1、應力狀態分析和強度理論一應力狀態概述一應力狀態概述1點的應力狀態：點的應力狀態：桿件中桿件中不同橫截面不同橫截面上的內力一般不相同，同一橫截面上上的內力一般不相同，同一橫截面上不同點不同點的應力一般不相同，的應力一般不相同，同一點同一點不同方位不同方位的截面上的應力一般不相同，這種應力情況即為點的應力狀態；的截面上的應力一般不相同，這種應力情況即為點的應力狀態；圖圖7-1圍繞一點且各邊是無窮小的圍繞一點且各邊是無窮小的正六面體正六面體稱單元體；初次截取的單元體一般包括橫截稱單元體；初次截取的單元體一般包括橫截面和縱截面；單元體各個面上的應力是面和縱截面；單元體各個面上的應力是均布均布的，平行面

2、上的的，平行面上的應力性質應力性質是相同的，是相同的，即即應力大小應力大小是相等的，正應力的指向都是拉或都是壓，剪應力的方向為使單元體是相等的，正應力的指向都是拉或都是壓，剪應力的方向為使單元體有相同的轉向；見圖有相同的轉向；見圖7-1；2用單元體表示點的應力狀態：用單元體表示點的應力狀態：一應力狀態概述一應力狀態概述3基本變形中點的應力狀態初步分析：基本變形中點的應力狀態初步分析：AN圖圖7-2ABPPPPABAB(1) 軸向拉伸和壓縮：見圖軸向拉伸和壓縮：見圖7-2；應力計算公式是：應力計算公式是：一應力狀態概述一應力狀態概述3基本變形中點的應力狀態初步分析：基本變形中點的應力狀態初步分析

3、：應力計算公式是：應力計算公式是：tWTAABMMBAB圖圖7-3(2) 扭轉：見圖扭轉：見圖7-3；一應力狀態概述一應力狀態概述3基本變形中點的應力狀態初步分析：基本變形中點的應力狀態初步分析：應力計算公式是：應力計算公式是：AQkbIQSWMIMymaxZz*maxz PABCABCACB圖圖7-4ABCmaxmaxmaxmax(3) 彎曲：見圖彎曲：見圖7-4；一應力狀態概述一應力狀態概述4主平面和主應力：主平面和主應力：剪應力為零剪應力為零的平面為的平面為主平面主平面；主平面上的正應力稱；主平面上的正應力稱主應力主應力，按代數值大小，按代數值大小順序排列分別是順序排列分別是1 1 、2

4、 2和和3 3； 5應力狀態的分類：應力狀態的分類：單向應力狀態：只有一個主應力不為零；單向應力狀態：只有一個主應力不為零；二向應力狀態：只有二個主應力不為零；二向應力狀態：只有二個主應力不為零；三向應力狀態：三個主應力均不為零；三向應力狀態：三個主應力均不為零；二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法1應力分量及其符號的規定：應力分量及其符號的規定：應力分量是應力分量是x 、y和和 xy(xy和和yx大小相等大小相等)；正應力正應力規定與截面規定與截面外法線外法線方向一致為方向一致為正正，反之為負；，反之為負；剪應力剪應力規定對單元體內任一點的矩規定對單元體內任一點的矩順順時針為時

5、針為正正，反之為負；，反之為負；見圖見圖7-5；圖圖7-5nxxxxyyyyxyxyxyxyyxyxyxyx 二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法2斜截面上的應力：斜截面上的應力： 0sin)sin(cos)sin( cos)cos(sin)cos( 0dAdAdAdAdAFyyxxxynndA dAsin dAcos圖圖7-6xyxyyx見圖見圖7-6；列出平衡方程：列出平衡方程：0cos)sin(sin)sin( sin)cos(cos)cos( 0dAdAdAdAdAFyyxxxy二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法2斜截面上的應力：斜截面上的應力： 2222

6、222cossinsincosxyyxxyyxyx由剪應力互等定理：由剪應力互等定理： xy=yx整理得：nxyxyyx（1）二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法 00yxxytg22044 22200203主平面的位置：主平面的位置：取正切函數的主值：取正切函數的主值：另一個值是：另一個值是：令令nxyxyyx（2）02cos2sin2000 xyyx二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法 4主應力的值：主應力的值：將主平面位置的值代入正應力計算公式得：將主平面位置的值代入正應力計算公式得：2200222xyyxyxnxyxyyx（3）二二向應力狀態分析二二向應力狀

