1、2-1 彈性力學問題的解析法是把彈性體看成由無限多個、無限小的微元體組合而成，通過對其中任一個微元體的分析，建立對彈性體內(nèi)各點都適用的基本方程。然后用嚴格的數(shù)學方法求解這些方程并設法滿足邊界條件，從而 得到精確的解析解。 有限單元法則首先作了物理上的近似。它把連續(xù)彈性體近似看成由有限多個、有限大小、彼此只在有限個點相聯(lián)接的單元組合而成，即近似把實際物體分割成有限個有限大小的多邊形(對平面問題)、多面體(對空間問題)或桿件(結桿系結構)，這些多邊形、多面體或桿件就稱為有限單元(簡稱單元)。各單元之間只在結點處相聯(lián)接，而單元周邊的互相分離的。2-2 現(xiàn)在所述的有限單元法(實為有限單元位移法)取全部

2、結點的(廣義)位移作為基本未知量。這樣就把原來是無限多自由度的體系簡化成有限多自由度的體系。以上過程稱為連續(xù)體的有限單元離散化。 為了求得全部結點上的位移，并最終求得各單元內(nèi)的位移，應變和應力，有限單元法是從任一個典型單元開始分析。有限單元法又作了一次數(shù)學上的近似：構造適當?shù)奈灰坪瘮?shù)(稱為位移模式)，把單元內(nèi)任一點的位移用單元的結點位移來表示。有限單元法認為每個單元內(nèi)部符合彈性力學的基本假設，嚴格運用彈性力學的基本方程的幾何方程和物理方程，從而建立起單元內(nèi)任一點的應變、應力分別與單元結點位移的關系式，為最后當求出結點位移后，再順利求得單元內(nèi)的應變和應力作好了準備。單元的平衡條件是用虛功方程代替

3、的，由此得到重要的單元剛度矩陣和單元剛度方程，即單元結點力和結點位移的關系式，為進一步的整體平衡分析作好準備。這個過程稱為單元分析。2-3 最后考慮整個體系的平衡。由于所有的單元上都已沒有外載荷 (全部移置到結點上了)，全部結點的平衡就代表了整體的平衡。對所有的結點建立結點力與結點載荷 平衡的關系，然后利用單元剛度方程把所有的結點力都換成結點位移的表達式，就建立了結點位移與結點載荷的關系式總剛度方程。這是一個代數(shù)方程組，未知量就是結點位移，引入已知的位移邊界條件改造這個方程組后，就可借助計算機求解而得到所有結點的位移。有了結點位移，再利用單元分析中的位移函數(shù)和已準備好的幾何方程和物理方程的演變

4、式，可以按需要容易地求得任一單元內(nèi)任一點位移、應變或應力。這個過程稱為整體分析。2-4對于平面問題，最簡單而且也是最常用的單元是三角形單元和矩形單元。例如， 圖2-1所示為一個托架梁，可以當做彈性力學的平面問題處理。我們見將其劃分位三角形網(wǎng)格，各單元再結點處用光滑的 平面較連接，每各單元所受的載荷也移置到結點上，成為結點載荷。圖2-1a2-5 在位移為零的結點處，或者在位移很小可以忽略的結點處，設置相應的支座鉸鏈。在圖（a）中，固定邊AB各點的位移均為零。所以在AB邊上的各結點處應設置固定支座鉸鏈。這樣就得出托架得有限單元計算簡圖，如圖（b）所示。圖2-1b2-6 把連續(xù)體進行有限單元離散時，

5、首先要考慮到選用哪一種形狀的單元。這一選擇取決于結構的幾何形狀、計算精度的要求及描述該問題所必須的獨立空間坐標的數(shù)目。對于平面問題，通常采用直角三角形和矩形單元，特別是三角形單元比較適宜于模擬有曲線邊界的物體或結構。一般說來，單元各邊的比例不能相差太大。計算實踐表明，單元各邊的比例相差太大是影響計算精度的一個重要因素。故應避免取狹長的單元。對三角形單元而言。在劃分網(wǎng)格時應盡量使所有單元接近于等邊三角形。但通常為了適應結構的邊界形狀及單元由大到小的過渡，很難實現(xiàn)這一要求，不過應盡可能的滿足。 2-7 在劃分網(wǎng)格時，就整體來說，單元的大小（即網(wǎng)格的疏密）要根據(jù)精度要求和計算機的速度及容量來決定。一

