1、4. 5.3函數模型的應用研讀導學嘗試考點學習目標核心素養指數、對數函數模型在實際問題中的應用會利用已知函數模型解決實際 問題數學建模根據實際問題建立函數模型能根據實際問題，建立恰當的函數模型求解問題數學建模問題導學預習教材P148-P154,并思考以下問題：1 . 一次、二次函數的表達形式分別是什么？2 .指數函數模型、對數函數模型的表達形式是什么?新知初探»幾類常見的函數模型名稱解析式條件一次函數模型y= kx+ bkw0反比例函數模型k ,卜y= 一十 b xkw0二次函數模型一般式：y = ax2 + bx + c頂點式：y = a!x+I 2ay2,4ac b4aaw 0指

2、數函數模型y = b a + ca>0 且 aw 1, bw0對數函數模型y= mlogax+ na>0 且 aw 1, m w0哥函數模型y= axn+ baw 01 .某種動物繁殖數量 y(單位：只)與時間x(單位：年)的關系式為y=alog2(x+ 1).若這 種動物第1年有100只，則到第7年它們發展到()A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只解析：選 A.由題意可得 a=100.當 x= 7 時，y= 10010g2(7+ 1)= 300.2.某種產品今年的產量是a,如果保持5%的年增長率，那么經過 x年(xCN*),該產品的產量y滿足()A.

3、y=a(1 + 5%x)B. y=a+5%C. y=a(1 + 5%)x 1D. y= a(1 + 5%)x解析：選D.經過1年，y=a(1 + 5%),經過2年，y=a(1 + 5%)2,，經過x年，y=a(1+ 5%)x3.已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿足關系y=a 0.5x+b,現已知該廠今年1月份、2月份生產該產品分別為 1萬件、1.5萬件，則此廠3月份該產品產量為 .7= a 0.51+b,解析：由11.5= a 0.5 +b,a=- 2,得Ib = 2,所以 y=-2X0.5x+2,所以3月份產量為y=2X 0.53+2=1.75（萬件）.答案：1.75萬件探究點HI指

4、數型函數模型的應用例I 一片森林原來的面積為 a,計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相 等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的4,已知到今年為止，森林剩余面積為原來的半.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年？【解】(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1 x)10=2a,即(1x)10=2，解得 x= 1 _ g i10.(2)設經過m年后森林剩余面積為原來的乎,則a(1-x)m=2a,即(=則篇=2，解得m=5.故到今年為止，該森林已砍伐了 5年.

5、(3)設從今年開始，最多還能砍伐 n年，則n年后剩余面積為 乎a(1x)n.令當a(1x)n>1a,即(1 x)'、2,則。，"02，則令/ 解得 nw 15.故今后最多還能砍伐 15年.求解策指數函數模型問題的求解策略(1)對于增長率問題，在實際問題中常可以用指數函數模型y=N(1 + p)x(其中N是基礎數，p為增長率，x為時間)和哥函數模型y= a(1 + x)n(其中a為基礎數，x為增長率，n為時 間)的形式.解題時，往往用到對數運算，要注意與已知條件中給定的值對應求解.(2)函數y=cakx(a, c, k為常數)是一個應用廣泛的函數模型，它在電學、生物學、人

6、口 學、氣象學等方面都有廣泛的應用，解決這類給出指數函數模型的應用題的基本方法是待定 系數法，即根據題意確定相關的系數.某工廠生產過程中產生的廢氣必須經過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量p(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：小時)之間的關系為p(t)= Poekt(式中的e為自然對數的底數，po為污染物的初始含量).過濾1小時后，檢測發現污1染物的含量減少了 1.511000,至少還需過濾幾個小時？(參考數據：lg 2(1)求函數關系式p(t);(2)要使污染物的含量不超過初始值的= 0.3)解：(1)根據題意，得po= poe k,5所以 e k = 5,所以 p(t)

7、=po!5/.(2)由P(t)=Pog：W Aopo,得g：W10-3,兩邊取對數并整理得t(1 3lg 2) >3,所以。30.因此，至少還需過濾 30個小時.探究點酉對數型函數模型的應用例 大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產地產卵，經研究發現鞋魚的游速可以表示為函數v=glog3卷，單位是m/s，。是表示魚的耗氧量的單位數.(1)當一條鞋魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？(2)某條鞋魚想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的單位數是原來的多少倍.10.【斛】 由v= 2log3100可知，當0= 900時,1900 1v = ,log3100= 2log 39 = 1(m/

