1、經濟應用數學習題第一章極限和連續填空題sinx1 . lim0；x x 2 .函數y Jln Jx是由 y 石，u3當x 0時，1 cosx是比x 高4. 當x 0時，若sin 2x與ax2 x25. lim(1)ex x 選擇題lim ( C )1 .x 0 5arcsin x(A) 0(B)不存在2 f(x)在點x x0處有定義，是(A)必要條件(B)充分條件ln v , v &復合而成的；階的無窮小量。是等價無窮小量，則 a 2, 、 2(C) (D) 15f(x)在x %處連續的(A )(C)充分必要條件(D)無關條件計算題cosx 11. 求極限 lim2x 0 2x2解:c

2、osx 1 sinx lim 2 limx 0 2x x 0 4x14, 1、1x -x 一()2. lim (1)x = lim (1 -) x 4 e 4x 04 x 04xx- e 1 e3. lim lim1x 0 x x x 0 2x 1導數和微分 填空題1若u(x)與v(x)在x處可導，則u (x)v(x) u(x)v (x)2v(x)2精選2 .設f (x)在Xo處可導，且f (xo) 則 pm0 f (x0 2mhf(x0 3m 用 A 的代數式表示為 5A ;x2f(1 2x) f (1)_ A3 f (x) e ，則 lim4e 。x 0x解 f '(x)2xex2

3、 ,lim f(1 2x)-f2 f '(1) 4ex 0V選擇題1 .設f(x)在點x0處可導，則下列命題中正確的是(A )(A) lim f(x) f(x0) 存在x xox x0(B) lim f(xf"(a) 不存在x xox x0(C)lim f(x) f(xo)存在x x0(D)典上兇_產不存在x12 . 設 f (x) 在 x0處 可導，且lim 一，則 f (x0)等 于x 0 f(xo 2x) f(x0) 4(D )(A) 4(B) W(C) 2(D)23.3 設 y f (x)可導，則 f (x 2h) f (x)=(A) f (x)h o(h)(B) 2

4、f (x)h o(h)(C) f (x)h o(h)(D) 2f (x)h o(h)4.設f(0) 0，且典1存在，則號等于(A) f (x)(B) f (0)(C) f (0)(D)(0)5.函數 y ef(x),則 y" ( D )(A) ef(x)(B) ef(x)f "(x)(C) ef(x)f(x)2(D) ef(x) f'(x)2f"(x)6函數f(x) (x 1)x的導數為( D )(A) x(x 1)x(B)(x1)x 1(C) xxlnx(D)(xx x1)一ln(x 1)7函數 f(x) Jx在x(A)連續但不可導(C)極限存在但不連續

5、(B)(D)連續且可導不連續也不可導計算與應用題1.ln(xy)確定 y的函數,求dy解:1ln( xy) (xy) xy1 ,，、(y xy) xyxyy y xyyx(y 1)2.eyy ln x確定的函數，求dydx解:ey yIn xdydxyx(ey ln x)3.3xcosx的微分解:dyy dx1 3x1 3x _3e cosx e sin x)dx3x(3cos x sin x)dx4.2x e解:的微分;c 2x2e x2x e2x乙e (2x 1)dy2x /e (2x 1)dx5 設 f(x)lim f (x) limx 0x r_axsinx ex2a_ - _axsi

6、nx e0在(0)上連續,求a的值。lxm90s1 a“刈在(，ax、ae )2分)上連續，即 lim f(x) f (0) 2ax 02a 1 a6設 f (x)i1 x x1 xasin kxx,x 0,x 0,x 0(其中k 0)求f (x)在點x0的左、右極限；(2)當a和k取何值時,f (x)在點x 0連續。(1) limx 0f (x) limx 0sinkxlim f (x)x 0lim f (x) lim(lim f (x)x 01(1xF1(1x/e 2 2分為 f (x) 在f(0)導數的應用填空題1 .設需求函數Q p(8 3P) , P為價格，則需求彈性值-EQEP P

