1、v1.0可編輯可修改教學 內二次函數與曷函數1.二次函數的定義與解析式(1)二次函數的定義形如：f (x) = ax2+ bx+ c_(a w 0)的函數叫作二次函數.(2)二次函數解析式的三種形式一般式：f (x) = ax2+ bx+ c(aw0).2頂點式：f (x) = a(x m + n(aw0).零點式：f (x) = a(x xi)( xx2) ( aw0).2 .二次函數的圖像和性質f (x) = ax + bx+ cf (x) = ax + bx+c11解析式(a<0)(a>0)v1.0可編輯可修改圖像定義域(一00, + °0)(一00, + 

2、6;0)值域4ac b2 -k OO4a ，4ac- b8'4a單調性b ，在X -00, - x-上單倜遞減；2a在X 十°°上單調遞增2a,b .一在XC -oo,-上單調遞增； 2a,b在xC,十8 上單倜遞減2a奇偶性當b = 0時為偶函數,bwo時為非奇非偶函數頂點b 4ac b2 2a，4a對稱性圖像關于直線x=-提成軸對稱圖形 2a3 . 備函數形如y=x" ( a e R)的函數稱為哥函數，其中 X是自變量，a是常數.4 .募函數的圖像及性質(1)募函數的圖像比較#v1.0可編輯可修改(2)曷函數，的性質比較性y = x2y= x3y= x

3、1y=x2一1y = x定義域RRR0 , +2x|xCRH xW0值域R0 , 十0°)R0 , +2ylyCR H yw0奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函婆奇函數單調性增xC 0 ,+8) 時，增;xC(oo, 0 時，減JI增xe (0, +oo)時，減;xC(8, 0)時，減難點正本疑點清源1 .二次函數的三種形式(1)已知三個點的坐標時，宜用一般式.(2)已知二次函數的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式.(3)已知二次函數與 x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便.2 .募函數的圖像(1)在(0,1)上，哥函數中指數,越大，函數

4、圖像越靠近 X軸，在(1 , +8)上募函數中指數越大，函數圖像越 遠離X軸.一一2311 _ (2)函數y = x, y = x , y=x , y=x2, y= x可作為研允和學習帚函數圖像和性質的代表.33v1.0可編輯可修改1 已知函數f(x)=x2+2(a1)x+2在區間(一8, 3上是減函數，則實數a的取值范圍為一:答案(8, 2解析f(x)的圖像的對稱軸為 x=1 a且開口向上， - 1 a>3,即 aw 2.2 .(課本改編題)已知函數y = x2-2x+3在閉區間0 , m上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍為 .答案1,22解析 y = x 2x+3的對稱軸為x=

5、1.當m<1時，y = f(x)在0 , m上為減函數.，ymax= f(0)=3, ymin = f (m) = rm2m 3=2.m= 1,無解.當 1wmC2 時，ymin=f (1) = 12-2X 1+ 3=2,ymax= f (0) = 3.2當 m>2 時，ymax= f (m) = m- 2m+ 3=3,m= 0, m= 2,無解. 1< me2.3 . 若募函數y=(n2 3m 3) xn2-m- 2的圖像不經過原點，則實數 m的值為.答案 1或2rm 3m+ 3 = 1解析由2,解得m= 1或2.m-m- 2<0經檢驗m= 1或2都適合.4 .(人教

6、A版教材例題改編)如圖中曲線是募函數 y=xn在第一象限的圖像.已知n取±2, 土 1四個值，則相應于曲線G, Q, Q, G的n值依 'JC： 次為.友1 11答案 2, 2, -2, -2解析 可以根據函數圖像是否過原點判斷n的符號，然后根據函數凸凹性確定n的值.5 .函數f(x)=x2+m肝1的圖像關于直線x= 1對稱的充要條件是()A. m= - 2B. m= 2C. m= - 1D. m= 1答案 A解析 函數f(x)=x2+m刈1的圖像的對稱軸為 x= m且只有一條對稱軸，所以一 m=1,即m= - 2.#v1.0可編輯可修改55題型一求二次函數的解析式已知二次函

7、數f (x)滿足f (2) = 1, f ( 1) = 1,且f (x)的最大值是8,試確定此二次函數.思維啟迪：確定二次函數采用待定系數法，有三種形式，可根據條件靈活運用.解 方法一 設 f (x) =ax2+bx+c (aw0),依題意有4a+ 2b+ c= - 1,a b+ c= 1,4ac- b24aa= - 4,解之，得b=4,c= 7,，所求二次函數解析式為f (x) = 4x2+4x+7.2方法一 設 f (x) = a(x m) + n, aw0.f (2) = f ( -1), 2+-111，拋物線對稱軸為x=2=2.mi= 2.又根據題意函數有最大值為n=8,v1.0可編輯

