1、微積分（一）微積分（一） calculus4.1微分中值定理微分中值定理4.2洛必達法則洛必達法則4.3用導數研究函數的單調性、極值、和最用導數研究函數的單調性、極值、和最值值4.4函數曲線的凹向及拐點函數曲線的凹向及拐點4.5曲線的漸近線與函數作圖曲線的漸近線與函數作圖4.6導數在經濟學中的應用導數在經濟學中的應用第四章第四章 中值定理及導數的應用中值定理及導數的應用微積分（一）微積分（一） calculus4.1 微分中值定理微分中值定理一、引言一、引言二、微分中值定理二、微分中值定理 1、羅爾、羅爾(Rolle)定理定理 2、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)定理定理 3、柯西、柯西

2、(Cauchy)定理定理三三 、小結、小結微積分（一）微積分（一） calculus一、引言一、引言(Introduction) 導數刻劃函數在一點處的變化率，它反映導數刻劃函數在一點處的變化率，它反映函數在一點處的局部變化性態；但在理論研究函數在一點處的局部變化性態；但在理論研究和實際應用中，還需要把握函數在某區間上的和實際應用中，還需要把握函數在某區間上的整體變化性態。整體變化性態。 中值定理揭示了函數在某區間上的整體性中值定理揭示了函數在某區間上的整體性質與該區間內某一點導數之間的關系。質與該區間內某一點導數之間的關系。 中值定理既是利用微分學解決應用問題的中值定理既是利用微分學解決應用

3、問題的模型，又是解決微分學自身發展的理論基石。模型，又是解決微分學自身發展的理論基石。微積分（一）微積分（一） calculus二、微分中值定理二、微分中值定理The Mean Value Theorem 在微分中值定理的三個定理中，拉在微分中值定理的三個定理中，拉格朗日格朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，中值定理是核心定理，羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推廣。理是它的推廣。 下面我們逐一介紹微分中值定理。下面我們逐一介紹微分中值定理。微積分（一）微積分（一） calculus1、羅爾、羅爾 ( Rolle ) 定理定理(R-Th),ba

4、1) 在閉區間在閉區間 上連續上連續; 2) 在開區間在開區間),(ba 內可導內可導;有一點有一點則在則在),(ba內至少內至少),( ba 使使.0)(f若函數若函數)(xf滿足：滿足：),()(bfaf3)aboyABx)(xfy 微積分（一）微積分（一） calculus幾何意義幾何意義: 在兩端點高度相同的連續光滑的曲線弧上在兩端點高度相同的連續光滑的曲線弧上,若除端點外處處有不垂直于若除端點外處處有不垂直于x軸的切線軸的切線,則此曲則此曲線弧上至少有一點處的切線是水平的線弧上至少有一點處的切線是水平的.或者說切或者說切線與端點的連線線與端點的連線AB平行平行.aboyABx)(xf

5、y 微積分（一）微積分（一） calculus證明證明( ) , max(min) ( )M(m) , f xC a bf xa bxaboyAB)(xfy 1) 若若,mM 即即)(xf恒為常數恒為常數, 0)( xf可取可取(a, b)內任一點作為內任一點作為;2) 若若,mM 由由)()(bfaf知知,M , m 至少有一個要在至少有一個要在),(ba內取得內取得.不妨設不妨設 M 在在),(ba內點內點 處取得處取得,即即( )fM)(affxf ( )( )xfxf)()(0000,xx ( )0( )0ff所以所以,. 0)(f證畢證畢.微積分（一）微積分（一） calculus3

6、 11( 1)(1)0(0)0yxfff在在，端端點點的的函函數數值值不不相相等等，即即, ,但但存存在在 = = , ,使使如如, ,得得例例. .110 xy3yx注意：注意：羅爾定理的條件組是結論成立的充分條羅爾定理的條件組是結論成立的充分條件，任一條都不是必要條件。件，任一條都不是必要條件。 若函數不滿足條件組，則不一定有羅爾定若函數不滿足條件組，則不一定有羅爾定理的結論。理的結論。微積分（一）微積分（一） calculusxyo1 11再如再如, 1 011- )(2xxxxf0,(0)0f存在使得在右端點不連續在右端點不連續,但但微積分（一）微積分（一） calculus然而然而,