6、般講來，單元越小，網(wǎng)格越密，計算結果越精確。但是，單元越多，要求計算機容量就越大。因此，單元劃分多少合適，一方面要考慮計算精度的要求；另一方面要根據(jù)計算機的條件，應在計算機的容量范圍內(nèi)來決定單元的大小和數(shù)量。原則是，在保證必要的計算精度條件下，單元應盡量取的少些。 在單元的排列上，應根據(jù)計算者的實踐經(jīng)驗對所計算的對象進行判斷，在應力剃度變化大的部位和重要的部位，單元應取小些，網(wǎng)格也劃分的密些。反之，在應力變化平緩的部位和不重要的部位，單元可取大些，網(wǎng)格也就稀些 2-8 在劃分單元還應考慮到，當計算對象的厚度或者其彈性性質(zhì)有突變之處，除了在這些部位單元應取小之外，還應把突變線作為單元的邊界線。如

7、果結構受有集度突變的分布載荷或集中載荷時，在這些部位的單元同樣應當取小些，并且在載荷突變處和集中力處應布置結點，以使應力的突變得到一定程度的反映。 總之，把連續(xù)體進行有限單元離散而成計算簡圖，是綜合運用工程判斷力的過程，在這個過程中，要決定單元的形狀、大小（網(wǎng)格的疏密）、數(shù)目、單元的排列以及約束的位置等，其總的目標應使得原來的物體會或結構盡可能精確地得到模擬。這個過程進行的正確與否，是關系到整個計算的精度高低，應當特別加以注意。2-9 從離散體系中任取一個單元，如圖所示。三個結點按反時針方向順序編號為i、j、m。結點坐標分別為(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。一、單元的結點位移和結點

8、力向量由彈性力學平面問題可知，一個連續(xù)體，每點應有兩個位移，因此每個結點應有兩個位移分量，則三角形共有六個自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如圖b所示。各結點位移向量可寫成那么，三角形單元的單元結點位移向量是iioivujjojvummomvu TmmjjiiTTomTojToiovuvuvu,2-10 結點位移對應的結點力向量是 單元結點力的向量是 在有限單元位移法中，取結點位移作為基本未知量。單元分析的基本任務是建立單元結點力下結點位移的關系，也就是要建立關系式 式中，K o是66階矩陣，稱為單元剛度矩陣。單元分析先要建立單元內(nèi)的應變、應力分別與結點位移的關系，這不光是推導上式

9、的需要，也為最后求出結點位移后再順利求得單元內(nèi)的應變和應力作好準備。oioioiYXFojojojYXFomomomYXF TomomojojiioiTTomTojToioYXYXYXFFFF, oooKF2-11二、單元位移模式 有限單元法雖然對計算對象的整體作了物理近似，但在每個單元內(nèi)部，則仍然認為符合彈性力學的基本假設，因此彈性力學的基本方程在每個單元內(nèi)部仍然適用。 若求出彈性體內(nèi)部的位移分量，就可以從幾何方程求出應變分量，從物理方程求出應力分量。有限單元法即使求得各結點位移，卻無法直接利用幾何方程和物理方程來求應變和應力。因此需要把單元的結點位移與單元內(nèi)任一點的位移聯(lián)系起來，即人為的假

10、定一個位移模式(位移函數(shù))，使單元內(nèi)任一點的位移可以近似地有單元結點的位移表示。2-12 選擇單元位移模式時，最簡單的是單元的位移分量u、v取為坐標x、y的多項式?？紤]到三角形單元共有六個自由度，且位移函數(shù)u、v在三個結點處的數(shù)值應該等于這三個結點處的六個位移分量ui、vi、uj、vj、um、vm。據(jù)此，可設單元位移分量是坐標x、y的線性函數(shù)，即 u(x,y)= a1+a2x+a3y v(x,y)=a4+a5x+a6y 在上式中，含有六個參數(shù)a1、a2、a3、a4、a5、a6。恰好可由三個結點的六個位移分量完全確定，即在i、j、m三點應有 ui=a1+a2xi+a3yi vi=a4+a5xi+

