1、第一章函數、極限與連續函數第一節 變量與函數第二節 極限第三節 極限存在準則 兩個重要極限 第四節 無窮小量與無窮大量第五節 連續函數二、函數二、函數一、實數一、實數第一節變量與函數 第一章 一、實數一、實數 0 x實數軸實數軸實數軸上的點可表示自然數、整數、有理數和無理數數集的表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然數集N0, 1, 2,nLLn xM x 所具有的特征例例: 有理數集qpQ,Z,0,p qq p 與 q 互質實數集合 Rx x 為有理數或無理數(2) 描述法：開區間 ),(xbabxa閉區間 ,xbabxa )

2、,xbabxa ,(xbabxa無限區間 ),xa ,(xb bx ),(xRx a b x a b x滿足一定條件的所有實數集合稱為區間，用I 表示。xa)(aa ),(Uxaa 的的 鄰域鄰域aU( ,) axaxa xaxax0其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .去心 鄰域左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa定義域1. 函數的概念函數的概念 定義定義 設設X為非空實數集為非空實數集，則稱映射:RfX 為定義在X 上的函數 , 記為( ),yf xxX為f 的值域 xy) ,(baDab自變量因變量一般的，記fD|( ),ffRy yf xxD為f 的

3、定義域，cd二、函數二、函數例例1.5 設設22( )1 ;( )sincos;( )xf xg xxxh xx例例1.4 下列函數是否相同下列函數是否相同200( ),(3),()()f xxff xxf x求 (3)9f00()()f xxf x2200()xxx解:202xxx 例例1.7 求函數求函數的定義域291xyx解：210901xxx -3 1 31133133xxxxxx 且或且或-3 1 3因此定義域為133xx 或2.2.幾種特殊函數幾種特殊函數（1符號函數xysgn當 x 0,1當 x = 0,0當 x N 時, 總有記作此時也稱數列收斂 , 否則稱數列發散 .幾何解釋

4、 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數列nx的極限為 a ,例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發 散二、數列極限的性質與運算1. 收斂數列的極限唯一.2. 收斂數列一定有界.3. 收斂數列的保號性.假設,limaxnn且0a,NN則Nn 當時, 有0nx, )0(. )0(4. 收斂數列的任一子數列收斂于同一極限 .性質性質假設假設,lim,limByA

5、xnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時且當BynBAyxnnnlimBABA運算運算思考與練習思考與練習1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數列.2. 知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法是否正確? 說明理由.設,limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim第三節第三節, )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種形式:函數的極限 一、自變量趨于有限值時函數的極限一、自變量趨于有限

6、值時函數的極限1. 0 xx 時函數極限的定義時函數極限的定義定義1 . 設函數)(xf在點0 x的某去心鄰域內有定義 ,0,0當00 xx時, 有 Axf)(則稱常數 A 為函數)(xf當0 xx 時的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當即,0,0當),(0 xx時, 有假設記作 Axf)(Axfxx)(lim02. 函數極限性質定理1 . 假設,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當xx. 0)(xf)0)(xf則存在( A 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數)(xf當0 xx 時為無窮大, 使對使對.)(lim0 xfxx若在定義中將

7、式改為Mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx0()( lim( )xxxf x )(Xx )(x)(lim(xfx(正數正數 X ) ,記作( ( ),f xM 總存在例如例如, 函數函數),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當n2但0)(2nf所以x時 ,)(xf不是無窮大 !oxyxxycos其中 為0 xx 時的無窮小量 . 定理定理1.(1.(無窮小與函數極限的關系無窮小與函數極限的關系) )Axfxx)(lim0 Axf)(,0時xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的

8、速度是多樣的 . 二、無窮小量的比較二、無窮小量的比較,0limCk定義定義. .,0lim假設則稱 是比 高階的無窮小,)(o,lim假設假設假設, 1lim假設,0limC或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階的無窮小;則稱 是 的同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階無窮小;則稱 是 的等價無窮小,記作常用等價無窮小: xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x定理定理2.2.設設,且lim存在 , 那么lim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim

9、052三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系假設)(xf為無窮大,)(1xf為無窮小 ;假設)(xf為無窮小, 且,0)(xf那么)(1xf為無窮大.那么據此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明:二、二、 函數的間斷點分類函數的間斷點分類一、連續函數定義一、連續函數定義 第五節 連續函數三、連續函數運算法則、三、連續函數運算法則、 初等函數連續性初等函數連續性四、閉區間連續函數的性質四、閉區間連續函數的性質 一、連續函數定義一、連續函數定義 可見 , 函數)(xf在點0 x定義定義:)(xfy 在

10、0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數.)(0連續在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數連續必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;在在(1) 函數)(xf0 x(2) 函數)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續 :0 x設0 x在點)(xf的某去心鄰域內有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數 f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點

11、. 在無定義 ;二、二、 函數的間斷點分類函數的間斷點分類間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf假設稱0 x, )()(00 xfxf假設稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點 .為振蕩間斷點 .xytan) 1 (2x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例如例如: :xytan2xyoxyxy1sin0思考與練

12、習思考與練習1. 討論函數231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點 .間斷點的類型.2. 設0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf為連續函數.答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點是第一類可去間斷點 ,三、連續函數運算法則、三、連續函數運算法則、 初等函數連續性初等函數連續性定理定理2. 連續單調遞增連續單調遞增 函數的反函數函數的反函數xx cot,tan在其定義域內連續定理定理1. 在某點連續的有限個函數經有限次和在某點連續的有限個函數經有限次和 , 差差 , 積積 ,連續xx cos,sin商(分母不為 0) 運

13、算, 結果仍是一個在該點連續的函數 .例如例如,(遞減).遞增(遞減)也連續單調定理定理3.3.連續函數的復合函數是連續的連續函數的復合函數是連續的. .初等函數的連續性初等函數的連續性基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續思考與練習思考與練習,)(0連續在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續? 反例, 1,1)(xf x 為有理數 x 為無理數)(xf處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續 .反之是否成立?提示提示:“反之” 不成立 .四、閉區間連續函數的性質四、閉區間連續函數的性質 定理定理1.1.在閉區間上連續

14、的函數在閉區間上連續的函數即: 設, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.在該區間上一定有最大定理定理2. ( 零點定理零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf定理定理3.(3.(介值定理介值定理) )設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數 C ,一點, ),(baAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有例例1.1.證明方程證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423在區