )MA qt0t 110yc2201 1,yc t0t 23隨機序列模型24隨機序列模型l3、MA模型預測模型預測l由于MA模型有有限記憶性，它的點預測很快可以打到序列的均值。設預測原點為 ,對MA（1）過程的向前1步預測，模型為l l取條件期望，我們有l向前1步預測誤差的方差為 。h1011hhhyc 1101(1)(,)hhhhhrEyyyc 11(1)(1)hhhheyy2(1)hVar e25隨機

17、序列模型l三、ARMA模型自回歸模型和移動平均模型是時間序列中最基本的兩種模型類別，將這兩種基本的模型類別結合起來，就產生了自回歸移動平均模型（ARMA）。若一個時間序列 可表示為： (4.51) 或者表達為： (4.52)則稱時間序列模型為自回歸移動平均模型，表示為 。在模型中， 和 分別表示為滯后之后p和q階的表達式，并稱其為自回歸算子和移動平均算子。 tx1111ttptpttqt qyyy 11(1)(1)pqptqLLyLL( )( )ttL yL ( , )ARMA p q( )L( )L26隨機序列模型l案例說明4-3應用Eviews建立ARMA模型的實例以中國聯通（600050

18、）為例使用的數據為聯通公司股票的日股價序列，期限為2003-1-2日至2006年9月15日，共886個樣本觀測值。該模型涉及三個步驟：識別、估計和診斷性檢驗。首先，通過觀察自相關系數，對數據結構加以識別。(1)估計高達階的自相關系數(2)采用信息準則法判別模型階數27隨機序列模型l案例4-4在Eviews中運用ARMA模型進行預測 一旦選定了模型的階數并利用一定的數據完成了模型估計后,就可以利用該模型對序列的未來值進行預測。估計出所需模型并在Eviews中打開輸出結果窗口后，點擊Forecast圖標。Eviews使用兩種預測方法：動態預測和靜態預測。動態選項從預測第一項開始，計算多步預測值；而

19、靜態選項則計算一系列向前一步的預測值，此時每生成一個預測值，就將樣本范圍向前移動一個觀測值，以便將真實值而非預測值作為滯后因變量。在此，我們應用了上證指數1990年12月19日至2006年8月31日時間區間，共3856交易日的樣本數。采用Eviews軟件的Froecast預測模型，動態預測和靜態預測的結果分別如下： 28隨機序列模型-.06-.04-.02.00.02.04.06.08.10500100015002000250030003500Forecast: SZ_RETURNFActual: SZ_RETURNForecast sample: 1 3856Adjusted sample:

20、 2 3856Included observations: 3854Root Mean Squared Error 0.026716Mean Absolute Error 0.014488Mean Abs. Percent Error 118.9587Theil Inequality Coefficient 0.962871 Bias Proportion 0.000001 Variance Proportion 0.949712 Covariance Proportion 0.050287(a)動態預測29隨機序列模型-.08-.04.00.04.08.1250010001500200025

21、0030003500Forecast: SZ_RETURNFActual: SZ_RETURNForecast sample: 1 3856Adjusted sample: 2 3856Included observations: 3854Root Mean Squared Error 0.026621Mean Absolute Error 0.014431Mean Abs. Percent Error 133.6966Theil Inequality Coefficient 0.909112 Bias Proportion 0.000000 Variance Proportion 0.834

22、198 Covariance Proportion 0.165801（b）靜態預測30單整自回歸移動平均模型單整自回歸移動平均模型l第三節 單整自回歸移動平均模型單整自回歸移動平均模型（autoregressive integrate moving average models，ARIMA）最先由博克斯（Boy）和詹金斯（Jenkins）在1976年提出的。該模型是指將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值及其隨機誤差項的現值和滯后值進行回歸所建立的模型。目前，該模型已經在眾多領域和研究中得到應用，并證明了其較強的解釋力和適應性。31單整自回歸移動平均模型l一、ARIMA

23、模型介紹假定存在一個隨機過程含有 個單位根，則經 次差分后就變成一個平穩過程，這樣的性質稱為齊次非平穩性。即若 是平穩時間序列，則稱 是d階齊次非平穩序列，這里 表示d階差分。考慮如下形式的模型： （4.56）其中， 是平穩的自回歸算子， 為可逆的移動平均算子。而 是對序列 進行d階差分之后的序列，并且得到的該序列具有平穩性特征。若用 替代 ，則（4.56）式就可以表示為： （4.57）則該表達式與前面所屬的ARMA模型的表達式相同。而方程（4.57）則表示的是一個ARIMA模型。dddttyx txd( )( )dttLxL ( )L( )Ldtxtxtydtx( )( )ttL yL 32