11、a6yi uj=a1+a2xj+a3yj vj=a4+a5xj+a6yj um=a1+a2xm+a3ym vm=a4+a5xm+a6ym2-13 求解上式，可以將參數(shù)a1、a2、a3、a4、a5、a6用結點位移表示出來，即a1=(aiui+ajuj+amum)/2A a4=(aivi+ajvi+amvm)/2Aa2=(biui+bjuj+bmum)/2A a5=(bivi+bjvj+bmvm)/2Aa3=(ciui+cjuj+cmum)/2A a6=(civi+cjvj+cmvm)/2A式中ai=(xjym-xmyj), bi=yj-ym, ci=xm-xjaj=(xmyi-xiym), bj

12、=ym-yi, cj=xi-xmam=(xiyj-xjyi), bm=yi-yj, cm=xj-xiijmijmjiimmjmmjjiiyxyxyxyxyxyxyxyxyxA2111121A為三角形單元的面積。2-14經(jīng)過運算得用單元結點位移表示的單元位移模式為 (2-1)式中的Ni、Nj、Nm由下式輪換得出 Ni(x,y)=(ai+bix+ciy)/2A (i、j、m)上式后面的記號(i、j、m)表示經(jīng)過字母相應輪換后，該式實際上是三個公式。也可簡寫成 fo=INi INj INmo=No (2-2)式中，I為二階單位矩陣，而Ni、Nj、Nm是坐標的連續(xù)函數(shù)，它反映單元內(nèi)部位移的分布狀態(tài)，稱

13、為位移的形狀函數(shù)，簡稱為形函數(shù)。矩陣N稱為形函數(shù)矩陣。并且形函數(shù)在結點處具有以下性質(zhì)：omjimjioyxNyxNyxNyxNyxNyxNyxvyxuf),(0),(0),(00),(0),(0),(),(),(2-15 Ni(xi,yi)=1, Nj(xi,yi)=0, Nm(xi,yi)=0 Ni(xj,yj)=0, Nj(xj,yj)=1, Nm(xj,yj)=0 Ni(xm,ym)=0, Nj(xm,ym)=0, Nm(xm,ym)=1根據(jù)形函數(shù)的這些性質(zhì)，再由(2-1)和(2-2)可以看出，單元位移模式可以直接通過單元結點位移o插值表示出來，所以，Ni,Nj,Nm也稱為位移插值函數(shù)。

14、前面已經(jīng)提到，有限單元法隨著單元的細分，網(wǎng)格的加密，在一定條件下，位移模式引起的誤差會收斂的，即所得的解答收斂于問題的精確解。這“一定條件”是指單元位移模式必須滿足的條件：(1)位移模式必須在單元內(nèi)連續(xù)，而相鄰單元間公共邊界上的位移必須協(xié)調(diào)。后者意味著單元的變形不能在單元之間引起裂開或重迭。2-16(2)位移模式必須包含單元的剛體的位移。這是因為每個單元的位移一般總是包含著兩個部分：一部分由本單元的變形引起的，另一部分是與本單元的變形無關的，即剛體位移，它由其他單元發(fā)生的變形連帶引起。(3)位移模式必須包含單元的常量應變。這從物理意義上就可以理解。因為當單元的尺寸取得很小時，單元中各點的應變也

15、將相差很小，而當單元的尺寸取得無限小時，單元內(nèi)各點的應變應趨近于常量。通常把滿足上述第一個條件的單元，稱為協(xié)調(diào)(或連續(xù))單元；滿足第二、第三個條件的單元稱為完備單元。理論和實踐都已證明：為了使有限單元法的解答在單元尺寸逐漸取小時能夠收斂于正確解答，條件(2)(3)是必要條件，而再加上條件(1)就是充分條件。2-17有限單元法的分析，以結構上的全部荷載都是結點荷載為前提；而結構上的真實荷載往往并不作用在結點上，如體力和面力等。因此需要把它們按靜力等效的原則向結點移置，成為等效結點荷載。這里的靜力等效，是指能量等價，即原來作用在單元上的荷載與移置到結點上的荷載，它們在單元的任何虛位移上所作的虛功應