8、可修改y=f (x) = a x 2 2+ 8. f(2) = - 1, a 2-2 2+ 8= - 1,解之，得 a= 4.1 22，f(x)=4x2 +8=4x+4x+ 7.方法三 依題意知，f(x) + 1 = 0的兩根為xi = 2, x2= 1,故可設 f(x) + 1 = a(x 2)( x+ 1) , aw0.即 f (x) = ax2 ax 2a 1.2 4a 2a 1 a又 函數有最大值 ymax= 8, 即 4a二8，解之，得a= 4或a= 0(舍去).2，函數斛析式為 f(x) = 4x+4x+ 7.探究提高 二次函數有三種形式的解析式，要根據具體情況選用：如和對稱性、最

9、值有關，可選用頂點式;和二次函數的零點有關，可選用零點式；一般式可作為二次函數的最終結果.已知二次函數f(x)同時滿足條件:(1) f(1 +x) =f (1 -x)；(2)f(x)的最大值為15;(3) f (x) = 0的兩根平方和等于 17.求f(x)的解析式.解 依條件，設 f (x) =a(x- 1)2+15 ( a<0),2即 f (x) = ax - 2ax+ a+ 15.2令 f(x) = 0,即 ax2ax+ a+15=0,x1 + x2 = 2, x1x2= 1 + 一.ax1 + x2 = ( x1 + x2) 2 2x1x2#v1.0可編輯可修改= 4 2 1 +

10、 15 =2-30=17, a a2， 一 ' a= 2, .f(x)= 2x + 4x +13.題型二二次函數的圖像與性質例2已知函數2 .f (x) = x +2ax+ 3, x C 4,6.(1)當a= 2時，求f (x)的最值；(2)求實數a的取值范圍，使y = f(x)在區間4,6上是單調函數；(3)當a= 1時，求f (| x|)的單調區間.思維啟迪：對于(1)和(2)可根據對稱軸與區間的關系直接求解，對于 (3),應先將函數化為分段函數，再求 單調區間，注意函數定義域的限制作用.解 (1)當 a= 2 時，f (x) = x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 xC4,6

11、, .f(x)在4,2上單調遞減，在2,6上單調遞增，f(x)的最小值是 f (2) =- 1,又 f( - 4) = 35, f(6) =15,故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函.數f(x)的圖像開口向上，對稱軸是 x=a,所以要使f(x)在 4,6上是單調函數，應有一a< 一 4 或一 a > 6,即 aw 6 或 a >4.2(3)當 a= 1 時，f(x)=x+2x+3, .f(| x|) =x2+2|x|+3,此時定義域為 x -6,6,2 .x + 2x+ 3, x C 0, 6且 f(x)= 2,x -2x+3, x-6, 0，f(| x|)的單調遞增區

12、間是(0,6,單調遞減區間是6,0.探究提高(1)二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動，不論哪種類型，解決的關鍵是考查對稱軸與區間的關系，當含有參數時，要依據對稱軸與區間的關系進行分類討論；(2)二次函數的單調性問題則主要依據二次函數圖像的對稱軸進行分析討論求解.77v1.0可編輯可修改若函數f (x) =2x2+ mx- 1在區間1, 十°°)上遞增，則 f (1)的取值范圍是.答案(8, 3解析:拋物線開口向上，對稱軸為x= m，m. . 一 - 1). mi54.又 f ( 1) =1 rn 3,.f( 1) ( °&#

13、176;, 3.題型三 二次函數的綜合應用例3若二次函數 f(x) =ax2+bx+c ( aw0)滿足 f (x+ 1) f (x) = 2x,且 f(0) =1.(1)求f (x)的解析式；(2)若在區間 1,1上，不等式f(x)>2x+m值成立，求實數 m的取值范圍.思維啟迪：對于(1),由f(0) =1可彳導c,利用f(x+ 1) f(x) = 2x恒成立，可求出 a, b,進而確定f (x) 的解析式.對于(2),可利用函數思想求得.解 (1)由 f (0) = 1,得 c=1.f(x) =ax2+bx+ 1.#v1.0可編輯可修改又 f(x+1) f(x) =2x,a= 1,

14、 b=- 1.1- a(x+ 1)2+ b(x+ 1) + 1 (ax2+ bx+ 1) = 2x,2a= 2, 即 2ax+ a+b=2x, /.a+ b = 0,因此，f(x)=x2x+1.(2) f(x)>2x+m等價于x2x+1>2x+ m,即x23x+1 m>0,要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數g(x) = x2- 3x+ 1 - m - 1,1上的最小值大于 0即可.2g(x) =x -3x+ 1 m在1,1上單倜遞減，g(x) min = g(1) = - m- 1,由一m- 1>0 得，n< 1.因此滿足條件的實數 m的取值范圍是(一8,

