1、第第4章章 極點配置設計：狀態空間方法極點配置設計：狀態空間方法 主要內容主要內容 (1)狀態反饋極點配置 (2)狀態觀測器 (3)帶狀態觀測器的調節器設計 (4)輸入系統的極點配置4.1 引言引言 狀態空間中的極點配置設計方法是基本的設計方法之一。如果系統是完全狀態可控的，那么，要求的z平面上閉環極點可以選擇，并且，以這些極點為閉環極點的系統可以設計。這種在z平面設置期望的閉環極點的設計方法，稱為極點配置設計法。 在極點配置設計方法中，將反饋全部狀態變量，使得全部閉環極點均設置在各期望的位置上。然而，實際的控制系統中，量測到全部狀態變量是不可能的，不是全部狀態變量都可以用于反饋。為了實現狀態

2、反饋，估計這些未知的狀態變量是很必要的，這種估計可以用狀態觀測器進行。 狀態反饋極點配置問題，可以分成為兩個部分：首先假定系統的全部狀態都可能用于反饋，設計一個全狀態反饋的控制系統；然后，再設計一個狀態觀測器，用來估計狀態反饋要用的狀態變量。設計中依據的參數為期望的閉環極點的位置和采樣周期T。4.2 狀態反饋極點配置狀態反饋極點配置 假設系統的全部狀態變量都可以量測，并且都能用于反饋。如果系統是完全狀態可控的，那么，用狀態反饋的方法，適當地選擇狀態反饋增益矩陣，可以將閉環系統的極點配置在z平面的任何期望的位置。 首先必須指出，狀態空間中，任意極點配置的充分且必要的條件是，系統必須是完全狀態可控

3、的。4.2.1 狀態反饋狀態反饋 假設連續系統由方程：描述。只討論單輸入-單輸出情況。對該系統按一定周期進行零階保持采樣得到的離散系統為：其中矩陣和由：給出。為簡化起見，將系統寫為：BuAxdtdx)()()(kTukTxTkTxTAsATdsBee0)()() 1(kukxkx連續控制器D(s)在時間域里用微分方程來表示，把微分運算用等效差分來近似，就可得到逼近微分方程的差分方程。等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又稱為歐拉法，是用前向差分近似導數：得到差分方程；后向差分法用后向差分近似導數：來得到差分方程。4.2.1.1 差分法和雙線性變換法差分法和雙線性變換法)(1)()()

4、(txTqTtxTtxdttdx)(1)()()(txqTqTTtxtxdttdx在上述變換變量中，相當于用(zl)/T或者(zl)/(zT)代替s。前面的章節已經表明，可把變量z和s用自然指數關聯起來，即zexp(sT)。這兩個差分近似相應于級數展開：（前向差分法/歐拉法）（4.1）（后向差分法）（4.2）另一種與數值積分的梯形法相對應的近似法是：（4.3）這種近似也常常叫做雙線性變換，或者塔斯廷（Tustin）近似。sTezsT1sTeezsTsT1112/12/12/2/sTsTeeezsTsTsT使用上述近似方法時，可用下述s直接代替G(s)中的自變量s而得到脈沖傳遞函數G(z)，其中

5、：（前向差分法/歐拉法）（4.4）（后向差分法）（4.5）（雙線性變換法）（4.6）從而Tzs1zTzs1112zzTs)()(sGzG（4.4）式由s平面到z平面的映射（4.5）式由s平面到z平面的映射（4.6）式由s平面到z平面的映射可以看出：使用前向差分法有可能把一個穩定的連續時間系統映射為一個不穩定的離散時間系統。使用后向差分近似時，一個穩定的連續時間系統將總是給出一個穩定的離散系統。但是一些不穩定連續時間系統也可能被轉換成穩定的離散時間系統。而且運用后向差分法時頻率被嚴重壓縮了，不能保證頻率特性不變。使用雙線性變換（塔斯廷近似）將s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內。因此把連續時間

6、系統的穩定性與離散時間系統的穩定性不變。經過雙線性近似變換后，模擬頻率與離散頻率之間存在著非線性關系。設模擬頻率為，變換后得到的離散頻率為，現在將s=i，z=eiT代入雙線性變換式，得到：則模擬頻率與離散頻率之間有如下關系：即：（4.7）4.2.1.2 頻率畸變現象的預防頻率畸變現象的預防)2tan(221122/2/2/2/TTieeeeTeeTiTiTiTiTiTiTi)2tan(2TT12)(1)2(tan221TTT與的非線性關系雙線性變換造成的頻率畸變由（4.7）式可知，在=0處沒有頻率畸變，并且T小時畸變也小。如果系統要求變換后的某些特定頻率不能畸變時，可以采用預畸變方法來補償。要

7、在規定的頻率1處沒有畸變，只要把（4.6）式的雙線性變換修改為下列變換即可：（頻率預畸變的雙線性變換）（4.8）根據（4.8）式，可以得出：即該連續時間濾波器及其近似式在頻率1處具有同樣值。不過，該方法僅僅能在規定的頻率處保證不發生畸變，在其他頻率處仍會有畸變。11)2/tan(11zzTs)()(11iGeGTi4.2.2 基于狀態模型的近似法基于狀態模型的近似法在某些情況下，已知連續時間狀態空間模型描述的控制器，希望將它離散化成離散時間近似式。可以把狀態反饋控制器看作廣義的P控制器。假設連續時間系統方程為：（4.12）且所有的狀態都是可量測的。對應的離散系統方程為：（4.13）如果系統（4