24、單整自回歸移動平均模型l二、 ARIMA模型的確定以上證指數為例為說明 模型參數的相關參數的確定，在此我們選取上證指數為例進行解釋。在此，選取上證指數2000年2月1日至2006年6月30日為觀測區間。首先，確定ARIMA(p,d,q)模型中的d值。 其次，對ARIMA(p,1,q)模型中的p和q數值進行確定。 從收益率的自相關系數和偏自相關系數圖中我們可以看到,它們都是拖尾的，因此可設定為 過程。收益率的自相關函數第1階是顯著的，從第2階開始下降很大，數值也不太顯著，因此先設定q值為1。收益率的偏相關函數也是第1階很顯著，從第2階開始下降很大，因此設定p值為1，于是初步建立 模型。( , ,

25、 )ARIMA p d qARMA(1,1,1)ARIMA33單整自回歸移動平均模型l三、ARIMA過程應用和結果解釋l為分析ARIMA過程，在此，我們選取上證指數1990年12月19日至2006年8月31日為觀測區間，共3856個觀測樣本。應用的軟件為SAS8.0。 34單整自回歸移動平均模型l四、ARIMA過程的SAS程序模擬除了利用SAS程序進行ARIMA過程分析之外，我們還可以通過這一程序進行ARIMA過程模擬。在此，我們應用了朱世武（2004）所著的基于SAS系統的金融計算中的一個例子進行說明。對ARIMA(0,1,1)進行SAS模擬實現。假定初始數值 =0.01，產生1000個來自

26、 ， 的隨機時間序列。1r110.8ttttrr1(0,1)tiidN35單整自回歸移動平均模型圖圖4-17：ARIMA的的SAS模擬模擬 36平穩性與單位根檢驗l第四節 平穩性與單位根檢驗l一、非平穩性檢驗的必要性從前幾節知，當時間序列含有單位根時，它就是一個非平穩時間序列。而非平穩時間序列恰好具有這種齊次非平穩特征，即通過足夠次數的差分就可以轉換為一個平穩的時間序列。l1.單整性的定義若一個非平穩時間序列 必須經過d次差分后才能變換成一個平穩的、可逆的 時間序列，則稱 具有d階單整性，用 表示。tyARMAty( )tyI d37平穩性與單位根檢驗l2.偽回歸問題如果對非平穩性數據進行回歸

27、，則在回歸結果中，我們可能會發現R2很高，t值也極高，這似乎表示變量之間存在著很好的擬合關系。但是，同時會發現杜賓-沃森d值偏低。這時，則可能存在偽回歸（spurious regressions）現象發生。即回歸結果是不正確的。Granger和 Newbold曾經提出一個良好的經驗規則：當 時，所估計的回歸就有謬誤之嫌。 有時候時間序列的高度相關僅僅是因為兩者同時隨時間有或上或下變動的趨勢，并沒有真正的聯系。這種情況就稱為偽回歸。2Rd38平穩性與單位根檢驗l二、兩種類型的平穩性通常，有兩種類型被用來描述非平穩性，它們是帶漂移的隨機游走模型和趨勢平穩過程。其中，帶漂移的隨機游走模型表達為： 趨

28、勢平穩過程是因其在線性趨勢附近而得名，此過程表達為： 在上述情況下， 是白噪聲擾動項。1tttyyttytt39平穩性與單位根檢驗圖圖4-18 隨機游走與帶漂移的隨機游走時間序列圖隨機游走與帶漂移的隨機游走時間序列圖40平穩性與單位根檢驗l 三、單位根檢驗 l1. ADF檢驗l檢驗經濟時間序列是否平穩，需要先檢驗單位根的存在。常用測驗單位根的方法是由Dickey 和Fuller (Fuller, 1976; Dickey and Fuller, 1979)提出的Dickey-Fuller (DF)檢驗，即單位根檢驗。l開始模型：l其中， 是隨機誤差項。1tttyytu41平穩性與單位根檢驗l2. ADF檢驗模型的確定lADF檢驗模型是一般形式，然而是否應該包含常數項 ，是否包含時間趨勢項 ，以及如何確定最優滯后階數p，這是一個需要解決的現實問題。l首先，我們來看如何判斷檢驗模型是否應該包含常數項與時間趨勢項。