1、Rt基本圖形及其在解題中的應(yīng)用 “直角三角形”是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是八年級(jí)數(shù)學(xué)中難點(diǎn)之一，我們要充分挖掘課本題材，提煉直角三角形中的基本圖形，是提高解題能力的重要途經(jīng)。本文介紹Rt的兩種基本圖形在解題中的廣泛應(yīng)用.一 基本圖形呈現(xiàn)1.已知：如圖，在RtABC中，ACB=90°，D是AB邊上的中點(diǎn)，你知道該圖形當(dāng)中有怎樣的結(jié)論嗎？（直角三角形含斜邊上的中線）線段3連：AD=BD=CD=12AB12個(gè)等腰三角形:等腰ACD，等腰BCD22組銳角相等：A=1，B=24組角互余：A+B=90°，1+2=90°A+2=90°，B+1=90°2.

2、如圖，是RtABC斜邊上的高你知道該圖形當(dāng)中有怎樣的結(jié)論？(直角三角形含斜邊上的高)3個(gè)Rt: RtABC, RtACD, RtBCD4組角互余：A+1=90°，B+2=90°A+B=90°，1+2=90°2組角相等：A=2，1=B1個(gè)等式：AC·BC=AB·CD說(shuō)明：這兩個(gè)基本圖形源于浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章特殊三角形，看似簡(jiǎn)單的兩個(gè)圖形，但是將其鑲嵌在其他圖形中，學(xué)生往往會(huì)忽略掉圖形的基本結(jié)論。值得注意的是，這兩個(gè)基本圖形的關(guān)鍵是直角，斜邊中點(diǎn)或垂足。二基本圖形的簡(jiǎn)單運(yùn)用例1 ACBC于點(diǎn)C，ADBD于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，若C

3、D=7， AB=12，則CDE的周長(zhǎng)為_(kāi)略解 由基本圖形1可知，DE=CE=12AB=6，所以CCDE=CD+CE+DE=19說(shuō)明 本題的關(guān)鍵是基本圖形1直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而可以提取出CE和DE分別是RtABC和RtABD的中點(diǎn)，得到DE=CE=12AB=6，從而化難為簡(jiǎn)，化陌生為熟悉，大大縮短了思考的時(shí)間。例2 如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，E是BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CFAE，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D, BD=CE嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由FCE分析 不難發(fā)現(xiàn)RtACE是基本圖形2，可以得出A=ECF，從而不難證明DBCECA，

4、所以能得出BD=CE.解：ACB=90°，CFAEA=ECF在DBC和ECA中，ACB=DBCAC=BCA=ECFDBCECA（ASA）BD=CE說(shuō)明 復(fù)雜的圖形都是有一個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形組成，可以將基本圖形提煉出來(lái)從而得出有用結(jié)論，熟悉基本圖形可以很好的幫助我們找到題目的突破口。A例3 如圖，AD是ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)B向AD的延長(zhǎng)線作垂線，垂足為E，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則EFAC，試說(shuō)明理由FBE分析 不難發(fā)現(xiàn)RtABE是基本圖形1，可以得出FAB=AEF，AD又是BAC的角平分線，所以BAE=CAE，從而可以得到AEF=CAE，故EFAC。解：AEBE，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)EF=A

5、F FAB=AEFAD是BAC的角平分線 BAE=CAEAEF=CAE EFAC說(shuō)明 抓住基本圖形斜邊上的中線，可以很容易得出角度之間的關(guān)系，從而輕易地解決本道題目。例4 如圖，把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，點(diǎn)B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的點(diǎn)P處，若FPH=90°，PF=6，PH=8，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為_(kāi) Q分析 長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬=AB×BC，本題關(guān)鍵是求出BC和AB的長(zhǎng)度，根據(jù)折疊關(guān)系和勾股定理可以很容易的求出BC=PF+PH+FH=6+8+10=24，但AB的長(zhǎng)度需要添加輔助線，由基本圖形2中的等量關(guān)系可以很快求出PQ=PF×PHFH

6、=4.8,從而可以求出S。解： 過(guò)點(diǎn)P作PQFH由折疊可得：PF=BF=6,PH=CH=8FPH=90°，F(xiàn)H= PF2+PH2= 62+82 =10 AB=PQ=PF×PHFH=4.8，BC=BF+CH+FH=6+8+10=24所以長(zhǎng)方形面積= AB×BC=115.2說(shuō)明 添加輔助線構(gòu)建基本圖形是常見(jiàn)的添輔助線的策略。 例5 如圖，F(xiàn)EAB 于點(diǎn)E， ACBF于點(diǎn)C ，AC , EF交于點(diǎn)D. (1) 若點(diǎn)P為BD 的中點(diǎn)，連結(jié)PE，PC ，則PE=PC，請(qǐng)說(shuō)明理由. (2) 連結(jié)AF ， EC ，點(diǎn)Q ，M 分別為 AF， EC的中點(diǎn)，連結(jié) MQ，若 MQ=1

7、2， EC=10 ，求 AF 的長(zhǎng).(3) 試探索 MQ ， EC 與 AF 三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.分析 （1）本題的關(guān)鍵是找到基本圖形EP和CP分別是RtBED和RtBCD斜邊BD的中線，所以PE=PD。 （2）本題的關(guān)鍵是證明EQC是等腰三角形，不難發(fā)現(xiàn)CQ和EQ分別是RtACF和RtAEF斜邊AF的中線，所以EQ=CQ=12AF，再利用勾股定理求出CQ。 （3）根據(jù)題2不難得到QM2+（12EC）2=(12AF)2解：（1）略(2) EP和CP分別是RtBED和RtBCD斜邊BD的中線，PE=PD根據(jù)等腰三角形三線合一可得：QMC=90°，CM=12CE=5CQ=QM2+CM2= 122+52 =13,所以AF=2CQ=26(3)由題2可知CQ=12AF,CEQ為等腰三角形，QM垂直平分EC,所以QM2+14EC2=14AF2說(shuō)明 本題考查了直角三角形斜邊的中點(diǎn)，等腰三角形底邊的中點(diǎn)和勾股定理的應(yīng)用，運(yùn)用基本圖形可以很巧妙的解決難度較大的題型。三.方法總結(jié)Rt的2個(gè)基本圖形源于課本但又高于課本，解決的要點(diǎn)是抓住題中的關(guān)鍵條件（Rt，斜邊中線或斜邊高線），能慧眼識(shí)別出基本圖形，巧用基本圖形相關(guān)的結(jié)論來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破。綜上所述，數(shù)學(xué)中有很多的基本圖形，熟悉合適掌握一系列基本圖形及其相關(guān)結(jié)論或解題策略，能夠很