7、;1 , 1, xxyw注意：注意：零值定理求函數的零點零值定理求函數的零點(函數方程的實根函數方程的實根)，羅爾定理求導數的零點羅爾定理求導數的零點(導數方程的實根導數方程的實根)。w題型題型1：驗證定理的正確性。定理結論中的：驗證定理的正確性。定理結論中的 客觀客觀存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導數為零，求解方程的根，可確定其具體位置。數為零，求解方程的根，可確定其具體位置。w題型題型2：找區間：找區間(比較復雜比較復雜)；w題型題型3：找函數：找函數(由結論入手，求解微分方程由結論入手，求解微分方程)yx101yx在在x=0處不可導

8、處不可導,也不存在結也不存在結論中的點論中的點0( ).f，使得微積分（一）微積分（一） calculus32( )2525, 1,1,( )( )0.1 f xxxxxf xRollef設驗證是否滿足定理的條件？若滿足,求出使例定理中的322( )2525 ( )6102( ) 1,1( 1,1)( 1)(1)0.( ). f xxxxfxxxf xfff xRolle都是多項式；在上連續,在內可導且滿足定理的三個條件解微積分（一）微積分（一） calculus21211( )61020 ( 11)537( 1,(1)65376( 1,1)(1,1) (0.) ff而得 ， 在內存在一點 ，

9、使得舍去微積分（一）微積分（一） calculus( )(2)(1)(1)(3)2,( )0f xxxxxfx已知不求導數，試確定有幾個實根例及其所在范圍.( ),( )( )-2 -1-1113( )(-2 -1) (-11) (13)( 2)( 1)(1)(3)0,( )-2 -1-1113Th. f xfxf xf xfffff xR都是多項式在閉區間， ， ，上連續， 在開區間， ， ，上可導;且在， ， ，上均滿足條件解微積分（一）微積分（一） calculus112233123( 2, 1)( )0( 1,1)()0(1,3)()0. ( )0.ffffx在在內內至至少少存存在在一

10、一點點, ,使使；在在內內至至少少存存在在一一點點, ,使使；在在內內至至少少存存在在一一點點, ,使使即即、 、 是是的的三三個個實實根根( )0(-2 -1),(-11),(13) .fxQ又又為為三三次次方方程程它它最最多多只只有有三三個個實實根根這這三三個個實實根根，它它們們分分別別在在區區間間，內內注：注：本例中，應用定理的本例中，應用定理的關鍵關鍵是主動是主動找區間找區間。微積分（一）微積分（一） calculus( ) , (0)( , )( ),( , )( )( )(.3) xa baba bff abaa bf bff設在上連續，在內可導，且證明在內至少存在一得例點 ，使(

11、 )( )( )( )0( )0;( )( )(0( )( )f xfxxfxf xxxf xF xxf xF xxf xFx 若令 則問題的結論就轉化為證明構造輔助函數，就可以用 羅爾定理分析來證明。微積分（一）微積分（一） calculus( )( ),( )( )( )( ) , ( , )( )( )( ) , ( , )( )0,( )( )( )0( ). F xxf xF xxfxf xF xa ba bF aF babF xa ba bFffff令則在上連續，在內可導， 且端點值相等：,在上滿足羅爾定理條件，于是至少存在一點，使得即證明微積分（一）微積分（一） calculus

12、例例4 設設f(x)可導，且可導，且f(a)=f(b)=0，試證在，試證在(a,b)內內至少存在一點至少存在一點 ，使，使f( )+f ( )=0證明：證明：構造函數構造函數 F(x)=f(x)ex則則 F(a)=f(a)ea=0 F(b)=f(b)eb=0由于由于F(x)在在a,b上連續，在開區間上連續，在開區間(a,b)內可導內可導且且 F (x)=f (x)ex+f(x)ex所以，在所以，在(a,b)內至少存在一點內至少存在一點 ，有，有F ( )=0即即 e f ( )+e f( )=0 f( )+f ( )=0微積分（一）微積分（一） calculus例例5 已知已知f(x)在區間在

13、區間(a,b)內存在二階導數，內存在二階導數，ax1x2x3b，且，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，試證明，試證明在在(a,b)內至少存在一點內至少存在一點 ，使，使f ( )=0證明：證明：f(x)在區間在區間(a,b)內二階可導內二階可導f(x)在區間在區間x1,x2，x2,x3內連續可導內連續可導 f(x1)=f(x2)=f(x3)由羅爾定理，存在由羅爾定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3)使得使得f ( 1)=0，f ( 2)=0再由羅爾定理得，再由羅爾定理得，12( ,)( , )a b Q3123( ,)( , ),()0. a b f 存存在在使使得得微積分（一