7、222 .函數y x3 3x的單調遞減區間是(1,1)二.選擇題1.函數y sinx在區間0,九上滿足羅爾定理的己=( C )(A) 0(B) -(C) -(D)2.函數y f (x)在點x Xo處取得極大值，則必有(D )(A)f (Xo) 0(B)f (Xo) 0(C) f (Xo) 0 且 f (Xo) 0(D) f (Xo) 0或不存在應用題1已知某商品的需求函數為x =125-5p,成本函數為C(x尸100 + x + x2, 若生產的商品都能全部售出。求：(1)使利潤最大時的產量；(2)最大 利潤時商品需求對價格的彈性及商品的售價。2125 x2斛 (1 L(x) R(x) C(x

8、) px 100 x x x 100 x x51.2x2 24x 100L'(x)2.4x 24 0 x 10L"(x)2.4 0,駐點唯一當x 10時，利潤最大。(2)=£ 勝，當x 10日t,p 23,則 | x10=23 ( 5)11.5x x102 .某工廠生產某種產品噸，所需要的成本C(x) 5x 200(萬元)，將其投放市場后，所得到的總收入為R(x) 10x 0.01x2(萬元)。問該產品生產多少噸時，所獲得利潤最大，最大利潤是多少？解：L(x) R(x) C(x)= 0.01x2 5x 200, L,(x)0.02x 5令 L(x) 0 得 x 25

9、0L (x)0.02 0 L (250) 0該產品生產250噸時所獲利潤最大，最大利潤是L(250) 425 (萬元)3 .已知某產品的需求函數為 P 10 Q,成本函數為 C 20 2Q ,求產量5為多少時利潤最大？并驗證是否符合最大利潤原則。解：L(Q) R(Q) C(Q) P Q C(Q) 10Q Q 20 2Q5L'(Q)-Q 8,令 L'(Q) 0 得 Q 205一 ，2 ,，一一，一、一，又L(Q) - 0 ,所以符合最大利潤原則。54某商店以單價100元購進一批服裝，假設該服裝的需求函數為Q 400 p( p 為銷售價格)。(12分)(1)求收入函數R(Q),禾I

10、潤函數L(Q)；(2)求邊際收入函數及邊際利潤函數；(3)銷售價格定為多少時，才能獲得最大利潤，并求出最大利潤。解：(1) p 400 Q, R(Q) Qp Q(400 Q) , 2分C(Q) 100Q ,L(Q) R(Q) C(Q) Q(400 Q) 100Q 300Q Q22 分(2)邊際收入函數為R'(Q) 400 2Q 1分邊際利潤函數為L(Q) 300 2Q 1分(3)令 L'(Q) 300 2Q 0,得 Q 150 件。 1 分- _ _ 因L (150)2 0 ,所以當Q 150時，函數取得極大值，1分因為是唯一的極值點，所以就是最大值點， 1分即p 400 Q

11、400 150 250元時，可獲得最大利潤。 1分最大利潤為L(150) 300Q Q2 22500元。2分第五章 不定積分填空題1. 設 ex sinx 是 f (x)的一個原函數，則 f (x) = ex sinx ;12. dx ln In x Cxln x 43. 若 f(x)dx x2 C ，則 xf (1 x2)dxx2 - c ；選擇題1 .設 F (x) G (x),則(B )(A) F(x) G(x)為常數(B) F(x) G(x)為常數(C) F(x) G(x) 0dd(D) F(x)dx 一 G(x)dxdxdx2.已知函數 f(x)的導數是sin xf(x)的所有原函數

12、是(A) cosx(B)cosx(C) sin x(D) sin3.若f (x)dx x2e2xf(x)(A) 2xe2x2 2x(B) 2x e(C) xe2x(D)2xe2x(1x)1.求不定積分xe3x( dx原式二 xd(；e3x)1 3xxe33x e Idx一 xe33x3x e1 d (3x) = 33x xe2.2.dx解：原式1xx2 1dxdx 11x2 1d(x21)-dx 13.4.ln . x21arctanx C求 ,1 dx,1 ex解：令t 71原式二tln t1 t2求 x ln xdx解：原式定積分填空題11. x3 sin2xdx1x32. ( tsint