16、相等。據(jù)圣維南原理，荷載作這樣的移置而引起的誤差是局部性的，不致影響到整個結構，并且隨單元的細分，這一影響逐步縮小?？疾煜聢D所示的單元，設作用在單元上的體力PV=X,YT,分布面力PA=X,YT和集中力Q = Qx,QyT，把它們向結點移置后得到的等效結點荷2-18圖2-22-19載列陣為 P o=Pxio ,Pyio,Pxjo,Pyjo,Pxmo,PymoT設單元發(fā)生了某種虛位移，單元結點虛位移為 o=ui,vi,uj,vj,um,vmT單元內(nèi)的虛位移則為 fo=No (a)按虛功相等的靜力等效原則，可得到下式 (b)式中為單元位移函數(shù)在集中力作用點b處的取值，將式（a）代入上式，同時考慮到

17、矩陣相乘的轉置規(guī)則，式（b）可改寫為 (c)由于是任意的，則上式兩邊與其相乘的矩陣應相等，于是得到等效結點載荷為hdxdyPfhdsPfQfPVTAeAsTeTebeTe)()()()(hdxdyPNhdsPNQNPVtTAATsTbTeeTe)()()(2-20 (2-1) 從上式可以看出，等效結點載荷與所選取的單位位移模式有關。對我們所討論的三角形單元線性位移模式，等效結點載荷分別計算如下：一、 分布體積力設單元只作用有單位體積的體力向量P=X Y,如圖所示，根據(jù)式（2-1）得相應的等效結點載荷為 (2-2)當單元劃分較小而可認為P在單元內(nèi)均勻分布時，式（2-2）可寫成 (d) 式中的形函

18、數(shù)可改寫為面積坐標，即N =Li , N =Lj ,Nm =Lm , 因此式（d）中形函數(shù)的積分可改為用坐標的積分。由公式可得到hdxdyPNhdsPNQNPVTAATsTbe)(hdxdyPNPVTAeVTAjiePdxdyINmININhP2-21將上式結果呆入式（d）得 (e)令 為單元總體力W在x,y方向的分量，于是式（d）寫成 (2-3a)結論：均布體力的等效結點載荷由單元總體力的三分之一分配到三個結點上面形成。32)!2001(! 1 !0 ! 1001AAdxdyLLLdxdyNmjAiAi30010AdxdyLLLdxdyNmjAiAj31010AdxdyLLLdxdyNmjA

19、iAmYXhAPTe10011001100131XAhWxYAhWyTyxyxyxeWWWWWWP3131313131312-22 二 分布面力設單元只在邊界面上作用有分布面力，且為均勻分布。單位面積上的面力向量為，如圖所示，圖2-32-23相應的等效結點載荷為 (2-4)其中，積分是沿著單元邊界線進行的。為簡化積分運算，可采用面積坐標表示。其實，在邊界上，邊界方程為.應用面積坐標的冪函數(shù)在三角形單元上的積分可算出以下積分AsTmjiePdsINININhPlldsLLdsNjjmjmji21)!110(! 1 !010lldsLLdsNmjmjjmm21)!110(! 1 !0100dsNj

20、mi2-24式中l(wèi)為 邊界長度。將上式代入式（2-4），得到相應的等效結點載荷 令 為邊界上總面力在x,y方向上的分量，則等效結點載荷列陣 (2-4a)上式表明：與作用在單元邊界線上的均布面力相應的等效結點載荷列陣，系面載荷總和之半分配在邊界兩端結點上形成的。jmYXlhPTe10011001000021,XhlWx,YhlWyTyxyxeWWWWP00212121212-25三 集中力 設在單元邊界上的b點，作用有集中力 ，如圖所示。 TyxQQQ 圖2-42-26三 集中力同樣由式（2-1）結果。可以得出 (2-5)為了計算 ，首先計算b點的面積坐標。由于b點在上，所以 ，再由面積坐標的定

