1、關(guān)于二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題_-現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁，共25頁二次函數(shù)與三角形、四邊形和相似三角形常常綜合在一二次函數(shù)與三角形、四邊形和相似三角形常常綜合在一起運用，解決這類問題需要用到起運用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，把思想，把“數(shù)數(shù)”與與“形形”結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定條結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定條件下，判斷件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個結(jié)論是否出現(xiàn)某個結(jié)論是否出現(xiàn)的問的問題解決這類問題的一般思路是先題解決這類問題的一般思路是先假設(shè)假設(shè)結(jié)論的某一方面結(jié)論的某一方面存在存在，然后在這個假設(shè)下進(jìn)行，然后在這個假設(shè)下

2、進(jìn)行演繹推理演繹推理，若推出矛盾，即可否定，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁，共25頁 考向互動探究考向互動探究探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例例12013重慶重慶如圖如圖1，對稱軸為直線，對稱軸為直線x1的拋物線的拋物線yax2bxc(a0)與與x軸的交點為軸的交點為A、B兩點，其中點兩點，其中點A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，0)(1)求點求點B的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)已知已知a1，C為拋物線與為拋物線與y軸的交點軸的交點若點若點P在拋物線上，且在拋物線上，且SPOC4SBOC，求點求點P的坐標(biāo)；的

3、坐標(biāo)；設(shè)點設(shè)點Q是線段是線段AC上的動點，作上的動點，作QDx軸交拋物線于點軸交拋物線于點D，求線段，求線段QD長度的最大值長度的最大值現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁，共25頁圖圖1例題分層分析例題分層分析 (1)拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定點確定點B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，能求出的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，能求出B點點的坐標(biāo)嗎？的坐標(biāo)嗎？ (2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？由要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？由a1，A(3，0)，B(1，0)三個條件試一試；三個條件試一試； (3)根據(jù)根據(jù)SPOC4SBOC列出關(guān)于列出關(guān)于x的方程，解的方

4、程，解方程求出方程求出x的值；的值； (4)如何用待定系數(shù)法求出直線如何用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式？的解析式？ (5)D點的坐標(biāo)怎么用點的坐標(biāo)怎么用x來表示？來表示？ (6)QD怎樣用含怎樣用含x的代數(shù)式來表示？的代數(shù)式來表示？ (7)QD與與x的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大值？求出最大值？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁，共25頁解：(1)由題意知：點 A 與點 B 關(guān)于直線 x1 對稱，A(3，0)，B(1，0)(2)當(dāng) a1 時，則 b2，把 A(3，0)(3)代入 yx22xc 中得 c3，該拋物線解析式為 yx22x3.SBOC12OBOC121

5、332，SPOC4SBOC4326.又 SPOC12OC|xp|6，|xp|4，xp4.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁，共25頁當(dāng) xp4 時，yp4224321；當(dāng) xp4 時，yp(4)22(4)35.點 P 的坐標(biāo)為(4，21)或(4，5)A(3，0)，C(0，3)，則直線 AC 的解析式為 yx3.設(shè)點 Q 為(a，a3)，點 D 為(a，a22a3)，QDyQyDa3(a22a3)a23a.當(dāng) a32（1）32時，QD 有最大值，其最大值為：322332 94.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁，共25頁解題方法點析解題方法點析以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點存在性問題點存在性問題

6、是以二次函數(shù)的是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某些的條件時，點是否存在的判斷三角形滿足某些的條件時，點是否存在的問題問題，這類問題有點的對稱點、線段、三角形等類型之分這類試，這類問題有點的對稱點、線段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變題集代數(shù)、幾何知識于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁，共25頁(中考中考.廣安廣安)如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線y=x2+2x+3交交x軸于軸于A、B兩點（點兩點（點A在點在點B的左側(cè)），與的左側(cè)），與y軸交于點軸交于點C。（1）求點）求點A、B、C的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。（2）若點）若

7、點M為拋物線的頂點，連接為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求，求BCM的的面積。面積。（3）連接）連接AC，在，在x軸上是否存在點軸上是否存在點P使使ACP為等腰三角形，若為等腰三角形，若存在，請求出點存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁，共25頁探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 例例22013棗莊棗莊 如圖如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與的圖象與x軸交于軸交于A、B兩點，兩點，B點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為(3，0)，與，與y軸交軸交于于C(0，3)，點，點P

8、是直線是直線BC下方拋物線上的動點下方拋物線上的動點(1)求這個二次函數(shù)的解析式；求這個二次函數(shù)的解析式；(2)連接連接PO、PC，并將，并將POC沿沿y軸對折，得到四邊形軸對折，得到四邊形POPC，那么是否存在點那么是否存在點P，使得四邊形，使得四邊形POPC為菱形？若存在，求出此時為菱形？若存在，求出此時點點P的坐標(biāo)；若不的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；存在，請說明理由；(3)當(dāng)點當(dāng)點P運動到什么位置時，四運動到什么位置時，四邊形邊形ABPC的面積最大？求出此時的面積最大？求出此時P點點的坐標(biāo)和四邊形的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積的最大面積現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁，共25頁例題分層分析例題分層分

9、析(1)圖中已知拋物線上幾個點？圖中已知拋物線上幾個點？將將B、C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；(2)畫出四邊形畫出四邊形POPC，若四邊形，若四邊形POPC為菱形，那么為菱形，那么P點必在點必在OC的垂直平分線上，由此能求出的垂直平分線上，由此能求出P點坐標(biāo)嗎？點坐標(biāo)嗎？(3)由于由于ABC的面積為定值，求四邊形的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面積，即的最大面積，即求求BPC的最大面積的最大面積現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁，共25頁解：(1)將 B、C 兩點的坐標(biāo)代入 yx2bxc，得93bc0，c3，解得b2，c3.這個二次函數(shù)的解析式為 yx22x3.(2)假設(shè)拋物