13、3dt)02tdtln t1 2 ln xd (-x )xsin x3ln(t2 1)2H-dt 1(t 1)(t 1)dtlnlnxexln x1dx 1 x2 ln x x 2db3. f (x)dx =0dx a一4設f(x)在a,b上連續,bf (x)dxabf (t) dt =0a5-e x(ln x)2dx6 若(x)ecost tdt,則(x)cosxef(t)dt x,則f(7)1o12一 32f (x 1)3x1,2時,f(7)=112x是連續函數，且10 f (t)dt,則f xx -11角牛設A o f (t)dt,1xdx 2A02Af(x) x 1選擇題1.卜列積分可

14、直接使用牛頓一萊不尼茲公式的有2.3.(A)(C)(A)(C)53Xdxx(B)-xdx 0(x2 5)2f(x)f(t)f(x)xf(t)dt0x(A)e2為連續函數,的一個原函數的一個原函數1f 21(x) 2(D)e 1 dx1 x ln xe(B)xf (t)dt 為(B)(D)f(0)1,則f(t)的所有原函數f(x)f(x)(C)e2x的所有原函數(D)2e2x4.14dx1x(A) -2(B)(C) 0(D)發散計算1.1.求定積分解:012.3.dx x2 x . 2dx = x求定積分解:1(1 rv)dx(x arctan x)*dx x , xx t1 21時，t 1,當

15、x9時,tln x dx解：1e5ln x dx(xln x11ex)3 2tdt t2 t(ln x) dx11e(xln xx)1dt 2ln( tt 1ln xdx5ln5 - e1)3 2ln4.-dx 1解:-2dx2 x 1blim1x2 1dxblimdx(x 1)(x 1)blim(六5求函數f(x)Mx21 lim 2b1b 111-lim ln( ) ln ln32bb 132)內的最大和最小值.解 因f(x)為偶函數，則只需求f(x)在0, + )內的最值.令 f'(x) 2x2(2 xx)e x2 0,則得駐點為 x .2 .2e tdt 1 e20且當 0 x

16、 應時，f'(x) 0,當 x 72時，f'(x) 0, 故x也 為f(x)在0, + 的極大值點，也是最大值點，且max f (x) f ( . 2)02(2 t)e tdt (2 t)e t而 f( ) lim f(x) ° (2 t)e tdt (2 t)e t 00 e tdt 1f(0) 0所以 min f (x) f (0) 0.多元函數微分學及其應用 填空題1.若 Z exy2 .yx ，xy 2xe x222 , 已知 f(x,y)=ey,則fx(x, y) 2xye二元函數 Zxexy全微分d Zexy(1 xy) dx x2exydy ;3 .二元

17、函數Z exy全微分dZdyx 1,y 0選擇題1,設函數z ln(xy),則 等于(C ) x(A) 1(B)-(C) 1yyx(D)- x2,設Z sin(xy2),則義等于( D )x222,2、(A) xycos(xy )(B)xycos(xy )(C) y cos(xy )2,2、(D) y cos(xy )3.設 Z 3xy,則-Z= ( D x(A) y3xy(B) 3xyln3計算與應用題(C) xy3xy 1(D) y3xy In 31.設Z Z(x, y)由方程eZx2y In Z 0 確定，求 dZI_F22F y x x ZFz 曉 1 ZeZ 1Z eZ解：令 F(x, y, Z) eZ x2 y In Z 0F2xy 上x2£eZ°xyZZ'ZFx2xy 2xyZ ZxFzeZ 工 ZeZ 1' yeZdZ -2ZxyZdxZe 1x2zGdy2.設 Z x ln( xy),2Z2 x2z2Z 解：Zxy)- yx y x (x y)2x 2y(x y)22zZln(x yy)x(x