1、整理ppt整理ppt整理ppt解析幾何中解析幾何中選擇適當角度選擇適當角度,逆時針旋轉逆時針旋轉坐標軸坐標軸 (標準方程標準方程)中心與坐標原點重合的有心二次曲線中心與坐標原點重合的有心二次曲線 222faxbxycy cossinscosxxyyxiny22fa xc y 整理ppt代數觀點下代數觀點下作適當的作適當的可逆線性可逆線性變換變換 只含平方項的多項式只含平方項的多項式二次齊次多項式二次齊次多項式11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy (標準形標準形)12(,)nf x xx整理ppt稱為稱為n元二次型元二

2、次型(或簡稱二次型或簡稱二次型)212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x 2222222nna xax x 2333332nna xa x x 2nnnax 1、定義、定義1 含有含有 n個變量個變量 的二次齊次函數的二次齊次函數12,nx xx整理ppt注意注意2) 式式 也可寫成也可寫成21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 1) 為了計算和討論的方便為了計算和討論的方便,式中式中 的系數的系數()ijxij 寫成寫成 2.ija整理ppt1） 約定中約定中aij= =aji，ij ，由，由 xixjxjxi，有有2

3、12111121211(,)nnnf x xxa xa x xa x x2212122222nna x xa xa x x 21122nnnnnnna x xax xax 11nnijijija x x 整理ppt111212122212.令nnnnnnaaaaaaAaaa 則矩陣則矩陣A稱為稱為二次型二次型 的矩陣的矩陣.12(,)nf x xx整理ppt12,2 2令令由由) )nxxxx 1112112122221212.(,.,).nTnnnnnnnaaaxaaaxx Axx xxxaaa 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 整理ppt于是有

4、于是有12(,.,).Tnf xxxx Ax 1122111nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x 11()nniijjijxa x 11nnijijija xx 整理ppt注意注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因為如此，討論二次型時正因為如此，討論二次型時矩陣是一個有力的工具矩陣是一個有力的工具. .AB 若若 且且 ，則，則TTx Axx Bx ,TTAABB 1）二次型的矩陣總是對稱矩陣二次型的矩陣總是對稱矩陣,即即.TAA （這表明在選定變量下，二次型（這表明在選定變量下，二次型 完全由對稱矩陣完全由對稱矩陣A決定決定.)12(,

5、.,)Tnf x xxx Ax 12,.,nx xx整理ppt例例11）2元元實實二次型二次型 3）4元復二次型元復二次型它們的矩陣分別是：它們的矩陣分別是：2） 3元實二次型元實二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x ,a bb c32322 232 5,37322(3)22(3)2320050.000000iiii 整理ppt：是兩組變量是兩組變量,關系式關系式1212,;,nnx xxyyy11111221221122221122

6、nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 稱為由稱為由的一個的一個線性變換線性變換; ;1212,nnx xxyyy到到若系數行列式若系數行列式|c|cij|0,|0,則稱則稱為為可逆線性變換可逆線性變換. .整理ppt. .0 xy它是它是可逆可逆的的.系數行列式系數行列式 cossin1.sincos 例例2 解析幾何中的坐標軸按逆時針方向解析幾何中的坐標軸按逆時針方向旋轉角度旋轉角度 cossinsincosxxyyxy 即變換即變換x y 整理ppt則則可表示為可表示為x=Cy若若|C| 00，則則為可逆線性變換為可逆線性變換. .注注1）或為可逆線性變換

7、）或為可逆線性變換 可逆可逆.=()ijn nCc 1112111222122212.,.nnnnnnnncccxyxycccxyCxyccc 令2）若）若xCy為可逆線性變換為可逆線性變換，則有可逆線性變換則有可逆線性變換1yCx 整理ppt即，即，B為對稱矩陣為對稱矩陣. |0C xCy 事實上，事實上， 12(,.,)Tnf x xxx Ax ()TTTTTTBC ACC A CC ACB 又()TTyCAC y ()()TCyA Cy12(,.,)Tny Byg yyy 12(,.,)Tny Byg yyy是一個是一個 二次型二次型. 12,nyyy整理ppt1）矩陣的）矩陣的合同具有