8、.12）是能控的，那么使用形式為：（4.14）的控制器就可任意配置該閉環系統的極點。CxyBuAxdtdx)()()()()(kTCxkTykTukTxTkTx)()()(tLxtMutuc對狀態采樣并在采樣周期內保持控制信號恒定就可以實現數字形式（4.14）的控制器。隨著采樣周期的增加，離散閉環系統的特性開始惡化，不過，可以修改控制器以改進閉環系統的性能。假定離散時間控制器形式如下：（4.15）可以采用離散狀態空間的極點配置設計方法來實現上述離散時間控制器（后續章節詳細討論）。這里討論的是，如何使用近似方法把（4.14）式控制器轉換成離散時間形式。)()()(kTxLkTuMkTuc用連續時

9、間控制器（5.14）式來控制連續系統（5.12）式，得到的閉環系統為：若在采樣周期內保持uc(t)不變，就可以對狀態方程積分，得出：（5.16）其中：CxyBMuxABMuxBLAdtdxccc)()()()(kTMukTxTkTxcccdsBeesATcTAccc0如果使用離散時間控制器（5.15）式控制（5.13）式所示的離散系統，則有：（5.17）一般說來不可能選擇使得：但可以利用級數展開，并使T的不同冪次項相等，以使二者非常接近。假設：那么：和)()()()(kTuMkTxLTkTxcLc2/10TLLL2/)()(222TBLABLBLAATBLAIc2/)()(21020TBLAB

10、LATBLAIL取即當（5.18）時，直到T2階為止，系統（5.16）式和（5.17）式都具有同樣的極點。當直到并包括T階時，在不修改L的情況下各極點也是相同的。假設（5.16）式和（5.17）式的穩態值相同可確定M的修正式。令參考值是常數并假設狀態的穩態值是x0，這可以得到如下關系：和從T冪到T2冪，上述兩個關系式左邊的級數展開式是相等的。LBLLALLL10)2/)(TBLAILLcccMuxI0)(cuMxLI)(0現在來確定以使上述兩個關系式右邊的級數展開式對T和T2也是相等的。假設：那么：和令這得出：（5.19）2/10TMMM2/)(2BMTBLABMTMc2/)(2010TABM

11、BMTBMMLBMMMM10MLBTIM)2/(故修正的離散時間控制器為（重新列寫）：（5.15）其中：（5.18）（5.19）MLBTIM)2/()2/)(TBLAILL)()()(kTxLkTuMkTuc在連續時間控制系統中，PID控制器應用得非常廣泛。其設計技術成熟，長期以來形成了典型的結構，參數整定方便，結構更改靈活，能滿足一般的控制要求。特別是PID控制技術有其突出的優點，當被控對象的結構和參數不能完全掌握，或得不到精確的數學模型時，控制理論的其他設計技術難以使用，系統的控制器的結構和參數必須依靠經驗和現場調試來確定，這時應用PID控制技術最為方便。因此，PID控制具有很大的適應性和

12、靈活性。當今，數字計算機廣泛地應用于控制系統中。數字PID控制比連續PID控制更為優越，因為計算機程序的靈活性，很容易克服連續PID控制中存在的問題，經修正而得到更完善的數字PID算法。5.2.3 數字數字PID控制器控制器5.2.3.1 連續連續PID控制器控制器在連續時間系統的實際應用中，常常根據受控對象的特性和控制的性能要求，靈活地采用不同的控制組合，構成比例（P）控制器比例+積分（PI）控制器和比例+積分+微分（PID）控制器（5.23）式中KP比例放大系數；TI積分時間；TD微分時間。)()(teKtup)(1)()(0tIpdeTteKtu)()(1)()(0tDIpdttedTd

13、eTteKtu比例控制能迅速反應誤差，從而減小穩態誤差。但是，比例控制不能消除穩態誤差。比例放大系數的加大，會引起系統的不穩定。積分控制的作用是，只要系統有誤差存在，積分控制器就不斷地積累，輸出控制量，以消除誤差。因而，只要有足夠的時間，積分控制將能完全消除誤差，使系統誤差為零，從而消除穩態誤差。積分作用太強會使系統超調加大，甚至使系統出現振蕩。微分控制可以減小超調量，克服振蕩，使系統的穩定性提高，同時加快系統的動態響應速度，減小調整時間，從而改善系統的動態性能。應用PID控制，必須適當地調整比例放大系數KP，積分時間TI和微分時間TD，使整個控制系統得到良好的性能。PID控制器在連續-時間工

14、業控制系統中是由硬件設備實現的。而在計算機控制系統中，PID控制器是通過計算機PID控制算法程序實現的。進入計算機的連續時間信號，必須經過采樣和整量化后，變成數字量，方能進入計算機的存貯器和寄存器，而在數字計算機中的計算和處理，不論是積分還是微分，只能用數值計算去逼近。因此在數字計算機中，PID控制規律的實現，也必須用數值逼近的方法。當采樣周期相當短時，用求和代替積分，用差分代替微分，使PID算法離散化，將描述連續時間PID算法的微分方程，變為描述離散時間PID算法的差分方程。5.2.3.2 離散化離散化用矩形求和代替積分時，有：（5.24）用差分代替微分：（5.25）將式（5.24）、（5.