7、態分析-解析法解析法 5正應力的極值：正應力的極值：0dd02222cossinddxyyxyxxytg222222xyyxyxminmax令令，得，得由此可見，主應力的極值等于主應力，即由此可見，主應力的極值等于主應力，即（2）（3）nxyxyyx二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法 (1) 當當x y 時，主平面主值時，主平面主值 0上的應力是上的應力是max ，而，而(0+/2)上的應力上的應力min ；6正應力的極值與主平面之間的對應關系：正應力的極值與主平面之間的對應關系：(2) 當當x 0，tg= - ，則，則 0 = - /4 ，對應，對應max ；若若 xy 0，

8、tg=，則，則 0 =/4 ，對應，對應max ；二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法 ；01ddxyyxtg22112201tgtg4 2220101(1) 位置：令位置：令，得，得由于由于則得：則得：即即剪應力極值平面剪應力極值平面與主平面的夾角為與主平面的夾角為450；兩個剪應力極值平面之間的夾角是；兩個剪應力極值平面之間的夾角是900；7剪應力的極值位置和大小剪應力的極值位置和大小02sin22cos111xyyxdd二二向應力狀態分析二二向應力狀態分析-解析法解析法 7剪應力的極值位置和大小剪應力的極值位置和大小22minmax2xyyx2minmaxmax(2) 大小

9、：大小：這是剪應力互等定理的表達式；這是剪應力互等定理的表達式；顯然有：顯然有：將將1的值代入剪應力計算公式得：的值代入剪應力計算公式得：(3) 剪應力極值位置與極值大小的對應關系：剪應力極值位置與極值大小的對應關系：從從主應力極值主應力極值max的主平面的主平面逆時針轉逆時針轉450，得到的剪應力極值平面上是，得到的剪應力極值平面上是maxnxyxyyx（4）（5）三二向應力狀態分析三二向應力狀態分析-圖解法圖解法 ；2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx0 ,2yx222xyyx1應力圓方程：應力圓方程：二式二邊平方后相加得：二式二邊平方后相加得

10、：這是關于這是關于 和和 ，半徑是，半徑是的圓方程，圓心坐標是的圓方程，圓心坐標是由斜截面應力計算公式得：由斜截面應力計算公式得：三二向應力狀態分析三二向應力狀態分析-圖解法圖解法2應力圓：應力圓：圖圖7-7nxxyyyxyxxyxyG2(min)G1(max)D(x, xy)E(, )A(max,0)D(y, yx)B(min,0)202以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力狀態的應力圓；以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力狀態的應力圓；三二向應力狀態分析三二向應力狀態分析-圖解法圖解法3應力圓與單元體之間的對應關系應力圓與單元體之間的對應關系(2) 應力圓上的點按

11、某一方向轉動應力圓上的點按某一方向轉動2 角度，單元體上的面按相同方向轉動角度，單元體上的面按相同方向轉動角度；角度；(3) 應力圓與應力圓與軸的交點代表軸的交點代表主應力主應力；(4) 應力圓上代表主應力的點轉動應力圓上代表主應力的點轉動900得到剪應力極值點；單元體上主平面轉動得到剪應力極值點；單元體上主平面轉動450得到剪應力極值平面；得到剪應力極值平面；(1) 應力圓上的每一點對應單元體上互成應力圓上的每一點對應單元體上互成1800的二個面上的應力狀態；的二個面上的應力狀態；圖圖7-7nxxyyyxyxxyxyG2(min)G1(max)D(x, xy)E(, )A(max,0)D(y

12、, yx)B(min,0)202三二向應力狀態分析三二向應力狀態分析-圖解法圖解法圖圖7-8圖圖7-94基本變形應力狀態的應力圓基本變形應力狀態的應力圓(1) 軸向拉伸和壓縮：見圖軸向拉伸和壓縮：見圖7-8；(2) 扭轉：見圖扭轉：見圖7-9；三二向應力狀態分析三二向應力狀態分析-圖解法圖解法4基本變形應力狀態的應力圓基本變形應力狀態的應力圓(3) 彎曲：見圖彎曲：見圖7-10；圖圖7-1012431342四三向應力狀態簡介四三向應力狀態簡介231max圖圖7-11max123見圖見圖7-11；陰影內的點代表三向應力狀態單元體中某一截面上的應力；陰影內的點代表三向應力狀態單元體中某一截面上的應