14、）微積分（一） calculus( )0,1(0,1)(1)0,:(0,1)2 ( )( )sin20.6xffff 在在上上連連續續，在在內內可可導導，且且證證明明 至至少少存存在在一一點點使使得得例例2 ( )( )sin20ff當當（0 0，1 1）分分析析時時, ,有有( )( )sincos0ff1( )( )sin0cosff21( )( )tan0cosff ( )tan 0 xf xx解解答答微積分（一）微積分（一） calculus( )( )tan ,F xf xx證設明( )0,1(0,1)(0)(0)tan0(1)(1)tan10( )0,1F xFfFfF x顯然，在

15、上連續，在內可導且有所以，在上滿足羅爾定理的條件.( )0,2 ( )( )sin20.Fff于是，至少存在一點(0,1),使得即微積分（一）微積分（一） calculus解解答答2( )23, 1,3,( )( )0. f xxxxf xRollef 設驗證是否滿足定理的條件？若滿足,求出定理中使的2( )23( ) 1,3( 1,3)( 1)(3)0.,( ).( )2(1)0( 13),1( 1,3)1( )0.f xxxf xfff xRolleff Q 是是一一個個多多項項式式在在上上連連續續, ,在在內內可可導導又又因因此此滿滿足足定定理理的的三三個個條條件件故故有有得得即即在在內

16、內存存在在一一點點，使使得得微積分（一）微積分（一） calculus解解答答.015有且僅有一個正實根有且僅有一個正實根證明方程證明方程 xx2）唯一性）唯一性, 1)(5 xxxf設設,1 , 0)(連續連續在在則則xf. 1)1(, 1)0( ff且且由零點定理由零點定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的正實根即為方程的正實根.,),1 , 0(011xxx 設另有設另有. 0)(1 xf使使01( ), ,f xx xQ在在之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的 條條件件使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx . 0)( f015)(4 xxf但但

17、)1 , 0( x矛盾矛盾,.為唯一實根為唯一實根1）存在性）存在性注意：注意：在后面，本題還將用其他方法加以證明。在后面，本題還將用其他方法加以證明。微積分（一）微積分（一） calculus2、拉格朗日、拉格朗日 (Lagrange) 定理定理(L-Th)或或f bf afba( )( )( )(1),ba1) 在閉區間在閉區間上連續上連續; 2) 在開區間在開區間),(ba內可導內可導;至少有一點至少有一點 (),ab使得若函數若函數)(xf滿足：滿足：aboyABx)(xfy C( )( )( )( - )(2)f bf afb a則在則在),(ba內內定理定理微積分（一）微積分（一）

18、 calculus幾何意義：幾何意義： 在連續、光滑的曲線弧上，除端點外處處有在連續、光滑的曲線弧上，除端點外處處有不垂直于不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點點C，在該點處的切線與連接兩端點的弦平行，在該點處的切線與連接兩端點的弦平行.aboyABx)(xfy C( )( )f af b當時，結論就是羅爾定理,即羅爾定理是拉格朗日中值定注：理的特例.微積分（一）微積分（一） calculus分析分析要證要證( )( )( ),f bf afba即證即證0)()() (abafbff即證即證( )( )( )()0f bf af xxaba令令( )

19、( )( )( )()f bf axf xxaba只須證只須證( )0, 只須證只須證)(x在在,ba上滿足羅爾定理條件上滿足羅爾定理條件.微積分（一）微積分（一） calculus證明證明( )( )( )( )()f bf axf xxaba易見易見)(x在在,ba上連續，上連續， 在在),(ba內可導，內可導， 且且( )a( ),f a即即( )( ).ab根據根據羅爾定理羅爾定理知，知，),(ba使使( )0, 即即( )( )( )0,f bf afba即即構造輔助函數構造輔助函數( )( )( ).f bf afba( )( )bf a微積分（一）微積分（一） calculus2