15、25）代入式（5.23），PID算法變為：（5.26）或（5.27）kjItIjeTTdeT00)()(1)1()()(kekeTTdttedTDD)1()()()()(0kekeTTjeTTkeKkuDkjIp)1()()()()(0kekeKjeKkeKkuDkjIp式中：u（k）第k個采樣時刻的控制；KP 比例放大系數；KI 積分放大系數：；KD 微分放大系數：；T 采樣周期。式（5.26）或（5.27）是數字PID算法的非遞推形式，稱全量算法。算法中，為了求和，必須將系統偏差的全部過去值e(j)（j=1，2，3，k）都存貯起來。這種算法得出控制量的全量輸出u(k)，是控制量的絕對數值。

16、在控制系統中，這種控制量確定了執行機構的位置，故將這種算法稱為“位置算法”。IPITTKK TTKKDPD當執行機構需要的不是控制量的絕對值，而是控制量的增量（例如去驅動步進電動機）時，需要用PID的“增量算法”。由位置算法求出：再求出：兩式相減，得出控制量的增量算法：（5.28）（5.28）稱為增量式PID算法。)1()()()()(0kekeTTjeTTkeKkuDkjIp)2() 1()() 1() 1(0kekeTTjeTTkeKkuDkjIp)2() 1(2)()() 1()() 1()()(kekekeTTkeTTkekeKkukukuDIpPID控制算法的簡化示意圖對增量式數字P

17、ID算法（5.28）歸并后，得：（5.29）其中：)2() 1()()(210keqkeqkeqkuTTKqTTKqTTTTKqDPDPDIP210)21 (1 表達式（5.29）已看不出是PID的表達式了，也看不出P、I、D作用的直接關系，只表示了各次誤差量對控制作用的影響。從式（5.29）看出，數字增量式PID算法，只要貯存最近的三個誤差采樣值e（k）、e（k-1）、e（k-2）就足夠了。KP、TI、TD、T都預先選擇好，因而每次采樣后計算很方便。利用增量算法，可以得出位置的遞推算法：（5.30）PID算法的選擇，與受控對象的執行元件有關系。若系統的執行部件是步進電動機，用位置算法就不合適

18、，因為步進電機本身就具有積分作用，因而要選用增量算法進行控制。)2() 1()() 1()() 1()(210keqkeqkeqkukukuku用增量算法的PID控制器有以下優點：增量算法不需要做累加，控制量增量的確定僅與最近幾次誤差采樣值有關，計算誤差或計算精度問題，對控制量的計算影響較小。而位置算法要用到過去的誤差的累加值容易產生大的累加誤差。增量式算法得出的是控制量的增量，例如閥門控制中，只輸出閥門開度的變化部分，誤動作影響小，必要時通過邏輯判斷限制或禁止本次輸出，不會嚴重影響系統的工作。而位置算法的輸出是控制量的全量輸出，誤動作影響大。采用增量算法，易于實現手動到自動的無沖擊切換。實際

19、的控制系統中，存在著飽和特性。當控制變量達到一定值后，系統的輸出變量不再增長，系統進入飽和區。這就要求系統的控制變量必須限制在某個范圍之內，即：有時候，對控制量的變化率也有限制：若計算得到的控制量超出了上述范圍，系統實際執行的不是控制量的計算值，而是控制量的最大值（umax或umin），控制達不到預期的效果，甚至引起振蕩。這種現象在開工、停工或大幅度改變給定值的情況下尤其容易發生。5.2.3.3 數字數字PID的改進算法的改進算法maxminuuu|maxuu PID位置算法的積分飽和當誤差信號e較大時，由數字PID位置算法計算得出的控制u很大，以至uumax，如圖中曲線a。控制系統這時執行的

20、控制，實際上是u=umax，而不是計算值u，見圖中曲線b。被控量的增長顯然比不考慮飽和時的增長要慢。可以看到，受控量增長慢，正誤差值的積累更大，當受控量增長到等于給定值時，誤差等于零，但誤差和積累項累積值很大，控制量u還將繼續維持飽和，經過相當的時間（圖中）后。才脫離飽和，這樣，使系統被控量的超調量明顯加大，嚴重的情況下，會引起系統出現振蕩。PID位置算法中，“飽和”主要由積分項引起，稱為“積分飽和”。是在誤差量較大時，不進行積分，控制量u的計算中，只計算比例項和微分項，直到誤差達到一定值之后，才加入積分累積，如圖中曲線b所示。控制量不易進入飽和區，即使進入飽和區了，也能很快退出，系統被控量的

21、特性，比直接用PID位置算法時的特性有了改善。積分分離法的PID算法為：（5.31）其中：為門限值，見圖所示。用積分分離的改進算法效果較好，程序簡單。5.2.3.3.1 積分分離法積分分離法用積分分離法克服積分飽和a不采用積分分離法；b采用積分分離法；0t 后積分累積。)1()()()()(0kekeKjeKKkeKkuDkjlIp時當時當| )(|0| )(|1kekeKl基本思想是，當控制進入飽和區以后，便不再進行積分項的累加，而只執行削弱積分的運算。因而,在計算u(k)時，先判斷u(k-1)是否已超出限制值，若u(k-1)umax，則只累加負偏差，若u(k-1)umax，或uumax，實

22、際系統中只能取u =umax，見（b）圖中u，則系統的響應減慢。（c）繪出了當控制量的變化率受限制時，給定量的變化和系統的響應及控制量的變化曲線。從上圖的分析，可以看出，比例和微分飽和，使系統的動態過程變慢，達不到計算的效果。為了抑制微分飽和，加速系統的動態過程，可以采用積累補償法。積累補償法的基本思想是，將那些因飽和而未能執行的控制增量信息累積起來，一旦有可能時再補充執行。這樣，信息沒有丟失，動態過程可以加快。做法是，如果計算出的u(k)越界，多余的未執行的控制增量將存貯在累加器中。一旦控制u(k)脫離了飽和區，累加器中的量將全部或部分地加到計算機算出的控制增量中，以補償由于限制而未執行的控