15、1).探究提高 二次函數、二次方程，與二次不等式統稱“三個二次”，它們常結合在一起，而二次函數又是“三個二次”的核心，通過二次函數的圖像貫穿為一體.因此，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖像是探求解題思路的有效方法.用函數思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點.已知函數f(x)=x2+m奸n的圖像過點(1,3)，且f( 1 + x) =f(-1-x)對任意實數都成立，函數y=g(x)與y = f(x)的圖像關于原點對稱.(1)求f (x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)=g(x)入f(x)在(一1,1上是增函數，求實數 入的取值范圍.解(1)f (x) =x2+m肝

16、 n,2 - f ( - 1 + x) = ( - 1 + x) + m 1 + x) + n=x2 2x + 1 + m肝 n- m= x2+(m- 2) x+ n-1,2f ( 1 x) = ( 1 x) +n( 1x) + n=x2 + 2x+ 1 mx-n2 .=x +(2 - n)x+ n-1.99v1.0可編輯可修改又 f ( 1 + x) =f ( 1 x) , . m- 2=2 m 即 m= 2.又f(x)的圖像過點(1,3), ，3=12+m n,即n=2,2 n=0, - f (x) = x + 2x,又y = g(x)與y = f (x)的圖像關于原點對稱，l- - g(

17、 x) = ( -x)2 + 2x(- x),2 . . g(x) = x + 2x.(2)F(x) =g(x)入 f(x) = (1 + 入)x2+(2 2 入)x,、r,、r r L Sr HL 、t2 2 入1 入當入十代。時,F(x)的對稱軸為x=2 1+入,又二r*)在(-1,1上是增函數.1 +入 <01 +入 >01 1 1 一人或1 一入V1封11+入1+入入 <-1 或一1入 W0.當入+ 1 = 0,即入=1時，F(x) =4x顯然在(一1,1上是增函數.綜上所述，入的取值范圍為(8, 0.題型四哥函數的圖像和性,質已知騫函數f(x) = xm2-2m-

18、3 ( mE N*)的圖像關于y軸對稱，且在(0, +°o)上是減函數，求滿足 口+1)詈(3 2a)mm勺a的取值范圍.3思維啟迪：由哥函數的性質可得到哥指數m2-2m- 3<0,再結合m是整數，及哥函數是偶函數可得m的值.解.函數在(0 , +8)上遞減，#v1.0可編輯可修改，南2m- 3<0, 解得一 1<n<3.詐 N*,m= 1,2.又函數的圖像關于 y軸對稱，m2 2m- 3是偶數，而 22-2X2- 3= 3 為奇數，12 2X1 3= 4 為偶數，11. m= 1.而 f(x) = x 5在(一00, 0),(0, +8)上均為減函數， 3，

19、.1 一、 1一 一 一一一._ _ .一 . (a+ 1) <(3 2a) 一 司等伍于 a+ 1>3 2a>0 或 0>a+ 1>3 2a 或 a +1<0<3 2a. 33解得 a<- 1 或2<a<3. 322 3故a的取值范圍為 a| a<- 1或<a<5 .3 2探究提高(1)哥函數解析式一定要設為y=x" ( a為常數的形式)；(2)可以借助募函數的圖像理解函數的對稱性、單調性.方法與技巧4 .二次函數、二次方程、二次不等式間相互轉化的一般規律：(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于

20、二次函數的圖像數形結合來解，一般從開口方向； 對稱軸位置；判別式；端點函數值符號四個方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數的圖像、性質求解.5 .與二次函數有關的不等式恒成立問題2a>0(1) ax + bx+c>0, awo恒成立的充要條件是2b 4ac<01111v1.0可編輯可修改12132a<0(2) ax + bx+ c<0, awo恒成立的充要條件是2b 4ac<03.募函數y = x"( a e R),其中a為常數，其本質特征是以哥的底x為自變量，指數 a為常數.失誤與防范1.對于函數y=ax2+bx+

21、c,要認為它是二次函數，就必須滿足aw0,當題目條件中未說明 awo時，就要討論a=0和aw。兩種情況.2.募函數的圖像一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限,至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；哥函數的圖像最多只能同時出現在兩個象限內；如果募函數圖像與坐標軸相交，則交點A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)、選擇題(每小題5分，共20分)2.(2011 浙江)設函數A. 4 或 一 2C. 2 或 4答案 B當 a>0 時，f( a)=x,f(x)= 2 x ,x< 0,x>0,若f(a)=4,則實數”等于B. 4 或 2D. 2 或 2a 2