20、) 定理結論肯定中間值定理結論肯定中間值 的客觀存在的客觀存在,但但未指明確切位置未指明確切位置,可通過求解導數方程確可通過求解導數方程確定。定。(題型題型1：驗證定理的正確性：驗證定理的正確性)1) 定理的條件組是充分條件。定理的條件組是充分條件。.注意注意3)題型題型2：找區間；：找區間；4)題型題型3：找函數；：找函數；5)題型題型4：證明等式；：證明等式；6)題型題型5：證明不等式：證明不等式。微積分（一）微積分（一） calculus1) (1)或或(2)式對于式對于ab時也成立時也成立.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.2) 若令若令,aba則則10,于是拉格朗日公式可寫成于是拉格

21、朗日公式可寫成:( )( )( )()f bf af ababa) 10(3)3) 若令若令,xxbxa則得有限增量公式則得有限增量公式:)()(xfxxfyxxxf)() 10(4)說明說明( )( )( )()f bf afba（2）注注 式中的式中的可能不止一個可能不止一個,這并不影響它在理論上的應用這并不影響它在理論上的應用微積分（一）微積分（一） calculus 4） 是函數增量是函數增量 的近似表達式的近似表達式 是函數增量是函數增量 的精確表達式的精確表達式yy()fxxx ( )dyfxx微積分（一）微積分（一） calculus( ) , ( , )( )0,( )1,f

22、xa ba bfxf xa b如果函數在閉區間上連續，且在開區間內恒有則在閉區間上恒推論為常數.證明證明 不妨設不妨設12,xx在在,21xx上應用中值定理上應用中值定理,),(21xx使使)()()(1212xxfxfxf0)()(12xfxf所以所以, 由由21,xx的任意性知的任意性知,( )f x 恒為常數.),(,21baxx 對對微積分（一）微積分（一） calculusarcsinarccos.27xx例證明等式:( )arcsinarccos( ) 11( 1,1)( )0;1, 11( ),arcsinarccos.f xxxf xfxf xc cxxc令;顯然，在，上連續,

23、在內可導,且由推論 知 在，上 ( 為常數）即證明0;2arcsinarccos.2xcxx令,得故有微積分（一）微積分（一） calculus例例8 已知函數已知函數f(x)在在(,+ )內滿足關系式內滿足關系式f (x)=f(x)，且，且f(0)=1,證明：證明：f(x)=ex 。證明：證明：構造函數構造函數( )( )xf xF xe2( )( )( )()xxxfx ee f xF xe( )( ),( )0;( )fxf xF xF xQ為為常常數數. .0,(0)1,( )1.x FF x 取取( ).x f xe從從而而微積分（一）微積分（一） calculus( )( ) ,

24、( , )( )( ),( ) , ( )( )2f xg xa ba bfxgxf xa bf xg xcc如果函數與在閉區間上連續，且在開區間內恒有則在閉區間上恒有推論（ 為常數）證明證明( )( )( )F xfxg x有, 0由推論由推論1知知,)(cxF即即( )( ).f xg xc( )( )( ),F xf xg x令微積分（一）微積分（一） calculus解解在閉區間在閉區間0，1上連續上連續,在開區間在開區間(0,1)內可導內可導,滿足拉格朗日中值定理的條件滿足拉格朗日中值定理的條件, 2( )f xx)0() 1 (ff)01)(f即即201) 1 , 0(21即的確在

25、即的確在 (0,1) 內找到內找到12使定理成立使定理成立.應用定理知應用定理知例例9 驗證拉格朗日中值定理對函數驗證拉格朗日中值定理對函數2( )f xx在區間在區間 0,1 上的正確性上的正確性,并求并求.微積分（一）微積分（一） calculus的值。的值。論求論求拉格朗日定理，并由結拉格朗日定理，并由結上滿足上滿足，在在驗證函數驗證函數 10arctan)(xxf解解答答).10(4411)(11)(40arctan1arctan01)0() 1 ()() 1 , 0() 10( 10arctan)(22fxxffffxxf又又，使得，使得點點內至少存在一內至少存在一所以在所以在滿足拉

26、氏定理的條件，滿足拉氏定理的條件，內可導，內可導，上連續，在上連續，在，在在由于由于4(0,1) () 舍去微積分（一）微積分（一） calculus0 x時時,例例10 證明證明: 當當.)1ln(1xxxx證證 設設( )ln(1),f xx0 x對對)1ln()(xxf在在0, x上應用上應用拉氏中值定理拉氏中值定理,), 0(x, 使使)0)()0()(xffxf)01ln()1ln( x即即,1x因因0, x 所以所以1x xx1. x即即.)1ln(1xxxx微積分（一）微積分（一） calculus( ) , ( , )( , ),( )( )( )( )11f xa ba ba