23、制。使用“積累補償”法，可以抑制比例微分飽和。然而，由于引入了累加器，便具有積分作用，使得增量算法中也可能出現積分飽和現象。應該避免出現積分飽和。PID控制器有K、Ti、Td、Tt、b、N、umin和umax等參數需要選擇。基本參數是K、Ti和Td。除此之外，還需要確定系統的采樣周期T。實際的被控對象，特別是工業控制過程，數學模型很難準確獲得，而且隨著時間的變化，過程參數在不斷地變化，過程模型也在緩慢地變化。因此工程上，PID控制器的參數常常是通過實驗來確定，通過試湊，或者通過實驗經驗公式來確定。齊格勒和尼科爾斯在1942年提出了兩種經典的試探規則，即階躍響應法和最大靈敏度法，可用它們來確定控

24、制器參數。此外，還可以運用實驗湊試法等方法來選擇參數。5.2.3.4 參數整定參數整定適用于階躍響應呈現單調特性的系統或過程。給定單位階躍輸入，記錄響應曲線；在響應曲線的斜率最陡處作切線；確定斜率和切線與橫坐標軸的交點；再確定參數L（稱為視在死區時間）和a=RL；查表，獲得控制器的經驗參數。5.2.3.4.1 齊格勒齊格勒-尼科爾斯方法尼科爾斯方法5.2.3.4.1.1 階躍響應法階躍響應法表表5.1 由齊格勒由齊格勒-尼柯爾斯階躍響應法得到的尼柯爾斯階躍響應法得到的PID參數參數關鍵是確定開環系統的奈奎斯特曲線與負實軸的交點。具體方法是：選擇一個足夠短的采樣周期，使其為被控對象純滯后時間的十

25、分之一以下；把控制器與系統（或過程）相連，按選擇的采樣周期工作，調整參數以獲得純比例（P）控制；逐漸增加控制器增益KP（或者說，減小比例度=1/KP），直到閉環系統達到穩定邊界為止（出現等幅振蕩），進而確定此時的臨界增益Ku和臨界振蕩周期Tu；通過查表得到控制器的經驗參數。5.2.3.4.1.2 最大靈敏度法最大靈敏度法表5.2根據最大靈敏度法得到的PID參數5.2.3.4.1.3 關于齊格勒關于齊格勒-尼科爾斯方法的評價尼科爾斯方法的評價齊格勒-尼柯爾斯整定規則用兩個參數表征過程的動力學特性，再通過簡單的查表得到控制器參數，在概念上有吸引力，運用也非常廣泛。但齊格勒-尼柯爾斯規則有以下缺點：

26、獲得的閉環系統的相對阻尼非常低，典型值大約是0.2；該調整規則不能給出全部的控制器參數；積分時間總是微分時間的4倍。通過修改表中的數值可以改善阻尼。但若要改進整定需要更多的參數。因此應當小心使用齊格勒-尼柯爾斯型整定規則。5.2.3.4.2 實驗湊試法實驗湊試法實驗湊試法是通過閉環運行或模擬，觀察系統的響應曲線，然后根據各參數對系統的影響，反復湊試參數，直至出現滿意的響應，從而確定PID控制參數。實驗湊試，可對參數先比例，再積分，最后微分的整定步驟。PID參數對控制質量的影響不十分敏感。因而整定中，參數的選擇不是唯一的。不同的比例、積分、微分的組合，可能達到相近的控制效果。實際應用中，只要受控

27、過程或受控對象的主要指標達到設計要求，相應的控制器參數即可作為有效的控制參數。5.2.3. 5 采樣周期的選擇采樣周期的選擇從信號的保真度來考慮，采樣周期T不宜太長，香農（Shannon）采樣定理給出了下限頻率即s2max，max是原來信號的最高頻率。從控制性能來考慮，T應盡可能地短，也即s應盡可能地高，但是采樣頻率越高，對計算機的運算速度要求越快，存儲器容量要求越大，計算機的工作時間和工作量隨之增加。另外，采樣頻率高到一定程度，對系統性能的改善已經不顯著了。采樣周期T的選擇與下列一些因素有關：（1）作用于系統的擾動信號頻率fn。通常fn越高，要求采樣頻率fs也要相應提高，即采樣周期（T=2/

28、 fs）縮短。（2）對象的動態特性。當系統中僅是慣性時間常數起作用時，s10m，m為系統的通頻帶；當系統中純滯后時間占有一定份量時，應該選擇T/10；當系統中純滯后時間占主導作用時，可選擇T。表5.3列出了幾種常見的對象，選擇采樣周期的經驗數據。（3）測量控制回路數。測量控制回路數N越多，采樣周期T越長。若采樣時間為s，則采樣周期TNs。（4）與計算字長有關。計算字越長，計算時間越多，采樣頻率就不能太高。反之，計算字長較短，便可適當提高采樣頻率。表5.3常見對象選擇采樣周期的經驗數據受控物理量采樣周期（s）備注流量15優先選用（12）s壓力310優先選用（68）s液位68優先選用7s溫度152

29、0取純滯后時間常數成份1520優先選用18s5.2.4 小結小結前面內容介紹了把一個連續時間控制器轉換成一個數字控制器的各種不同方法。如果已有可用的模擬設計，而且需要一個數字解決方法，那么此問題還是有相當大的意義的。已經討論了若干種計算與連續時間傳遞函數對應的脈沖傳遞函數的方法，由于雙線性變換方法簡單，且效果不錯，因此通常采用。但值得注意的是它使濾波器的頻率標度發生畸變。只要采樣周期足夠短，這些轉換方法都能獲得較好的效果。選擇采樣周期的一個好辦法是必須遵守附加時延使相位裕量的減小量為cT/2（弧度）或者180c/s（度），其中c是剪切頻率。5.3 離散化設計方法離散化設計方法前面所討論的連續化