8、s).所以當一條鞋魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是 1 m/s.(2)由 V2 V1= 1 ,192101即 210g3 荷210g3蒞=1，。2得一=9.%所以耗氧量的單位數為原來的9倍.互加保完(變問法)若本例條件不變：(1)當一條鞋魚的耗氧量是8 100個單位時，它的游速是多少？(2)求一條鞋魚靜止時耗氧量的單位數.解：將9= 8 100代入函數解析式，1 1得v = 21og381 =2X 4= 2 (m/s),所以一條鞋魚的耗氧重是8 100個單位時，匕的游速是2 m/s.1 00(2)令v=0,得210g3荷=0，即赤=1,則0= 100,所以一條鞋魚靜止時的耗氧量為100個

9、單位.求解策對數函數應用題的基本類型和求解策略（1）基本類型：有關對數函數的應用題一般都會給出函數的解析式，然后根據實際問題求解；（2）求解策略：首先根據實際情況求出函數解析式中的參數，或給出具體情境，從中提煉出數據，代入解析式求值，然后根據數值回答其實際意義.跟蹤訓練在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的質量M ，仆M（千克）、火箭（除燃料外）的質量m（千克）的函數關系式是v=2 000 1n 1 + m/當燃料質量是 火箭質量的 倍時，火箭的最大速度可達12千米/秒.解析：當v=i2 000米/秒時，2 0001n 1+m t= 12 000,所以1n 1 +答案：e

10、61探究點囪以圖表信息為背景的函數應用題例3）某醫院研究開發了一種新藥，據檢測，如果成人按規定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量 y（單位：pg）與服藥后的時間t（單位： h）之間近似滿足圖中的曲線， 其中OA是線段，曲線ABC是函數y=kat（t>1, a>0,且k與a是常數）的圖象.（1）寫出服藥后y關于t的函數關系式；（2）據測定，每毫升血液中含藥量不少于2 pg時治療疾病有效，假如某病人第一次服藥為早上6: 00,為了保持療效，第二次服藥最遲應在當天幾時？【解】 當0wt<1時，y=8t；0<t<1,t>1.X當 t>1 時，將 A(1,

11、8), B(2, 4亞代入 y=kat,f283得a =半,k= 8亞.所以y=f廠2 8 .2（2）設第一次服藥后最遲經過t h第二次服藥,依題意有t > 1.所以8 2X=2,解得 t = 5.因此第二次服藥最遲應在第一次服藥后5 h,即當天上午11: 00服藥.圓倒£3圈解決這類問題的一般步驟：(1)觀察圖表，捕捉有效信息.(2)對已獲信息進行加工，選跟蹤訓練擇適當的函數模型.(3)求函數解析式.(4)進行檢驗，去偽存真，答案要符合實際情形.某藥材種植基地準備種植某種藥材，從歷年市場行情可知，從 日起的300天內，該藥材的市場售價 P(元/千克)與上市時間t(天)的關系可

12、以用如圖所示的一條折線表示，該藥材的種植成本Q(元/千克)與上市時間t(天)的關系可以用如圖所示的拋物線表示.P = f(t),寫出圖中表示的種(1)寫出圖中表示的市場售價與上市時間的函數關系式 植成本與上市時間的函數關系式Q = g(t)；(2)若市場售價減去種植成本為純收益，則何時上市該藥材的純收益最大?解：(1)由題圖可得市場售價與上市時間的函數關系式為 P = f(t)= 1300 t, 0<t< 200,怯300, 200<t< 300.12由題圖可得種植成本與上市時間的函數關系式為Q=g(t)=(t- 150) + 100, 0<t<300.(2

13、)設從2月1日起的第t天的純收益為h(t)(元/千克)，則由題意，得h(t)=f(t)-g(t),即 h(t)工2 1 175 200t + 2+ 2 , 0 , 200, :1 2 71 025I20?+2t2-' 200<t< 300.12當 0WtW200 時，h(t)=-200(t-50) + 100,所以當t = 50時，h(t)在區間0, 200上取得最大值100.12當 200<tW300 時，h（t） = 200（t350） + 100,所以當t = 300時，h（t）在區間（200, 300上取得最大值 87.5.綜上可知，當t=50時，h取得最大值

