1、第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動1一、力矩一、力矩力力:改變質點的運動狀態改變質點的運動狀態,質點獲得加速度。質點獲得加速度。 力矩：力矩： 改變剛體的轉動狀態改變剛體的轉動狀態,剛體獲得角加速度。剛體獲得角加速度。 sin)(FrFMzrnFFhFAzhFrF( (力力F F 在垂直于軸的平面內在垂直于軸的平面內) )1. 力力 對對z 軸的力矩軸的力矩 F第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動2FrMsinrFM大小大小由右螺旋法則確定。由右螺旋法則確定。rnFFhFAz矢量形式矢量形式思考：一對作用力與反作用力的力矩和

2、等于對少？思考：一對作用力與反作用力的力矩和等于對少？方向方向第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 剛體內作用力和剛體內作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動42 2 不在轉動平面內的力對定軸力矩的矢量形式不在轉動平面內的力對定軸力矩的矢量形式FrMZrF/FAzF方向由右螺旋法則確定。方向由右螺旋法則確定。第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動5二、剛體繞定軸轉動微分方程二、剛體繞定軸轉動微分

3、方程作用在作用在 上的外力上的外力 ，內力，內力 kmkFkfkkkkfFtmddvzkvokm在圓規跡切線方向在圓規跡切線方向 kkkkkkfFrmam兩邊乘以兩邊乘以rk，并對整個剛體求和，并對整個剛體求和 kkkkkkkkkrfrFrm)(2第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動6kkkkkkkkkrfrFrm)(2其中其中 稱為合外力矩稱為合外力矩 ；zkkkMrF0kkkrf kkkzrmJ2令令 ， 稱為剛體對稱為剛體對z軸的軸的轉動慣量轉動慣量。內力矩之和為零；內力矩之和為零；則則zzMtJddzzMJ或或 第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5

4、 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動7zzJM 剛體繞定軸轉動時，剛體對該軸的轉動慣量與角剛體繞定軸轉動時，剛體對該軸的轉動慣量與角加速度的乘積等于作用在剛體上所有外力對該軸力加速度的乘積等于作用在剛體上所有外力對該軸力矩的代數和。矩的代數和。 剛體繞定軸轉動微分方程，或轉動定律。剛體繞定軸轉動微分方程，或轉動定律。 剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比正比,與剛體的轉動慣量成反比。與剛體的轉動慣量成反比。第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動8maFJM、 兩個定律在形式上對應兩個定律在形式上對應, 都是反映瞬時效

5、應的。都是反映瞬時效應的。tmmaFddvtJJMdd (2) m反映質點的平動慣性，反映質點的平動慣性，J 則反映剛體的轉動慣性。則反映剛體的轉動慣性。amJFM,(1) 轉動定律轉動定律與牛頓第二定律比較：與牛頓第二定律比較：討論討論 第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動9三、轉動慣量三、轉動慣量2iirmJimrJd2剛體質量不連續分布剛體質量不連續分布剛體質量連續分布剛體質量連續分布確定轉動慣量的三個要素確定轉動慣量的三個要素:(1) 總質量；總質量； (2) 質量分布；質量分布； (3) 轉軸的位置。轉軸的位置。第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2

6、5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動2 對質量線分布的剛體：對質量線分布的剛體：質量線密度：質量線密度lmdd2 對質量面分布的剛體：對質量面分布的剛體：質量面密度：質量面密度Smdd2 對質量體分布的剛體：對質量體分布的剛體：質量體密度：質量體密度Vmdd：質量元：質量元md 質量連續分布剛體的轉動慣量質量連續分布剛體的轉動慣量mrrmJjjjd22四四. J 的計算的計算第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動11 例例1求長為求長為L質量為質量為m 的均勻細棒對端點軸的轉動慣量。的均勻細棒對端點軸的轉動慣量。ABLxdm解解: 取如圖坐標，取如圖坐標，dm =

7、dx3/d202mLxxJLAJ 與剛體的總質量有關與剛體的總質量有關 （1）用定義式計算）用定義式計算注意注意 第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動1222/2/2121dMLxxJLLJ 與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關 LOxdxMz 例例2 求長為求長為L質量為質量為m 的均勻細棒對中心垂線轉軸的轉的均勻細棒對中心垂線轉軸的轉動慣量。動慣量。2020231ddMLxLMxxxJLL 對端點對端點222211121243OLJmmLmLmLJ端點二者關系：二者關系：注意注意 第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動13平行軸