30、設計技術，在被控對象的特性不太清楚的情況下，可以充分利用技術成熟的連續化設計技術（如PID控制器的設計技術），并把它移植到計算機上予以實現，以達到滿意的控制效果。但連續化設計技術要求相當短的采樣周期，只能實現較簡單的控制算法。由于控制任務的需要，當所選擇的采樣周期比較大或對控制質量要求比較高時，必須從被控對象的特性出發，直接根據計算機控制理論（采樣控制理論）來設計數字控制器，這類方法稱為離散化設計方法。離散化設計技術比連續化設計技術更具有一般意義，它完全是根據采樣控制系統的特點進行分析和綜合，并導出相應的控制規律和算法。離散化設計方法，實質上是基于變換的方法，是將離散時間系統進行z變換后，在z

31、域或z平面上的設計方法。常用的方法包括：最少拍設計法，根軌跡設計法，和頻率響應設計法。5.3.1 最少拍設計法最少拍設計法最少拍設計法設計離散時間系統的準則是：離散時間系統在典型的時間域輸入信號的作用下（例如階躍輸入、速度輸入、加速度輸入等），經過有限個采樣周期（也稱有限個拍），輸出信號的穩態誤差為零，且在盡可能少的有限個數目的采樣周期，穩態誤差為零。用這種方法設計的離散時間系統稱為最少拍（有限拍）控制系統。本節討論的設計方法，是針對單輸入單輸出離散時間系統，給定了最佳響應特性，根據受控對象的脈沖傳遞函數，求取控制器的脈沖傳遞函數，這是z域的設計，設計過程中沒有做任何的假設和近似，完全是傳遞函

32、數的解析推導得出，因而也稱為解析設計法。5.3.1.1 最少拍設計法的依據最少拍設計法的依據考察圖中繪出的離散時間系統。系統連續時間受控對象傳遞函數為Gp（s），零階保持器傳遞函數為G0（s），輸入信號為r（t），輸出響應信號為y（t），則誤差信號e（t）為： e（t）=r（t）-y（t）（5.32）采樣周期為T。數字控制器脈沖傳遞函數為D（z），其輸入信號為e（kT），輸出信號為u（kT），也就是控制信號。u（kT）輸入至零階保持器，零階保持器的輸出u（t）是一個分段連續的時間信號，是受控對象的輸入信號。上圖中，把受控對象連同其前面的零階保持器為廣義的受控對象，定義其脈沖傳遞函數為GH（z）

33、：（5.33）則上圖可以簡化為下圖。)(1)()()(0sGseLsGsGLzGpTspH上圖繪出的離散時間系統中，閉環脈沖傳遞函數Gc（z）為：（5.34）其中，R（z）輸入序列r（k）的z變換式；Y（z）輸出序列y（k）的z變換式。由閉環脈沖傳遞函數Gc（z）的表達式（5.34）中解出D（z）：（5.35）)()()()(1)()()(zRzYzGzDzGzDzGHHc)(1)()()(zGzGzGzDcHc誤差序列e（kT）的變換式為：（5.36）其中，1-Gc（z）即為離散時間系統的誤差的脈沖傳遞函數。用采樣點的值表示，需將E（z）展開為：（5.37）一般的離散時間系統，典型的輸入信號

34、可以表示為：（5.38）式中，A（z）為z -1的多項式。)()(1)()(1)()()()(zGzDzRzGzRzYzRzEHc21)2() 1 ()0()(zezeezE111)()(qzzAzR對單位階躍輸入信號，r（t）=1（t）：則A（z）=1 q=0對單位速度輸入信號，r（t）=t1（t）：則 q =1111)(zzR2111)(zTzzR1)(TzzA對單位加速度輸入信號：2)1 (21)(12)1 ()(21)(112311122qzzTzAzzzTzRttr將式（5.38）代入式（5.36），得到：（5.39）最少拍響應系統的設計，要求系統在有限個采樣周期后進入穩態，且系統采

35、樣點的誤差為零，則E（z）的展開式必為有限項。由式（5.39）則要求誤差傳遞函數為有限項，即：（5.40）F（z）是z-1的有限項多項式。將（5.40）代入（5.39），有： E（z）=A（z）F（z） （5.41）由于A（z）、F（z）都是z-1的有限項多項式，則E（z）也是z-1的有限項多項式。保證了在有限個采樣周期后，系統的穩態誤差為零。111)(1)()(1)()(qcczzGzAzGzRzE)(1)(111zFzzGqc由式（5.40）得出系統的閉環傳遞函數為：（5.42）展開形為：（5.43）其中，L=q1，L為正整數，p為閉環系統的階數。最少拍響應系統的閉環脈沖傳遞函數為z-1的

36、有限項多項式，保證系統在有限個采樣周期內到達穩態。)(11)(11zFzzGqcppLLczazazazaazG22110)(從式（5.43）看出，按最少拍響應的條件設計的離散時間系統，其閉環脈沖傳遞函數的全部極點均位于z=0處，即全部極點均位于z平面的原點。可以說，離散時間系統，當其閉環脈沖傳遞函數的特征方程的全部根均位于z=0的點時，即特征方程具有下面形式：zp =0（5.44）其中， pL，該系統在有限個采樣周期內，穩態誤差必為零。將（5.40）式代入（5.35）式，得：（5.45）這便是要求的滿足最少拍響應的條件的數字控制器。)(1)()()(11zFzzGzGzDqHc5.3.1.2