13、力；2三向應力狀態下的最大剪應力：三向應力狀態下的最大剪應力：1三向應力圓：三向應力圓：從圖從圖7-11中可知：中可知：132五廣義胡克定律五廣義胡克定律圖圖7-12112233各向同性材料在各向同性材料在小變形小變形的情況下，當應力的情況下，當應力不超過比例極限不超過比例極限，則線應變只與正應力有關，則線應變只與正應力有關，剪應變只與剪應力有關，且由正應力引起的某一方向上的線應變可以疊加；剪應變只與剪應力有關，且由正應力引起的某一方向上的線應變可以疊加；見圖見圖7-12；各面是主平面的單元體，沿三個主應力方向的應變稱主應變，用；各面是主平面的單元體，沿三個主應力方向的應變稱主應變，用1 、2

14、和和3表示；表示；由由1 引起三個主方向的線應變為：引起三個主方向的線應變為：1應變疊加原理：應變疊加原理：2主方向上的廣義胡克定律：主方向上的廣義胡克定律：E,E,E113112111 五廣義胡克定律五廣義胡克定律圖圖7-12112233由由2 引起三個主方向的線應變為：引起三個主方向的線應變為：2主方向上的廣義胡克定律：主方向上的廣義胡克定律：EEE223222221 , ,E,E,E333332331 32131211111E疊加后得：疊加后得：這是廣義胡克定律在三個主方向上的表達式；這是廣義胡克定律在三個主方向上的表達式； 由由3 引起三個主方向的線應變為：引起三個主方向的線應變為：1

15、3232221221E21333231331E五廣義胡克定律五廣義胡克定律yxzzxzyyzyxxEEE1113一般形式的廣義胡克定律：一般形式的廣義胡克定律：GGGzxzxyzyzxyxy五廣義胡克定律五廣義胡克定律dzdydxVdxdydzdzdydxV321321111111111113211VVV32132121E3321mKEm3213321213EK對于主應力單元體，變形前的體積為：對于主應力單元體，變形前的體積為：變形后的體積為：變形后的體積為：定義體積應變為：定義體積應變為：略去高階微量得：略去高階微量得：將廣義胡克定律的表達式代入得：將廣義胡克定律的表達式代入得：定義平均應力

16、為：定義平均應力為：則有：則有：其中其中稱體積彈性模量；稱體積彈性模量；4體積應變：體積應變：六強度理論簡介六強度理論簡介材料發生強度破壞是由于應力、應變、應變能等材料發生強度破壞是由于應力、應變、應變能等某一因素某一因素引起的，與應力狀態是簡單還引起的，與應力狀態是簡單還是復雜沒有關系；這些假設稱為是復雜沒有關系；這些假設稱為強度理論強度理論；運用強度理論，可以由簡單應力狀態下的實；運用強度理論，可以由簡單應力狀態下的實驗結果，建立復雜應力狀態的強度條件；驗結果，建立復雜應力狀態的強度條件；1材料因強度不足發生破壞的基本類型材料因強度不足發生破壞的基本類型屈服破壞；屈服破壞；斷裂破壞；斷裂破

17、壞；2強度理論的提出：強度理論的提出： nb 1(1) 最大拉應力理論最大拉應力理論(第一強度理論第一強度理論)：發生斷裂破壞的主要因素是：發生斷裂破壞的主要因素是最大拉應力最大拉應力； 通過簡單應力狀態的實驗得到斷裂破壞的極限應力通過簡單應力狀態的實驗得到斷裂破壞的極限應力b，由此得到許用應力：，由此得到許用應力：它也可用于發生這種破壞形式的復雜應力狀態，強度條件是：它也可用于發生這種破壞形式的復雜應力狀態，強度條件是：3四種常用的強度理論四種常用的強度理論六強度理論簡介六強度理論簡介3四種常用的強度理論四種常用的強度理論Eb0EEbo32111 321(2) 最大伸長線應變理論最大伸長線應

18、變理論(第二強度理論第二強度理論)：發生斷裂破壞的主要因素是：發生斷裂破壞的主要因素是最大伸長線應變最大伸長線應變；在簡單應力狀態下，最大伸長線應變的極限值是：在簡單應力狀態下，最大伸長線應變的極限值是：它是通過簡單應力狀態的實驗得到，將它應用于一般應力狀態，即它是通過簡單應力狀態的實驗得到，將它應用于一般應力狀態，即強度條件為：強度條件為：b321六強度理論簡介六強度理論簡介3四種常用的強度理論四種常用的強度理論強度條件為：強度條件為：20smax22max031maxs 31(3) 最大剪應力理論最大剪應力理論(第三強度理論第三強度理論)：發生屈服破壞的主要因素是：發生屈服破壞的主要因素是最大剪