8、合同具有對稱性：對稱性：傳遞性傳遞性: :即即C1C2可逆可逆.反身性反身性:注注:：設設 是兩個是兩個n階矩陣，若存在階矩陣，若存在n階階可逆可逆,A B矩陣矩陣 ，使，使 ，則稱，則稱A與與B合同合同.CTBC AC TAE AE ,| 0TBC AC C11()()TACB C 112212,| 0,| 0TTBCAC DCBCCC 2112()TTDCCAC C 1212()()TC CA C C 1212| | 0,C CCC 整理ppt3）與對稱矩陣合同的矩陣是對稱矩陣與對稱矩陣合同的矩陣是對稱矩陣. . 2）合同矩陣具有相同的秩合同矩陣具有相同的秩. .A與與B合同合同. .進而

9、，有進而，有: C可逆可逆()()BA 秩秩秩秩,TBC AC ,TTAA BC ACC 可可逆逆()TTTTTTBC ACC A CC ACB,TTAABB 若若二次型二次型 可經可經可逆可逆的的線性變換線性變換化為二次型化為二次型Tx AxTy By整理ppt2221122nnd xd xd x 二次型中非常簡單的一種是只含平方項的二次型二次型中非常簡單的一種是只含平方項的二次型它的矩陣是對角陣它的矩陣是對角陣 12120000(,)00nndddiag d ddd ?任意二次型能否經過適當的可逆線性變換化成任意二次型能否經過適當的可逆線性變換化成平方和的形式？若能，如何作可逆線性變換？平

10、方和的形式？若能，如何作可逆線性變換？ 整理ppt1 1、用配方法化二次型為標準形、用配方法化二次型為標準形定理定理1 任一二次型都可以經過可逆線性變換任一二次型都可以經過可逆線性變換化成標準形化成標準形. . 定理定理2 任一對稱矩陣合同于一個對角矩陣任一對稱矩陣合同于一個對角矩陣. .即即 ，存在可逆矩陣，存在可逆矩陣 ，使，使TAAA，C 為對角矩陣為對角矩陣 TCAC整理ppt2 2、二次型的標準形的定義、二次型的標準形的定義所變成的平方和形式所變成的平方和形式注：注：1）由定理）由定理1任一二次型的標準形是存在的任一二次型的標準形是存在的. 2）可應用配方法得到二次型的標準形）可應用

11、配方法得到二次型的標準形.2221122nnd yd yd y 二次型二次型 經過可逆線性變換經過可逆線性變換 12(,)nf x xx的一個的一個標準形標準形. 稱為稱為 12(,)nf x xx整理ppt則則 解：作非退化線性替換解：作非退化線性替換 222132332()2(2)6yyyyy 221213232248yyy yy y 1232()yyy 1231212123(,)2()()6()f x xxyyyyyyy 1122331 1011 00 0 1xyxyxy即即, ,11221233xyyxyyxy 例例1、求、求123122313(,)262f x xxx xx xx x

12、 的標準形的標準形.整理ppt則得標準形則得標準形 222123123(,)226f x xxzzz 1122331 0 10 1 20 0 1yzyzyz 即即, ,或或 113223332yzzyzzyz 再令再令 113223332zyyzyyzy 所作的可逆線性變換是所作的可逆線性變換是 1112223331 1 01 0 11 1311 00 1 21110 0 10 0 10 01xzzxzzxzz 整理ppt3 3、用正交變換化二次型為標準形、用正交變換化二次型為標準形1）正交變換：正交變換：如果線性變換如果線性變換x=Py的矩陣的矩陣P是正交矩陣，則稱之為是正交矩陣，則稱之為正交變換正交變換.2）任一任一n元實二次型元實二次型 12(,), ()TTnf x xxx AxAA 都可以通過正交變換都可以通過正交變換 化為標準形化為標準形 xPy 2221122.nnyyy 其中平方項的系數其中平方項的系數 為為A的全部特征值的全部特征值12,n 整理ppt3) 用正交變換化實二次型為標準形的步驟用正交變換化實二次型為標準形的步驟(i) 寫出寫出 的矩陣的