37、 最少拍設計法的限制條件最少拍設計法的限制條件（1）數字控制器的脈沖傳遞函數D（z）的分子多項式的階數不能大于分母多項式的階數。（2）如果受控對象的傳遞函數Gp（s）中包含有純滯后環節e-s，則所設計的閉環控制系統中，必須包含有純滯后，且滯后的時間至少要等于受控對象的滯后時間。（3）如果將GH（z）展開為z-1的級數，Gc（z）按z-1的級數展開式中的次數最低的項的階數，至少要與GH（z）的展開式中z-1的最低階數一樣。例如，GH（z）按z-1展開式中從z-1項開始，則Gc（z）的展開式中的z0項系數必為零，即是說，展開式必是：（5.46）這就意味著，當用有限幅度的控制信號時，受控對象不能瞬時

38、響應，如果GH（z）的展開式是從z-1開始的，響應必須至少延遲一個采樣周期。5.3.1.2.1 物理可實現性物理可實現性ppczazazazG2211)(在數字控制器的設計中，還必須考慮系統穩定性方面的問題，必須避免用控制器的零點對消受控對象的不穩定的極點。同樣，也不能用控制器的不穩定的極點去對消受控對象中單位圓上或單位圓外的零點。為保證穩定性，設計中應該：（1）不能用D（z）來對消GH（z）的不穩定的和臨界穩定的極點，則GH（z）的全部不穩定極點和臨界穩定極點，必須作為1-Gc（z）的零點；（2）GH（z）的單位圓內的零點，用D（z）的極點對消，而GH（z）的位于單位圓外和單位圓上的零點，不

39、能用D（z）的極點對消，而必須作為Gc（z）的零點。5.3.1.2.2 穩定性穩定性根據上述條件選擇閉環傳遞函數Gc（z），誤差傳遞函數1-Gc（z），D（z）等等，使得所設計的離散時間系統在有限個采樣周期內，對特定類型的輸入信號的作用，輸出的穩態誤差為零，這種設計稱最少拍設計，這樣設計的離散時間系統稱為最少拍控制系統。但是，僅根據上述條件設計的最少拍控制系統只保證了在有限個采樣周期后，系統的響應在采樣點上是穩態誤差為零，而不能保證任意兩個采樣點之間的時間范圍內穩態誤差為零。這種離散時間系統輸出信號y（t）有振蕩，稱為最少拍振蕩系統，或稱最少拍紋波系統。離散時間系統在典型的輸入信號作用下，經過

40、有限個數目的采樣周期，系統輸出信號的穩態誤差為零，采樣點間無紋波；這樣的離散時間系統稱最少拍無紋波（或稱無振蕩）系統。根據物理可實現的條件和穩定的條件設計的最少拍離散時間系統是紋波系統。紋波的出現，即y（t）有振蕩，這一振蕩是由于受控對象的輸入控制u（t）在波動引起的，要消除系統的振蕩，必須對受控制對象的輸入控制u（t）進行限制。無振蕩系統要求在系統輸出信號采樣值之間不出現紋波，為此必須滿足：（5.47）這樣，對受控對象的輸入控制u（t）有要求：對階躍輸入信號，控制信號u（t）為常數，包括零；對速度和加速度輸入信號，u（t）為單調上升或單調下降的信號，若受控對象有足夠的積分環節，u（t）也可以

41、為常數。對加速度輸入對速度輸入對階躍輸入),(.)(),(.)(),(.)(nTtConsttynTtConsttynTtConstty 解析法設計過程中，根據GH（z）和R（z），選取閉環脈沖傳遞函數Gc（z）和誤差傳遞函數1-Gc（z）。由式（5.40）：1-Gc（z）=(1z-1)N F(z)輸入信號的z變換式為：（5.48）受控對象的脈沖傳遞函數：（5.49）GH（z）為GH（z）的不含（1z1）的因子部分。5.3.1.3 受控對象不包含單位圓外的極、受控對象不包含單位圓外的極、零點時的設計過程零點時的設計過程LzzAzR11)()()(11)(1ZGzzGHNH（1）Gc（z）的分子

42、多項式與分母多項式的階次差，與GH（z）分子多項式和分母多項式的階次差相同。以保證D（z）是物理可實現的。（2）如果GH（z）按z1展開成級數形式，Gc（z）按z1展開式中，最低的指數項的次數，至少應該等于GH（z）中最低指數的次數。（3）選擇1-Gc（z）表達式中的N，取為R（z）和GH（z）中L與N中較大者。（4）選擇F（z），通常，閉環控制系統到達穩態需之采樣周期的數目為N +M，其中N，即為1-Gc（z）中的N；M+1為受控對象GH（z）的脈沖傳遞函數中極點數多于零點數的數目。例如：GH（z）中，極點數比零點數多2，M=2-1=1。根據這一點，常常能確定Gc（z）的階數。又由于1- G

43、c（z）=(1-z-1)N F(z)則F（z）中包含有z0項的系數必然為1。111)(2212zzzzzzGH例例5.4如圖所表示的采樣數據控制系統，受控對象的脈沖傳遞函數為：T =1s，輸入信號分別為：單位階躍單位速度單位加速度分別設計出相應于這三種不同輸入信號的最少拍離散時間系統。解：解：首先，求取前面加有零階保持器的受控對象的脈沖傳遞函數：) 1(10)(sssGp)3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 33679. 01111)1 (101) 1(101) 1(101)(11111121111zzzzzzzzzssLzssseLzGTsH1.對單位階躍輸入信號第一步，

44、選擇系統的閉環脈沖傳遞函數Gc（z）和誤差的脈沖傳遞函數1-Gc（z）。（1）根據前面的分析，GH（z）中有一個z1，則Gc（z）中必包含一個z1因子。（2）GH（z）的分母中有（1-z1），輸入信號為單位階躍信號：分母中也是（1-z1），則N=1。（3）GH（z）中極點數比零點數多1，即M+1=1，M=0。因而Gc（z）的階數大于或等于M +1=1。選擇：Gc（z）=z11- Gc（z）=1-z1這樣選，Gc（z）的傳遞函數的分子比分母低一階，GH（z）的分子比分母多項式也低一階。且選擇：F（z）=1111)(zzR第二步，求D（z）：第三步，檢驗誤差序列：由誤差的變換函數得知，所設計的系統