14、，最大值為100,即從2月1日開始的第50天上市，該藥材的純收益最大，最大純收益為100元/千克.驗任反憒達標 1 .某市的房價（均價）經過6年時間從1 200元/m2增加到了 4 800元/m2,則這6年間平均每年的增長率是（）B. 50%A. 600 元C.3/2-1D.3/2+ 1解析：選C.設6年間平均年增長率為 x,則有1 200（1 +x）6=4 800,解得x= 3/2-1.2 .在固定電壓差（電壓為常數）的前提下，當電流通過圓柱形的電線時，其電流強度I與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過半徑為 4毫米的電線時，電流強度為320安， 則電流通過半徑為 3毫米的電線時，電流強

15、度為 （）A. 60 安B. 240 安C. 75 安D. 135 安解析：選D.由已知，設比例常數為k,則I=k r3.由題意，當r = 4時，1= 320,故有320= kX43,解得 k = 320= 5,所以 I = 5r3. 64故當 r = 3 時，I= 5 X 33= 135（安）.故選 D.3.某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過8萬元時，按銷售利潤的15%進行獎勵；當銷售利潤超過8萬元時，若超過 A萬元，則超過部分按10g5（2A +1）進行獎勵.記獎金為 y（單位：萬元），銷售利潤為x（單位：萬元）.（1）寫出獎金y關于銷售利潤x的關系式；（2）如果業務

16、員小江獲得 3.2萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解：（1）由題意知，當 0WxW8時，y=0.15x;當x>8時,y= 8X 0.15 + log 5(2x 15)= 1.2+log5(2x-15),所以0.15x, 0<x<8, y1.2+ log5 (2x 15) , x>8.(2)由題意知1.2+log5(2x 15) =3.2,解得x= 20.所以，小江的銷售禾U潤是20萬元.鼻化母優,詢美I凡固提升A基礎達標1 .某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數關系，其圖象如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是280元D

17、.A. 310 元解析：選B.設函數解析式為y= kx+ b(kw 0),C. 290 元函數圖象過點(1, 800), (2, 1 300),k+b=800,則|2k+ b= 1 300,k=500,解得b= 300,所以 y=500x+300,當 x=0 時，y= 300.所以營銷人員沒有銷售量時的收入是300元.2 .向一杯子中勻速注水時，杯中水面高度h隨時間t變化的函數h=f(t)的大致圖象如圖所示，則杯子的形狀可能是()解析：選A.從題圖看出，在時間段0, t1, t1, t2內水面高度是勻速上升的，因此幾何體應為兩柱體組合，在0, tl時間段內上升慢，在tl, t2時間段內上升快，

18、于是下面大，上面小，故選A.3 .某位股民購進某只股票，在接下來的交易時間內， 他的這只股票先經歷了 3次漲停（每 次上漲10%）,又經歷了 3次跌停（每次下降10%）,則該股民這只股票的盈虧情況 （不考慮其 他費用）為（）A .略有虧損B.略有盈利C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況解析：選A.由題意可得（1 + 10%）3（1 10%）3= 0.970 299=0.97<1.因此該股民這只股票的 盈虧情況為略有虧損.4 .把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是T1（C）,空氣的溫度是 T0（C）,經過t分鐘后物體的溫度 T（C）可由公式T=T0+（T1 丁0把一0.25t求

19、得.把溫度是90 c的物體， 放在10 C的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50 C,那么t的值約等于（參考數據：ln 3 1.099, ln 2 = 0.693）（）A. 1.78B. 2.77C. 2.89D. 4.40解析：選 B.由題意可知 50= 10+（90- 10） e 0.25t,整理得 e 0.25t=2,即0.25t=ln 2 = In 2 = 0.693,解得 C2.77.5.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗， 開源節流，現要從這些邊角料上截取矩形鐵片（如圖中陰影部分）備用.當截取的矩形面積最大時，矩形的兩邊長x, y分別為.解析：由三角形相似，24