8、定理平行軸定理zLCMz2MLJJz z zJzJL剛體繞任意軸的轉動慣量；剛體繞任意軸的轉動慣量；剛體繞通過質心的軸的轉動慣量；剛體繞通過質心的軸的轉動慣量；兩軸間垂直距離。兩軸間垂直距離。第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動14 例例3 求圖所示剛體對經過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何求圖所示剛體對經過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？計算？(棒長為棒長為L、圓盤半徑為、圓盤半徑為R）2131LmJLL221RmJoo.2002dmJJL222)(2131RLmRmLmJooL(棒對邊緣軸棒對邊緣軸) (圓盤對中心軸圓盤對中心軸)(圓盤對棒邊緣軸圓盤

9、對棒邊緣軸)第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動15例例4 圓環繞中心軸旋轉的轉動慣量。圓環繞中心軸旋轉的轉動慣量。RLlRmRJ20202dd2320222dmRRmRlRRdlOmR第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動16例例5 圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量。圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量。 smddRmRmrrRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2d222ROmrdrJ 與質量分布有關與質量分布有關 注意注意 第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動17（2）用平行軸定理、迭加法）用平

10、行軸定理、迭加法(3) 實驗法實驗法如三線扭擺法。如三線扭擺法。J = J 大大 J 小小J = J 大大 + J 小小OoMR.第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動18FOr(1) 飛輪的角加速度。飛輪的角加速度。四、轉動定律的應用舉例四、轉動定律的應用舉例p求求:例例1 一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，的飛輪邊緣，在繩端施以在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉動慣量的拉力，飛輪的轉動慣量 J=0.5 kgm2,飛輪與轉軸間的摩擦不計飛輪與轉軸間的摩擦不計 。(2) 如以重量如以重量P =98 N的物體掛在的物體掛在繩端繩端,

11、試計算飛輪的角加速度。試計算飛輪的角加速度。 第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動19解解 (1)JFr 2rad/s 2 .395 . 02 . 098JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區別兩者區別?2mrJmgr22rad/s 8212010502098.FOrmgTT第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動20例例2 一定滑輪質量為一定滑輪質量為 m，半徑為，半徑為 r , 不能伸長的輕繩兩邊不能伸長的輕繩兩邊分別系分別系 m1 和和 m2 的物體掛于滑輪上的物體掛于滑輪上, m1 m2, 繩與滑輪間繩與滑輪間無相對滑

12、動。設輪軸光滑無摩擦無相對滑動。設輪軸光滑無摩擦, 滑輪的初角速度為零。滑輪的初角速度為零。求求:滑輪轉動角速度隨時間變化的規滑輪轉動角速度隨時間變化的規律。律。1m2mmr第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動21解解:以以m1 ,m2 ,m 為研究對象為研究對象,受力分析受力分析1111amTgm2222amgmT22121mrJrTrTraaa21rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210滑輪滑輪 m：m1：m2：1m2mmrgm11Tgm22T1T2T第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動22例例3一根長為

13、一根長為l、質量為、質量為 m 的均勻細直棒的均勻細直棒, 其一端有一固定的其一端有一固定的光滑水平軸光滑水平軸, 因而可以在豎直平面內轉動。最初棒靜止在豎因而可以在豎直平面內轉動。最初棒靜止在豎直位置直位置, 由于微小擾動由于微小擾動, 在重力作用下由在重力作用下由靜止開始轉動。靜止開始轉動。 求求:它由此下擺角它由此下擺角 時的時的角加速度和角速度。角加速度和角速度。 Pl /2Ol第二章第二章 動力學基礎動力學基礎2 5 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動23解解: 棒下擺為加速過程棒下擺為加速過程, 外力矩為重力對外力矩為重力對O的力矩。重力作用在棒重心的力矩。重力作用在棒重心, 當棒處在下當棒處在下擺擺 角時角時, 重力矩大小為：重力矩大小為： 重力對整個棒的合力矩與全部重力集中重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質心所產生的力矩一樣。作用在