1、200)(! 2)(xxxf 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR nnxxnxf)(!)(00)( 其中其中定理定理1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在x0點的某鄰域點的某鄰域U (x0)內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)則當(dāng)x取取U (x0)內(nèi)任何值內(nèi)任何值時時, f (x)可按可按(x x0)的方冪展開為的方冪展開為f (x)=f(x0)+f (x0)(x x0)+( 在在x0與與x之間之間)+Rn(x) 公式公式(1)稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)在在x0處的處的泰勒公式泰勒公式.(1) Rn(x)稱為稱為拉格朗日拉格朗日(Lagr

2、ange)余項余項.泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)!)(0)(kxfakk k=0, 1, 2, , n是唯一的是唯一的.一、泰勒公式一、泰勒公式定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)f (x)在在x0的某鄰域內(nèi)是存在的某鄰域內(nèi)是存在任意階導(dǎo)任意階導(dǎo)數(shù)數(shù), 則冪級數(shù)則冪級數(shù)稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (x)在在x0處的處的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).200)(! 2)(xxxf = f(x0) + f (x0)(x x0) nnxxnxf)(!)(00)(二、泰勒級數(shù)二、泰勒級數(shù) 000)()(!)(nnnxxnxf稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù). nnxnfxfxff!) 0(! 2) 0() 0() 0()

3、(2 0)(!)0(nnnxnf )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn sin x = 012)!12()1(nnnnx x (, + ). 0nnx( 1x1)=1+x+x2+xn+ x 11定理定理2 f(x)在在x0點的點的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)在在UR (x0)內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于f (x) 在在UR (x0) 內(nèi)內(nèi), Rn(x)0. nxxnxxe!1! 2112 x (, + ). 0!nnnx 0!) 1() 1(nnxnn 1, 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: ( 1, 1). 1 0, 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: 1, 1. 1x1 nxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(

4、1)1 (27.7 初等函數(shù)的冪初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式級數(shù)展開式一、直接法一、直接法(泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法)二、間接法二、間接法三、常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式三、常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式步驟步驟:0)(lim xRnn!)(0)(nxfn (1) 求求 f (n)(x), n=0,1,2, (2) 計算計算 an , n=0,1,2, (4) 討論討論?并求出其收斂區(qū)間并求出其收斂區(qū)間.(3) 寫出冪級數(shù)寫出冪級數(shù)利用利用泰勒公式泰勒公式或或麥克勞林公式麥克勞林公式將將f(x)展開為冪級數(shù)展開為冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(010)( 若若為為0, 則冪級數(shù)在此則冪級數(shù)在此收斂收斂區(qū)間內(nèi)等區(qū)間內(nèi)等

5、于于函數(shù)函數(shù) f(x); 若若不為不為0, 則冪級數(shù)雖然則冪級數(shù)雖然收斂收斂, 但它的但它的和不是和不是 f(x).一、直接法一、直接法(泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法)解解 0!nnnx1)!1( nxxne 例例1 將將 f(x)=e x 在展開成在展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).因因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù)為為: nxnxx!1! 2112其中其中1)1()!1()()( nnnxnxfxR 0 1|)!1(|lim| )(|lim1 nxnnnxnexR )!1(|lim

6、1 nxennx =0, 所以所以 e x =1+x+ 0!nnnxx+ . nxnx!1! 2120)(lim xRnn收斂收斂區(qū)間為區(qū)間為: (, + )nnkknnnnnbnabbakknnnbannbnaaba 1221!) 1() 1(! 2) 1()(二項展開式二項展開式+ +nxn 1+x n(1+x)n=1+nx+kxnknnnxnn!) 1() 1(! 2) 1(2 (1+x) = 1+ x+ nxnnx!) 1() 1(! 2) 1(2 ?解解|lim1 nnnaaR例例3 將將 f(x)=(1+x ) 展開成展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).n=0,1,2, , f (n)(0

7、)= ( 1)(2) ( n+1)=1, 0)(!)0(nnnxnf得得(1+x) (n) = ( 1)(2) ( n+1)(1+x)( n) , 0!) 1() 1(nnxnn |1|limnnn 注意注意: 當(dāng)當(dāng)x= 1時時, 級數(shù)的收斂性與級數(shù)的收斂性與 的取值有關(guān)的取值有關(guān). 1, 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: ( 1, 1). 1 0, 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: 1, 1.所以所以(1+x) 的泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間是的泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間是( 1, 1),x ( 1, 1)(1+x) =1+ x+ nxnnx!) 1() 1(! 2) 1(2 0!) 1() 1(nnxnn 牛頓二項式展開式牛頓

8、二項式展開式二、二、間接展開法間接展開法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式、利用常見展開式、等比級數(shù)的和等比級數(shù)的和及冪級數(shù)的性質(zhì)等及冪級數(shù)的性質(zhì)等, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等恒等變形變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積分逐項積分等方法等方法, 求展開式求展開式.x 11當(dāng)當(dāng) = 1時時,x ( 1, 1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn + )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn解解例例6 將將 f(x)=cosx 展開成展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).因因 (sin x

9、) =cosx ,又又 02)!2()1(nnnnx x (, + ). x (, + ).對上式對上式逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)得得)1(xedxdx 解解,!1! 2112 nxxnxxe)1!1! 211()1(2xxnxxdxdxedxdnx )!1(1!1! 31! 211 12 nnxnxnxxdxd 12)!1(!1! 32! 21nnxnnxnnx 11)!1(nnxnn例例10 將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).因為因為x (, + ).所以所以x (, + ).211x 解解211x 例例5 將下列函數(shù)展開成將下列函數(shù)展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).(1)x 11x ( 1