45、，當k 1后，e（k）=0。就是說，一拍以后，系統輸出等于輸入信號，見圖（5.25a）。設計計算正確。11111111718. 01)3679. 01 (2717. 0)1 ()3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 3)(1)()()(zzzzzzzzzGzGzGzDcHc111)1 ()()(1)(11zzzRzGzEc2.對速度輸入信號，與對階躍輸入信號設計步驟一樣：選擇：F（z）=1則：解之，得： K=2，b=-0.5211211)1 (1)1 ()(zzsTzTzzR2111)1 ()(1)1 ()(zzGbzKzzGcc21212111211)1 ()1 (1zzK

46、bzKzzbzKz所以：求解D（z）：檢驗誤差誤差：誤差的z變換函數E（z）說明，按單位速度輸入設計的系統，當k2之后，即二拍之后，誤差e（k）=0，如圖5.25（b）所示。滿足題目要求。2111)1 ()(1)5 . 01 (2)(zzGzzzGcc)718. 01)(1 ()3679. 01)(5 . 01 (5434. 0)1 ()3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 3)5 . 01 (2)(1)()()(111121111111zzzzzzzzzzzzGzGzGzDcHc121121)1 ()1 ()()(1)(zzzzzRzGzEc3.對單位加速度輸入：選擇：由得

47、出：解之，得： K=3b1=-1 b2=1/3則：sTzzzTzR1)1 (2)1 ()(311123122111)1 ()(1)1 ()(zzGzbzbKzzGcc3122111)1 ()1 (1)(1zzbzbKzzGc321322113311zzzzKbzKbKz31211)1 ()(1)311 (3)(zzGzzzzGcc求D（z）：檢驗E（z）：由誤差的z變換函數可知，按加速度輸入信號設計的系統，當k3以后，即三拍之后，誤差e（k）0，見圖5.25（c）所示。)718. 01 ()1 ()3679. 01)(311 (8154. 0)1 ()3679. 01)(1 ()718. 01

48、 (679. 3)311 (3)(1)()()(121121311111211zzzzzzzzzzzzzzGzGzGzDcHc213111315 . 05 . 0)1 (2)1 ()1 ()()(1)(zzzzzzzRzGzEc（a）針對單位階躍輸入信號設計的系統（b）針對單位速度輸入信號設計的系統（c）針對單位加速度輸入信號設計的系統圖5.25例5.4最少拍離散時間系統的輸入、輸出和誤差系統響應：從本例的設計計算中可以看到：對同一個受控對象，當輸入信號不同時，所設計得出的控制器D（z）是不同的。不同的控制器使閉環系統在不同的信號作用下，實現了最少拍控制。本例中，受控對象GH（z）的特點是：（

49、1）分子多項式比分母多項式低一階；（2）不包含單位圓外極、零點。在這種情況下，針對單位階躍、單位速度和單位加速度輸入作用下，得到的閉環系統和控制器列入下表5.4中。654323111213625169321)1 (2)1 ()311 (3)()()(zzzzzzzzzzzRzGzYc表表5.4 最少拍系統設計最少拍系統設計從上例的設計中，可以看到，最少拍系統的設計，是用控制器D（z）的零點去對消受控對象脈沖傳遞函數中的極點。對于穩定的受控對象，這種對消是允許的。然而，當受控對象的脈沖傳遞函數中包含有z平面上單位圓外或單位圓上的極、零點時，這種對消將導出一個不穩定的數字控制器。這是絕對不允許的。

50、此時：（1）必須在閉環脈沖傳遞函數Gc（z）中加入單位圓外的零點，以消掉受控對象中的單位圓外的零點；（2）還必須在誤差的脈沖傳遞函數1-Gc（z）中加入不穩定的零點，以消掉受控對象中的單位圓外或圓上的極點。這樣做，保證了閉環脈沖傳遞函數Gc（z）是穩定的，也保證了D（z）是穩定的。5.3.1.4 受控對象包含單位圓外或圓上受控對象包含單位圓外或圓上的極、零點時的設計過程的極、零點時的設計過程例例5.5 上例中，若受控對象傳遞函數為：T =0.2s，輸入為單位階躍信號，試設計一個最少拍離散時間系統。解解：與例5.4中的步驟一樣。第一步，求GH（z）：) 105. 0)(11 . 0(10)(ss

51、ssGp)0183. 01)(135. 01)(1 ()14. 11)(045. 01 (76. 00183. 005. 0135. 02 . 0115. 0) 1() 1(10105. 00025. 011 . 002. 015. 01) 1(10)(1)(11111122zzzzzzzzzzzzzTzzzssssLzzsGseLzGpTsH第二步，選擇閉環脈沖傳遞函數Gc（z）和誤差的脈沖傳遞函數1-Gc（z）。選擇時除物理可實現的條件外，尚需滿足穩定性的條件。由于GH（z）包含有單位圓外的零點，則Gc（z）中必須包含這一零點。對單位階躍輸入：選擇：則：解之，得：K=0.467，a=0.5

52、33故：111)(zzR)1)(1 ()(1)14. 11 ()(1111azzzGzKzzGcc2121)1 (114. 11azzaKzKz)533. 01)(1 ()(1)14. 11 (467. 0)(1111zzzGzzzGcc第三步，求D（z）：第四步，檢驗誤差：求系統響應：)533. 01)(045. 01 ()0183. 01)(135. 01 (615. 0)533. 01)(1 ()0183. 01)(135. 01)(1 ()14. 11)(045. 01 (76. 0)14. 11 (467. 0)(1)()()(11111111111111zzzzzzzzzzzzzz