22、= 4, 得 a =2.a=4 或 a = 2.已知函數f(x)=x2-2x+ 2的定義域和值域均為1 , b,則b等于A. 3B. 2 或 3C. 2D. 1 或 2答案解析函數f(x)=x22x+ 2 在1 , b上遞增,由已知條件=1,=b,.2.b 3b+2= 0,即解得b=2.b>1.3.設abc>0,二次函數f(x) = ax2+bx+ c的圖像可能是v1.0可編輯可修改1313答案 D解析 由 A, C, D知，f(0) =c<0.abc>0,，ab<0,，對稱軸 x = ?>0, 2a知A, C錯誤，D符合要求.由 B知 f(0)=c>

23、0,ab>0,x=-<0, B錯誤.2a4.設二次函數f(x) =ax2-2ax+ c在區間0,1上單調遞減.，且f(m)wf(0),則實數m的取值范圍是B.D. 0,2A. (8, 0C.(巴 0 U 2 , +oo答案 D2解析 二次函數 f (x) =ax 2ax+c 在區間0,1上單倜遞減，則 a0, f (x) = 2a(x1)<0 , x 0,1,所以a>0,即函數圖像的開口向上，對稱軸是直線x= 1.所以 f (0) =f(2)，,則當 f(m)<f (0)時，有 0w mK 2.二、填空題(每小題5分，共15分)5 .二次函數的圖像過點(0,1),

24、對稱軸為x=2,最小值為一1,則它的解析式為 .a-12答案 y=2(x 2)216 .已知函數f (x) =x2+ 2(a - 1)x + 2在區間(一巴 3上是減函數，則實數 a的取值范圍為 .答案(8, 2解析 f(x)的圖像的對稱軸為 x=1 a且開口向上， - 1 a>3,即 aw 2.1. 一一、“， _一7. 當“C 1, 2, 1, 3時，哥函數y = x的圖像不可能經過第 象限.v1.0可編輯可修改答案二、四一一 .,“，一一I1,“，一 一解析 當”=1、1、3時，y=x的圖像經過第一、三象限；當 “=5時，y = x的圖像經過第一象限.三、解答題(共22分)8. (

25、10分)已知二次函數f(x)的二次項系數為 a,且f(x)> 2x的解集為x1<x<3,方程f(x) + 6a=0有兩 相等實根，求f(x)的解析式.解設 f (x)+2x=a(x 1)( x3)( a<0),2則 f (x) = ax -4ax+ 3a-2x,f (x) + 6a= ax2 (4 a+ 2)x+ 9a, = (4a+ 2) 2-36a2 = 0,即(5a+ 1)( a 1) =0,1,、人，解得a=-二或a= 1(舍去).51因此 f (x)的解析式為 f(x) =- 5(x- 1)( x-3).9. (12分)是否存在實數a,使函數f(x) = x2

26、2ax+a的定義域為 1,1時，值域為2,2若存在，求a的值；若不存在，說明理由.解 f(x) = (x a)2+a a2.當a<- 1時，f (x)在1,1上為增函數，? a= - 1(舍去)；f -1=1 + 3a= 2,f 1=1a=2f a = a- a2= 2,當一1w awo 時，？ a= 1f 1 = 1- a= 2f當 0<awi 時，fa =a a2= - 2,-1= 1 + 3a= 2a不存在;當a>1時，f (x)在 1,1上為減函數,f -1 =1 + 3a = 2,? a不存在.f 1= 1 - a= - 2綜上可得a= - 1.B組專項能力提升(時

27、間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 .已知帚函數f(x)=x的圖像經過點 2, 2 ,則f (4)的值等于()A. 16C. 21415v1.0可編輯可修改答案 D解析將點2,乎代入得：2"=呼，所以a =-2,，、1故 f (4) = 2.2 .已知函數f (x) = 2mX2(4 m)x+1, g(x)=mx若對于任一實數 x, f (x)與g(x)的值至少有一個為正數，則實數m的取值范圍是()A. (0,2)B. (0,8)C (2,8)D. (-oo, 0)答案 B解析 當mO時，顯然不合題意；當m>0時，f(0) =1>0,若對稱軸

28、4 m>0,即0<m<4,結論顯然成2m立；若對稱軸-2mm<0,即 n>4,只要 = 4(4 nj28m= 4( m- 8)( m- 2)<0 即可，即 4<n<8,綜上，0<n<8,選B.3 .已知二次函數y=x22ax+1在區間(2,3)內是單調函數，則實數a的取值范圍是()A. a<2 或 a>3B, 2< a<3C. aw 一 3 或 a> 2D. 一 3w aw - 2答案 A解析 由函數圖像知，(2,3)在對稱軸x= a的左側或右側，a4或aw2.二、填空題(每小題5分，共15分).一.一 .3. 4.已知二次函數y=f(x)的頂點坐標,為一2, 49 ,且萬程f(x) = 0的兩個實根之差等于 7,則此二次函數的解析式是.答案 f(x) = -4x2-12x+403 23 2解析 設二次函數的解析式為