10、,1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +因為因為(2) arctan x(1) 以以x2 代替上式中的代替上式中的 x ,=1 x 2 +x4 x6+( 1)nx2n + 02)(nnxx ( 1, 1).,11)(arctan2xx (2) 因因 1253121) 1(5131nnxnxxx 21tdt0 xarctan x對上式對上式逐項積分逐項積分 0n dt0 x( 1)nt 2n 1253121)1(5131nnxnxxx 1253121)1(5131nnxnxxxx 1, 1.arctan xarctan x當(dāng)當(dāng)x= 1時時, 為為121)1(01 nnn交錯級數(shù)交錯級

11、數(shù), 收斂收斂,當(dāng)當(dāng)x= 1時時, 為為121)1(0 nnn交錯級數(shù)交錯級數(shù), 收斂收斂,所以所以,120121)1( nnnxn 121)1(51311nnarctan 1 =4 解解例例1* 將函數(shù)將函數(shù)ln(1+x)展開成展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).x 11x ( 1,1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +因為因為,11 )1ln(xx 又又 13211) 1(3121nnxnxxx tdt10 xln(1+x)對上式對上式逐項積分逐項積分 11) 1(nnnnx 0n dt0 x( 1)nt n 13211)1(3121nnxnxxxx ( 1, 1.ln(1+x) 11

12、) 1(nnnnx nn1)1(312111當(dāng)當(dāng)x= 1時時, 為為,110 nn發(fā)散發(fā)散, 當(dāng)當(dāng)x= 1時時, 為為11)1(0 nnn交錯級數(shù)交錯級數(shù), 收斂收斂,所以所以,ln(1+x) 13211)1(3121nnxnxxxln 2 =3xe 例例7 將函數(shù)將函數(shù)f (x)= 展開展開x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解 因為因為 nxxnxxe!1! 2112 x (, + ).3xe x (, + ).以以 代替上式中的代替上式中的 x ,3x nxnxx)3(!1)3(! 21312 nnnxnxx!31) 1(! 231311222xxee 解解,!1! 2112 nxxnxxe 2xx

13、ee 02)!2(nnnx例例2* 將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).因為因為x (, + ).所以所以x (, + ).)!)1(! 3! 21(32 nxxxxnn)!1! 31! 211(2132 nxnxxx )!2(! 4! 21232nxxxn四則運算四則運算22cos1sin2xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnnxx2cos2121sin2 )!2(2)2() 1()2(! 421)2(! 2212142nxxxnn 12121)!2(2) 1(nnnnxn)!2()2() 1()2(! 41)2(! 2112121242 nxxxnn因

14、為因為 x (, + ).所以所以 x (, + ).解解例例8 將函數(shù)將函數(shù)sin 2 x 展開成展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).又又 nnnxnxx2121432)!2(2) 1(! 42x 51解解)51(5151xx )5()5(51 512 nxxx1|5| x 132255551nnxxx 015nnnx,1112 nxxxx例例11 將函數(shù)將函數(shù) 分別在分別在x=0和和x=2處展開成冪級數(shù)處展開成冪級數(shù).因為因為x ( 1, 1).所以所以 (1)由由得收斂區(qū)間為得收斂區(qū)間為: x ( 5, 5).) 2(3151 xx3)2(3)2(321 3122 nnxxx 13223)2(3

15、)2(3231nnxxx 0)32(31nnx 013)2(nnnx13|2| x(2)由由得收斂區(qū)間為得收斂區(qū)間為: x ( 1, 5).321131 x 011nnxxx ( 1, 1).2)(2 xxxxf解解)2)(1(22 xxxxxx)2211(31 xxx 11(31 0)(31nnxnnnnx21)1(310 011nnxx 0)2(211nnxx例例9 將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成x冪級數(shù)冪級數(shù). 0)(11nnxxx ( 1, 1).x ( 2, 2).)2(0 nnx收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: x ( 1, 1).)211x 解解例例12 將函數(shù)將函數(shù)ln x 展開成展開成 (

16、x 1) 的冪級數(shù)的冪級數(shù).x ( 1,1.因為因為而而 nxxxxxnn 132)1(3121)1ln(ln x = ln (1+ x 1 ) nxxxxnn) 1() 1() 1(31) 1(21) 1(132得收斂區(qū)間為得收斂區(qū)間為: x (0, 2.由由 1 x 1 1 , xxxf 11ln)(解解 11212nnnx例例3* 將函數(shù)將函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).)1ln()1ln()(xxxf ( ) x ( 1,1 nxxxxnn 132)1(3121 nxxxxn323121 122322123nxxxnx ( 1, 1).x 1,1)xxxf 11ln)(解解2x

17、xxf 1111)( 02)(2nnx dttf)(121122 nnxn212x 例例3* 將函數(shù)將函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).)1ln()1ln()(xxxf 122nnx0 x f (x)=對上式對上式逐項積分逐項積分得得因因 f (0)=0, x ( 1, 1).;110 nnxx;)1(11022 nnnxx;!0 nnxnxe;)1()1ln(11 nnnnxx;)!12()1(sin012 nnnnxx;)!2()1(cos02 nnnnxx;)(110 nnxx x ( 1, 1). x ( 1, 1.x (, + ).1 幾何級數(shù)幾何級數(shù)2 3 4 5 三、常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)三、常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)x (, + ).x (, + ). 12)1(5131arctan1253nxxxxxnn 11212)1(nnnnx nxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2 x ( 1, 1). x 1, 1.四、小結(jié)四、小結(jié)1. 如何求函數(shù)的泰勒級數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2. 泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條