21、義得到 于是 (f)把 式（f）代入式（2-5），可以得到 ( 2-5a) QNPTbe bN0mbLllLjAAibillLiAAjbj 0IIIILILILINININNllllmbjbibmbjbibbij TyllxllyllxlleQQQQPjjjj002-27結論：單元邊界線上的集中力的等效 結點載荷列陣，系將該力按杠桿原理分配到邊界線兩端的結點上。 當然，最好是在劃分單元時，就把集中力所在處安排成結點，也就不存在集中力向結點移置的問題了。2-28 結構的整體分析含有兩層意思：其一，整個離散體系的各單元在變形后必須在結點處協(xié)調(diào)地連接起來。即與某結點i相連接的n個單元，在該處必須具有

22、相同的結點位移（結點位移連續(xù)函數(shù)），即 (2-6)其二，組成離散體的各結點的所有必須滿足平衡條件。即，對與體系上與某一結點I直接相連的所有各單元作用于該結點上的結點力，應與作用在該結點上的結點載荷保持平衡。即， (2-7)21iniiieieiRF02-29這里， 表示直接與結點結合的所有單元求和。為單元（e）在結點I的結點力向量，即 。 為結點I的結點力載荷總向量，通常它應等于各單元在結點I處的等效結點載荷向量的和，即 (2-8)但如果該結點I同時還有直接作用于其上的集中力 ，則在結點處的結點載荷總量應用為 (2-9)整體分析的基于任務，是根據(jù)上述原則建立用結點位移表示的整個離散體系的平衡方

23、程式。解方程組，即可獲得各結點的位移。 eTeieieIiYXFxiiRRyiRTeeiiPRxiiQQTyiQIeieiQPR2-30一、 整個剛度矩陣的形成及其特點 2-312-32一、 整個剛度矩陣的形成及其特點 形成整個剛度矩陣是整體分析的主要任務，以圖所示的離散體系為例，來說明整體矩陣的形成過程。單元和結點的編號都已示于圖中 假定單元剛度矩陣已求得，于是，各單元的各剛度方程，根據(jù)式（2-3）和式（2-4），分別為 (1).單元：i=1,j=2,m=3 (a) (2).單元：I=2,j=5,m=3 (b)1312111331321311233122121113112111131211K

24、KKKKKKKKFFF232522235235232223255252223225222232522KKKKKKKKKFFF2-33(3).單元：i=4,j=5,m=2 (c)(4).單元:I=4,j=6,m=5 (d)現(xiàn)在再來建立各結點的平衡方程。按照結點的編號順序，根據(jù)方程（7-32），分別得到各結點的平衡矩陣方程式為 (e)323534322325324352355354342345344323534KKKKKKKKKFFF454644455456454465466464445446444454644KKKKKKKKKFFF,646545253544434323132322212111R

25、FRFFFRFFRFFRFFFRF2-34將結點力表達式(a)、(b) 、(c)、(d)相應的代入(e)的各平衡方程中，并利用結點位移連續(xù)條件（2-6），即可以得到用結點位移表示的平衡方程。以結點2為例，由方程(a)、(b)、(c)求得各單元在結點2處之結點力為 (f)代入(e)中的結點2的平衡方程中，則有,444346465453525323132322212111232253254324323223522522222231232122112112KKKFKKKFKKKF)()()(253252254324322312323222221221121RKKKKKKKKK2-35根據(jù)同樣的步驟可

26、以寫出其余各結點相應的平衡方程式，為簡明起見可列出表1。2-36l表1(2-10)2-37結構的的結點位移列陣：TTTTTTT654321TTTTTTTRRRRRRR654321為結構的結點載荷列陣；矩陣若定義為2-38666564565554535246451444235333231252423222113121100KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK（2-11）且各子矩陣分別為 ,.,466664656546464456564553552555545435454253533522525244646445345454443444434242235352331333323213

27、2321313132522525324242232232332222212222121211131311121211111KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK2-39則式（2-10）可簡寫作 （2-10a）這里， 稱為結構的整體剛度矩陣或稱為總剛度矩陣；方程（2-10）或方程（2-10a）稱為結構的整體平衡方程組，或稱為結構的總剛度矩陣。 建立結構的總剛度方程的關鍵是形成結構的總剛度矩陣。從（2-10）或（2-11）所顯示出來的總剛度矩陣中各子矩陣（或稱元素）的組成規(guī)律可以看出：矩陣 中的子矩陣 是與I個結點直