10、線上存在點 P(x，x22x3)，使得四邊形 POPC 為菱形連接 PP交 CO 于點 E.四邊形 POPC 為菱形，PCPO，PECO，OEEC32，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁，共25頁P 點的縱坐標(biāo)為32，即 x22x332，解得 x12 102，x22 102(不合題意，舍去)存在點 P(2 102，32)，使得四邊形 POPC 為菱形(3)過點 P 作 y 軸的平行線交 BC 于點 Q，交 OB 于點 F，設(shè) P(x，x22x3)由 x22x30 得點 A 的坐標(biāo)為(1，0)B 點的坐標(biāo)為(3，0)，C 點的坐標(biāo)為(0，3)，直線BC 的解析式為：yx3，Q 點的坐標(biāo)為(x，x3)，AB4，

11、CO3，BO3，PQx2+3x.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁，共25頁S四邊形ABPCSABCSBPQSCPQ12AB CO12PQBF12PQFO12ABCO12PQ(BFFO)12ABCO12PQBO124312(x23x)332x292x632x322758.當(dāng) x32時，四邊形 ABPC的面積最大此時 P 點的坐標(biāo)為32，154 ，四邊形 ABPC 的最大面積為758.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁，共25頁解題方法點析解題方法點析求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補法割補法把四邊形把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14

12、頁，共25頁（2010黔東南州）黔東南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中如圖，在平面直角坐標(biāo)系中RtAOB RtCDA，且且A（-1，0），），B（0，2）拋物線拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點經(jīng)過點C（1）求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；（2）在拋物線（對稱軸的右側(cè)）在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上是否存在兩點上是否存在兩點P、Q，使四邊使四邊形形ABPQ為正方形為正方形？若存在，若存在，求點求點P、Q的坐標(biāo)的坐標(biāo)；若不存在若不存在，請說請說明理明理由由 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁，共25頁探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合 例例32013涼山?jīng)錾饺鐖D如圖3，拋物線，拋物線y

13、ax22axc(a0)交交x軸于軸于A、B兩點，兩點，A點坐標(biāo)點坐標(biāo)為為(3，0)，與，與y軸交于點軸交于點C(0，4)，以，以O(shè)C、OA為邊作矩形為邊作矩形OADC交拋物線于點交拋物線于點G.(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸拋物線的對稱軸l在邊在邊OA(不包括不包括O、A兩點兩點)上平行移動，分別交上平行移動，分別交x軸于點軸于點E，交，交CD于點于點F，交，交AC于點于點M，交拋物線于點，交拋物線于點P，若點，若點M的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為m，請用含，請用含m的的代數(shù)式表示代數(shù)式表示PM的長；的長； (3)在在(2)的條件下，連接的條件下，連接PC，則在，則在CD

14、上方的上方的拋物線部分是否存在這樣的點拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以，使得以P、C、F為頂點的三角形和為頂點的三角形和AEM相似？若存在，求出相似？若存在，求出此時此時m的值，并直接判斷的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存的形狀；若不存在，請說明理由在，請說明理由圖圖3現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁，共25頁例題分層分析例題分層分析 (1)將將_代入代入yax22axc，求出拋物線的解析式；，求出拋物線的解析式；(2)根據(jù)根據(jù)_的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；的解析式；(3)根據(jù)拋物線和直線根據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點的解析式如何表示出點P、點、點

15、M的坐標(biāo)和的坐標(biāo)和PM的長？的長？(4)由于由于PFC和和AEM都是直角，都是直角，F(xiàn)和和E對應(yīng)，則若以對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點的三角形和為頂點的三角形和AEM相似時，分兩種情況進(jìn)行討論：相似時，分兩種情況進(jìn)行討論：PFC_，PFC_現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁，共25頁解：(1)C(0，4)，A(3，0)在拋物線 yax22axc(a0)上，c4，9a6ac0，解得a43，c4.所求拋物線的解析式為 y43x283x4.(2)設(shè)直線 AC 的解析式為 ykxb(k0)，A(3，0)，C(0，4)在直線 AC 上，3kb0，b4，解得k43，b4.直線 AC 的解析式為 y43x4，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第

16、18頁，共25頁Mm，43m4，Pm，43m283m4.點 P 在 M 的上方，PM43m283m443m443m283m443m443m24m.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁，共25頁(3)若PFCAEM，此時PCM 是直角三角形且PCM90.則PFAECFME，即PFCFAEME.又AEMAOC，AEAOMECO，即AEMEAOCO，PFCFAOCO34.PFPEEF43m283m4443m283m，CFOEm，43m283mm34.m0，m2316.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁，共25頁若PFCMEA，此時PCM 是等腰三角形且 PCCM.則PFMEFCEA，即PFFCMEEA.由得AOCOAEME34，

17、OCOA43，PFFCOCOA43.同理，PF43m283m，CFOEm，43m283mm43.m0，m1.綜上可得，存在這樣的點 P 使以 P、C、F 為頂點的三角形與AEM 相似，此時 m 的值為2316或 1，PCM 為直角三角形或等腰三角形現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁，共25頁解題方法點析解題方法點析此類問題常涉及運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的此類問題常涉及運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確角不明確時，要時，要分類討論分類討論，以免漏解，以免漏解現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁，共25頁 （2011棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x2向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x-h）2+k