27、 bbf baf affba已已知知在在上上連連續續, ,在在內內可可導導, ,證證明明在在內內至至少少存存在在一一點點使使得得例例( )( ),( ) , ,( ) , ( )( )( )()F xxf xF xa ba bF xa bF bF aFabba設根據已知可得：在上連續,在()內可導；在上滿足拉格朗日定理條件.明故有證微積分（一）微積分（一） calculus( )( )( ),( )( )( )( , )( )( )( )( )FxfxxfxFffa bbf baf affba又因 此 ， 在內 存 在 一 點， 使微積分（一）微積分（一） calculus( ) , ()(

28、, )( , )1()aba bxa b aba bfa bbeaeba ee 設在上連續，在內可導，試證在內存在一點 ，使得()()baxxbeaeeexeba改寫為：析式分等證證明明微積分（一）微積分（一） calculus( , )( )( )( )a bF bF aFba由拉格朗日定理知，至少存在一點使得1,()babeaeeba即（）1().aba bbeaeba ee故( ),( ) , ( , )( )xxxF xxeF xa ba bF xexe設則在上連續,在內可導,且證明；微積分（一）微積分（一） calculusarcsinarcsin,1,1證明若，不等式顯然成立.(

29、)arcsin ,( ) ,( )( )( )()()f xxf xfff 若，不妨設;令顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是有證證明明微積分（一）微積分（一） calculus21arcsinarcsin.1在上式兩邊取絕對值得arcsin- arcsin.對的 情 形 ， 證 法 類 似 .故21arcsinarcsin(),()1即2211,1,0 111.1 注意到因此微積分（一）微積分（一） calculus若函數若函數)(),(xgxf滿足滿足:,則在則在 ),(ba內至少存在一點內至少存在一點使得使得,ba1) 在閉區間在閉區間上連續上連續;( )( )( )( )( )(

30、)f bf afg bg ag 2) 在開區間在開區間),(ba內可導內可導;( )0,g x且且( )THg xxL柯柯西西中中值值定定理理是是拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的推推廣廣，當當時時，即即為為注注- -意意：. .3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(C-Th)定理定理微積分（一）微積分（一） calculus2( )1( )ln1221f xxg xx驗證與在 ，上滿足柯西中值定理條件，并求相應例的值.2( )1, ( )ln1 2,1(1,2),( )0 (1,2);( )( )1 2,(1,2)(2)(1)( )(12)(2)(1)( )f xxg xxg x

31、xxf xg xfffggg由由于于在在 ，上上連連續續在在內內可可導導 且且所所以以與與在在 ，上上滿滿足足柯柯西西定定理理條條件件因因此此在在內內至至少少存存在在一一點點 ，使使解解微積分（一）微積分（一） calculus52( )2ln2ln1( )133;(1,2)2ln22ln2xxfxxg xx 22取2( )1( )ln12f xxg xxx ，(2)(1)( )(12)(2)(1)( )fffggg由得微積分（一）微積分（一） calculusZ 思考思考 1 1、如如果果)(xf在在,ba連連續續，在在),(ba可可導導，c為為介介于于 ba,之之間間的的任任一一點點，那那

32、么么在在),(ba（ ）找找到到兩兩點點 12, xx，使使)()()()(1212cfxxxfxf 成成立立. . （A A）必必能能； （B B）可可能能； （C C）不不能能； （D D）無無法法確確定定能能 . .2、證明、證明bbabaaba ln微積分（一）微積分（一） calculus解答解答2o 對對f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba 111,.baabQ)(1lnln)(1babbabaa 2、證明證明 1o 由所要證明的不等式選定一函數由所要證明的不等式選定一函數f(x) 及定義區間及定義區間: 令令 f(x)=lnx , xb, a.1、 B .點c不能為任意，因為函數和區間確定時，L-TH結論中的c的位置是客觀確定的。微積分（一）微積分（一） calculus 例例17：設設f(x)在在a,b上連續，在上連續，在(a,b)內可導，證內可導，證明：在明：在(a,b