28、接相連的各單元剛度矩陣中出現(xiàn)的相應子矩陣 的疊加，即 。例如：矩陣 中子矩陣 是由與結點“3”直接相連的單元和單元的剛度矩陣中所有出現(xiàn)的元素 和 迭加結果。RKKKijKeijKeijeijKK23K123KK223K2-40為具體起見，仍以上圖的示例進行說明。 (1) 首先計算出結構中所有單元剛度矩陣。其它各元素依次類推，都有這個特點。這就表明，具體組成總剛度矩陣時，并不需要重復前述的推導方法，即先對每個結點列出類似于式（g）那樣的方程，再組合起來求得整體剛度矩陣。特別是當網(wǎng)格劃分較密，單元數(shù)目較多，這種方法實際上有很大困難的。其實，只要注意到上述的特點，當計算出單元剛度矩陣之后，就可以按上

29、述方法直接形成總剛度矩陣。2-41 (2) 按照結構所具有的結點數(shù)，畫出如式（2-10）那樣的表格，即總剛度方程位置表格。表格中的每一元素用兩個腳標ij表示：第一個腳標I表示行號（實際是結點力Fi的編號），第二個腳標j表示列號（相當于結點自由度的編號）。如表示底i行第j列元素。 (3)將單元剛度矩陣中的元素根據(jù)其腳標依次填入表格（1)中第i行第j列的位置上。照這樣的步驟繼續(xù)進行下去，直到把所有各單元剛度矩陣中的各元素都放到表中相應的位置為止。這一步稱為“對號入座”。 (4)將表中同一位置上的各元素相迭加，就得到總剛度矩陣中的相應的子矩陣。在無元素處，空格為零。如此便得到總剛度矩陣K.2-42這

30、種“對號入座”組集總剛度矩陣的方法，稱為直接剛度法。應該指出，在按直接剛度法組集總剛度矩陣時，首先要用到各單元剛度矩陣，而單元剛度矩陣是以單元結點的局部編號為依據(jù)的，但總剛度矩陣是以結構的結點總編號為標準的，因此，要注意達到這中間有一個把單元結點的局部編號與結點總編號對應起來的問題。在上圖中，結點編號為1，2，3，4，5，6，而結點的局部號對每一單元來說則為i.j.m,可以展開成如下的階的矩陣，即 （h）于是，可以將式（2-10）具體寫成式（2-12），如表（2）所示。結構有六個結點，因此應當有十二個方程以求解十二個位移分量，上式則具體地顯示出這一點。22211211klklklklklkkk

31、kk2-43l表(2)（2-12）2-44l（2-10）（2-11）（2-12）可以看到l（1）總剛度矩陣諸元素都集中分布于對角線附近，形成“帶狀”。這是因為一個結點的平衡方程除與本身的結點位移有關外，還與那些和它直接直接相連系的單元的結點位移有關，而不在同一單元上的兩個結點之間相互沒有 影響。例如，結點3與單元、直接直接相連接。它的平衡方程除與結點3的位移有關外，還與結點1、2、5的結點位移有關，但結點3與終點4、6無關，所以l為零。因此，總剛度矩陣是稀疏的且呈帶狀分布。通常把從每一行的第一個非零元素起，至該行的對角線上的元素止的元素的個數(shù)，稱為總剛度矩陣的在該行的“帶寬”。帶寬以外的元素全

32、為零。帶寬的大小，除與相關結點的位移個數(shù)有關外，還與相鄰結點編號之差值有關。一般說來，每行帶寬都小于結構的總位移數(shù)。利用總剛度矩陣具有的稀疏帶狀的性質(zhì)，在編制程序中只需存放帶寬內(nèi)的元素，可以大量的節(jié)約計算機容量。在算題時，應盡量減少相鄰結點編號之差值，從而可以減少帶寬。34K36K2-45 (2)由于總剛度矩陣K是由于各單元剛度矩陣Ke組集而成的，單元剛度矩陣具有對稱性，總剛度矩陣必具有對稱性，即矩陣中的下三角元素與上三角元素對稱。因此，在編制程序時，可以只存放下三角元素，這又可以大量節(jié)約計算機容量。 （3）由于單元剛度矩陣具有奇異性。因此，總剛度矩陣必具有奇異性。故在求解總剛度方程時。需要根