53、zGzGzGzDcHc1111533. 0111)533. 01)(1 ()()(1)(zzzzzRzGzEc4321111467. 011)14. 11 (467. 0)()()(zzzzzzzzRzGzYc由于GH（z）中包含有單位圓外零點。該零點不能用D（z）的極點對消，而必須作為閉環脈沖傳遞函數Gc（z）的零點，而且GH（z）的分子中z-1的最低階指數為1，則Gc（z）=K z-1（1+1.14 z-1），為二階方程。所以1-Gc（z）必然為二階方程。針對單位階躍輸入，L=1，則F（z）不再為1，而是一階的有限項多項式，F（z）=（1+a z-1）=（1+0.533 z-1）。這樣，誤

54、差脈沖傳遞函數中出現了z-1項，在k2以后，誤差為零。右圖繪出了系統的r（k）、y（k）和e（k）。根據物理可實現性和穩定性的條件設計的最少拍離散時間系統，在有限個采樣周期后，系統的穩態誤差為零。但只是在采樣點上系統的輸出誤差為零，在采樣點之間有脈動。例例5.6 對對例5.4中，輸入是階躍信號下設計的系統，求輸出響應y（t），并求保持器的輸出。解：解：（1）求系統的輸出采樣點之間的輸出，可以用修正的z變換求得，這時系統的各部分表示于上圖中。采樣點之間的響應的z變換為：（5.50）（5.51）5.3.1.5 最少拍無振蕩系統設計最少拍無振蕩系統設計)(),(),(zUTzGTzYH)()()(z

55、EzDzU（5.52）當T =1s時：求采樣點間一半時間處的輸出，即y（kT+T）中的T=0.5。有： TTTsTspTsHezezzTTKesssKLzesGseLTzG) 1(111111)1 ()(1),(2111113679. 01)1 (11),(zezzzTKTzGTH)()(),(),(zEzDTzGTzYH由例5.4已經求得：E（z）=1)(718. 01)3679. 01 (2718. 0)(11zEzzzD1718. 01)3679. 01 (2718. 03679. 01)1 (1110),(111111zzzezzzTTzYT將T=0.5代入，得：87654321021

56、211111119645. 00496. 19311. 00961. 18662. 01804. 17405. 03615. 12896. 0718. 0282. 01148636. 0279876. 128958. 0718. 01)3679. 01 (2718. 03679. 016065. 0)1 (115 . 010)5 . 0 ,(zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzY計算得出的y（t）的變換函數各值對應于T =0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，8.5s時的系統輸出y（t）的值。系統的輸出y（t）曲線繪于圖5.28（a）。（2）求受控對象的輸入控制U

57、：式中各系數對應了u（k）的值。保持器的輸出信號u（t）對時間t的變化曲線，繪于圖5.28（b）。87654321110291. 00406. 00564. 00785. 01093. 01522. 02119. 02951. 02718. 01718. 01)3679. 01 (2718. 0)()(1)()()()(zzzzzzzzzzzRzGzDzEzDzUc圖5.28例5.6系統的響應和控制從圖5.28（a）看到，雖然例5.4中設計的閉環系統，在一個采樣周期后，系統進入穩態，采樣點時刻系統輸出信號的誤差為零。但y（t）在采樣點之間的誤差不是零，而是有差的，既y（t）是脈動的。這種輸出信

58、號的脈動，稱為紋波，這樣設計的閉環離散時間系統稱為最少拍紋波離散時間系統。從圖5.28（b）看到，輸出信號的脈動，是由于受控對象的輸入控制u（t）的變化引起的，就是說，最少拍紋波離散時間系統進入穩態以后，輸入控制u（t）在波動。為了消除紋波，系統設計中除必須滿足物理可實現性和穩定性的條件外，還必須滿足對控制的要求，滿足式（5.47）表示的條件。考查U（z）：（5.53）為使u（t）在最少拍后不再波動，Gc（z）中除必須包含有GH（z）中單位圓外和單位圓上的零點作為自己的零點外，還必須將GH（z）中全部單位圓內的零點作為自己的零點。)()()()()()(zRzGzGzGzYzUHcH例例5.7

59、 例5.4所示的采樣數據控制系統，T=1s（1）針對單位階躍輸入信號，試設計最少拍無紋波離散時間系統。（2）求該系統對單位速度輸入信號的響應。解：解：（1）針對單位階躍輸入信號第一步，由例5.4得：第二步，根據物理可實現的條件，穩定性的條件，還根據無紋波的條件，取：又根據F（z）的首項必須是1，且1-Gc（z）的階數與Gc（z）的階數相同，有：)3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 3)(1111zzzzzGH)()1 ()(1)718. 01 ()(111zFzzGzzbzGcc)1)(1 ()(111azzzGc第三步，求解：則：a 1=-b a =0.718b解之，得：

60、 b=0.582，a =0.418故：第四步，求D（z）：211121) 1(1)1)(1 (718. 01)(1azzaazzzbbzzGc)418. 01)(1 ()(1)718. 01 (582. 0)(1111zzzGzzzGcc1111111111418. 01)3679. 01 (1582. 0)418. 01)(1 ()718. 01 (582. 0)718. 01 (679. 3)3679. 01)(1 ()(1)()(1)(zzzzzzzzzzzGzGzGzDccH第五步，校驗誤差序列：則：e（0）=1，e（1）=0.418，e（2）=e（3）=0所設計的系統在k2時進入穩態