20、 y x r 5得不，,得 X=L24- y),所以 S= xy=4（y12）2+180,故當y=12時，S有最大值，此時 x= 15.答案：15, 126.放射性物質衰變過程中其剩余質量隨時間按指數函數關系變化.常把它的剩余質量 變為原來的一半所經歷的時間稱為它的半衰期，記為T1.現測得某種放射性元素的剩余質量A隨時間t變化的6次數據如下:t(單位時間)0246810A(t)3202261601158057從以上記錄可知這種元素的半衰期約為 個單位時間，剩余質量隨時間變化的衰 變公式為A(t)=.解析：從題表中數據易知半衰期為4個單位時間，由初始質量為Ao=320,則經過時間tt1 1-i

21、4t的剩余質量為 A(t)=Ao右；2 = 320 2(tR).t一4答案：4 320 2 (t>0)7 .某種細菌經30分鐘數量變為原來的 2倍，且該種細菌的繁殖規律為 y=ekt,其中k 為常數，t表示時間(單位：小時)，y表示繁殖后細菌總個數，則 k=,經過5小時， 1個細菌通過繁殖個數變為 .解析：由題意知,當t = 2時，y=2,即2=e2k,所以 k=2ln 2,所以 y= e2tln 2.當 t=5 時，y=e2X5Xln 2= 210= 1 024.即經過5小時，1個細菌通過繁殖個數變為1 024.答案：2ln 2 1 0248 .燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究

22、燕子的科學家發現，兩歲燕子的飛行 速度v(單位：m/s)可以表示為v= 5log2：Q0，其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子靜止時的耗氧量是多少個單位；(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？解：(1)當燕子靜止時，它的速度v= 0 m/s,代入題中給出的函數關系式，可得0=5log2Qj,解得Q = 10,即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.80(2)將Q = 80代入題中給出的函數關系式，得v=5log2元= 510g28= 15,即當一只燕子的耗氧量是 80個單位時，它的飛行速度為15 m/s.9 .某科研單位在研發新產品的過程中發現了一種新材料，由大數據測得該產品的

23、性能 指標值y與這種新材料的含量 x(單位：克)的關系為：當0Wx<6時，y是x的二次函數；當1x>6時，y=3j .測得數據如表(部分)x(單位：克)0129y074319(1)求y關于x的函數關系式y=f(x)；(2)求函數f(x)的最大值.解：當0Wx<6時，由題意，設 f(x) = ax2 + bx+ c(a 豐 0),f f (0) = c= 0, 7由表格數據可得<f(1) =a+b+c= 4,If (2) =4a+2b+c = 3,1 1a= 一 4，解得b=2,I nc= 0,所以，當0Wx<6時，1 2f(x)= - 4x + 2x,tiI s

24、t -a 也/口口弋t i當x>6時，f(x)= & J.由表格數據可得f(9)= 打 =9,解得t= 7.所以當x>6時，f(x)= g I ,1x2+2x, 0<x<6,4綜上，f(x)= 17iy ， x>6.(2)當 0Wx<6 時，r,、12c 1 ,、2f(x)= 4x + 2x= 4(x- 4)+4,所以當x=4時，函數f(x)的最大值為4;t i J7當x>6時，f(x)=J單倜遞減,丁7所以f(x)的最大值為f(6)=i =3.因為4>3,所以函數f（x）的最大值為4.B 能力提升10.衣柜里的樟腦丸隨著時間揮發而體積縮

25、小，剛放進的新丸的體積為a,經過t天后體積V與天數t的關系式為V= a e"已知新丸經過50天后，體積變為?a.若一個新丸體積變9為27a,則需經過的天數為（）A. 125C. 75解析：選C.由已知得4a=a e-50k, 92即 丁9= 3 .所以梟=;!a=（e 50k）2a = e 75ka,所以t= 75.11.某公司對營銷人員有如下規定：年銷售額B. 100D. 50x（萬元）在8萬元以下，沒有獎金；年銷售額x（萬元），xC 8 , 64時，獎金為y萬元,且y=logax, yC 3, 6,且年銷售額越大,獎金越多；年銷售額 x（萬元）超過64萬元，按年銷售額的10%發獎金.求獎金y關于x的函數解析式；（2）某營銷人員爭取年獎金 yC 4, 10（萬元），求年銷售額x在什么范圍內.解：依題意知y= logax在xC 8, 64上