33、據(jù)約束條件（結點支撐條件），修正總剛度方程，消除總剛度矩陣的奇異性能求解 以上結論，雖然是以上圖的簡單模型得到的，但它對于具有任意n個自由度的體系同樣是適用的。2-46三、邊界約束條件的處理 由于總剛度矩陣為奇異性矩陣，為求得位移解，必須先利用給定的邊界結點的約束條件對總剛度方程進行處理，消除總剛度矩陣k的奇異性，然后求解。 平面問題中，一個結點只有兩個自由度，故一個邊界結點最多也只可能有兩個約束條件即： *iTiiTiiivuvu根據(jù)不同的支承情況，約束條件可以分為：1。零位移約束 上圖所示的離散化模型，在1、4結點處裝置鉸支座約束，因此，被約束結點方向位移應為零，即 2-470411vvu

34、（i） 當引入條件（i）后，則在方程組（2-12）位移列陣中出現(xiàn)零值，在整體剛度矩陣中，與這種位移為零的結點所對應的行和列的元素，在求其它的位移時將不起作用，因而可以從矩陣K中劃區(qū)。當然，方程組的階數(shù)也隨之降低了。這種修正平衡方程組的方法，可稱為降維（階）法，它明顯的改變了矩陣K中原來的排列和矩陣的階數(shù)。這對于單元數(shù)少，采用手算的情況是比較適用的；但對于使用電子計算機時，這反而使程序的編制變得復雜。2-48l2、 非零位移約束l 邊界約束條件也有可能不是限制位移為零，而是給出已知的值，即 ,*iu,*1v*4vj（j）其中 、 、 均為已知值。將式（j）引入方程后，為使修改后的平衡方程組保留原

35、有階數(shù)和不變更方程的排列順序，不使計算機程序作大的改動，其處理方法主要有兩種，其一為：1）、在整體剛度矩陣中，把與給定結點位移的腳標I相應的第I行和第列的元素都代之以零，但主對角線上的相應元素 取1。例如在條件（j）的情況下，應在方程組（2-12）的矩陣K中，把第一行和第一列，第二行和第二列，第八行和第八列iiK2-49l的元素都置零，把 224412221111,KKK都取為1。（2）、在載荷列陣R中，把相應的 用給定的 代替，而R中的其余元素，則應從中減去給定的結點位移并乘上矩陣K中適當?shù)牧许?。iRi通過以上的修正，方程組（2-12）變換為 2-5022662166226521652164

36、126611661265116511642256215622552155215422532153225221521256115612551155115412531153125211521246114612451145114412421142223521352233213322322132123511351233113312321132222521252124222321232222212212251125112412231123122211220000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000001000000

37、0000001KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK665544332211vuvuvuvuvuvu226422612161612641261116162254225121515125412511151512441241114142234223121313223422312131322242221212121224122111212KKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRyxyxxyyyx= （2-13）2-51l顯然，方程組的階數(shù)并未改變，由方程組（37）立即可以得出結點位 移

38、 au 11v4v 計入位移約束條件的另一方法稱為“乘大數(shù)法”。該法只是把矩陣 中相應的對角線元素 和 中的元素 加以修正。即 kiik RiR（1）把矩陣 中與給定的結點位移腳標 和相應的主對角線的元素 乘以相當大的一個數(shù)，例如 ， 中的其它元素不變。 kiiik k（2）把載荷列陣 中的對應項 代之以給定點的位移乘以相應的主對角線元素 同時乘以相同的大數(shù) ， 中的其它元素不變。對于給定的邊界條件（j），則應把方程組（2-12）中的主對角線元素 、 、 分別乘以 RiRiik R1111K2211K15101151012244K2-5215101l（在矩陣中已用虛線框出）； 中的 、 、 分別用 、 、 代替，于是方程組（2-12）變化為 R1xR2yR4yR15111110 K15221110 K15224410