1、1復變函數復變函數第第10講講24 洛朗級數3一個以z0為中心的圓域內解析的函數f(z), 可以在該圓域內展開成z-z0的冪級數. 如果f(z)在z0處不解析, 則在z0的鄰域內就不能用z-z0的冪級數來表示. 但是這種情況在實際問題中卻經常遇到. 因此, 在本節中將討論在以z0為中心的圓環域內的解析函數的級數表示法.4討論下列形式的級數:) 1 . 4 . 4(,)()()()()(001010100-nnnnnnnzzczzcczzczzczzc)3 . 4 . 4)(.)()()()2 . 4 . 4)()()()(010110001000負冪項部分正冪項部分-nnnnnnnnnnzzc

2、zzczzczzczzcczzc可將其分為兩部分考慮5只有在正冪項和負冪項都收斂才認為(4.4.1)式收斂于它們的和.正冪項是一冪級數, 設它的收斂半徑為R2, 對負冪項, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到這是z的冪級數, 設收斂半徑為R, 令R1=1/R, 則當|z-z0|R1時, zR, (4.4.4)收斂即(4.4.3)收斂,因此, 只有在R1|z-z0|R2的圓環域, 級數(4.4.1)才收斂. )4 . 4 . 4( ,)(221110-zzzccczzcnnnnnn6z0R1R27例如級數.|.|.|,|, 1)(01101處處發散時原級數當收斂圓環域時原級數在所以當時收斂則當

3、而正冪項級數時收斂即當中的負冪項級數為復常數與babzababzbzazzazazababzzannnnnnnnnnnnnn8冪級數在收斂圓內的許多性質, 級數(4.4.1)在收斂圓環域內也具有. 例如, 可以證明, 級數(4.4.1)在收斂域內其和函數是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導.現在反問, 在圓環域內解析的函數是否一定能夠展開成級數?先看下例.9.1|0)(,.11111)1 (1)(,1|0.1| 1|01|0,10)1 (1)(2數的內是可以展開為級在由此可見的情形先研究內都是解析的及在圓環域但都不解析及在函數-zzfzzzzzzzzzfzzzzzzzzfn10其次,在圓環域

4、:0|z-1|1內也可以展開為級數:-1212)1 ()1 ()1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1 11)1 (1111)1 (1)(nnzzzzzzzzzzzzzf111Oxy12定理 設f(z)在圓環域R1|z-z0|R2內解析, 則), 2, 1, 0(.d)()(21)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz其中C為在圓環域內繞z0的任何一條正向簡單閉曲線.13證 設z為圓環域內的任一點, 在圓環域內作以z0為中心的正向圓周K1與K2, K2的半徑R大于K1的半徑r, 且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz014由柯西積分公式得-00100022)()

5、()(21)(21,. 1,)(21)(21)(2212nnKnKKKzzdzfidzfizzzKzKdzfidzfizfzzzzzzzzzzzzzz可以推得和泰勒展開式一樣內在上在對第一個積分15,)()(1)()(1111. 1,.d)(211010101000000122-nnnnnnKzzzzzzzzzzzzzzzKzKzfizzzzzzzzz因此的外部在點上在由于第二個積分1610,|.d)()()(21)(),()(d)()(21d)(2100001011010111- -qzzrzzzqzzfzizRzRzzzfizfiKNnnnNNNnnKnK則令其中zzzzzzzzzz17因

6、此有, 0)(lim, 0lim.| )(|.1221d| )(|21| )(|111100001- zRqKzfMqqMrqrMszzzzfzRNNNNNNnnKnnN所以因為上的最大值在是zzz18)7 . 4 . 4(), 2 , 1( ,d)()(21)6 . 4 . 4(), 2 , 1 , 0( ,d)()(21)5 . 4 . 4(,)()()()(12101001000-nzficnzficzzczzczzczfKnnKnnnnnnnnnnnzzzzzz因此19級數(4.4.5)的系數由不同的式子(4.4.6)與(4.4.7) 表出. 如果在圓環域內取繞z0的任何一條正向簡單閉

7、曲線C, 則根據閉路變形原理, 這兩個式子可用一個式子來表示:)8 . 4 . 4(), 2, 1, 0( ,d)()(2110-nzficCnnzzz20Cz0R1R221(4.4.5)稱為函數f(z)在以z0為中心的圓環域:R1|z-z0|R2內的洛朗(Laurent)展開式, 它右端的級數稱為f(z)在此圓環域內的洛朗級數. 級數中正整次冪和負整次冪分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分.)8 . 4 . 4( ), 2, 1, 0( ,d)()(21)5 . 4 . 4(,)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz22一個在某圓環域內解析的函數展開為含有正,負冪項的級數是唯一

8、的, 這個級數就是f(z)的洛朗級數.事實上, 假定f(z)在圓環域R1|z-z0|R2內用某種方法展成了由正負冪項組成的級數:-nnnnnnzafCCzzazf)()(,)()(00zzz則上一點為條正向簡單閉曲線為圓環域內任何并設23以(z-z0)-p-1去乘上式兩邊, 這里p為任一整數, 并沿C沿分, 得), 2, 1, 0( ,d)()(212d)(d)()(101010-pzfiaiazazfCpppnCpnnCpzzzzzzzz從而這就是(4.4.8)-nnnzaf)()(0zz24用(4.4.8)計算cn要求環積分, 過于麻煩, 因此一般不用. 一般是根據由正負整次冪項組成的級數

9、的唯一性, 可以用別的方法, 特別是代數運算, 代換, 求導和積分等方法去展開, 以求得洛朗級數的展開式.例如:)|0(,! 41! 312111)! 4! 321 (1e2243222zzzzzzzzzzzz25例1 函數 在圓環域i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+;內是處處解析的, 試把f(z)在這些區域內展開成洛朗級數.)2)(1(1)(-zzzfxyO1xyO12xyO226解 先把f(z)用部分分式表示:.87432122121)1 (2112111)(1|0i).2111)(2222-zzzzzzzzzfzzzzf內在27ii) 在1|z|2內.842111122

10、121)111 (12112111112111)(21222-zzzzzzzzzzzzzzzzfnn28iii) 在2|z|+內.731)421 (1)111 (1211111112111)(43222-zzzzzzzzzzzzzzzzf29例2 把函數.|0e)(13內展開成洛朗級數在zzzfz.! 41! 31! 2)! 41! 31! 2111 (e! 3! 21e2343231332zzzzzzzzzznzzzzznz解 因有3031還應注意, 給定了函數f(z)與復平面內一點z0以后, 由于這個函數可以在以z0為中心的(由奇點隔開的)不同圓環域內解析, 因而在各個不同的圓環域中有不同

11、的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例). 我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆. 我們知道, 所謂洛朗展開式的唯一性, 是指函數在某一個給定的圓環域內的洛朗展開式是唯一的. 另外, 在展開式的收斂圓環域的內圓周上有f(z)的奇點, 外圓周上也有f(z)的奇點, 或者外圓周的半徑為無窮大.32例如函數12( )()if zz zi-在復平面內有兩個奇點: z=0與z-i, 分別在以i為中心的圓周: |z-i|=1與|z-i|=2上.O-ii33因此, f(z)在以i為中心的圓環域(包括圓域)內的展開式有三個:1)在|z-i|1中的泰勒展開式;2)在1|z-i|2中的洛朗展開式;3)在2|z-i|+中的洛朗展開式;O-ii34在公式(4.4.8)中, 令n-1, 得11( )d2Ccf zzi-或1( )d2Cf zzic-其中C為圓環域R1|z-z0|R2內的任何一條簡單閉曲線, f(z)