1、吉林省長春市2021-2022學年高二上學期期末考試數學試卷注意事項：1.本試卷分第I卷和第II卷，共4頁。滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；4.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。5.考試結束，只需上交答題卡。一、單選題：本大題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知直線與直線平行，則實數a的值為（ ）A1BC1或D2已知橢圓=1的離心率為，則k的值

2、為（ ）A4BC4或D4或3已知圓，則圓C關于直線對稱的圓的方程為（ ）ABCD4如圖，在長方體中，則直線和夾角的余弦值為（ ）A B C D5已知數列為等比數列，若，則的值為（ ）A-4B4C-2D26已知數列滿足，則的最小值為（ ）ABCD7已知動點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則線段的長度的最小值為（ ）AB4CD8已知點在橢圓上，與關于原點對稱，交軸于點，為坐標原點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分9已知數列中，則下列說法正確的是（ ）A B

3、是等比數列C D 10等差數列的前項和為，公差為，若，則下列結論正確的是（ ）A若，則B若，則最小CD 11已知橢圓：內一點，直線與橢圓交于，兩點，且是線段的中點，則下列結論正確的是（ ）A橢圓的焦點坐標為，B橢圓的長軸長為4C直線的方程為D12已知正方體的棱長為1，點，分別為棱，的中點，下列結論正確的是（ ）A四面體的體積等于B平面C平面與平面夾角余弦值為D平面第卷 非選擇題（非選擇題共二大題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13已知數列的前n項和為，且，則數列的通項公式為_14. 若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區域的面積為 15已知拋物線：上

4、有兩動點、，且，則線段的中點到軸距離的最小值是_.16橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，則的取值范圍是_.四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟。17已知直線l過點A（3，1），且與直線4x3y+t0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2m相交于點P，Q，且|PQ|8，求圓C的方程18已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.19已知動點M到定點和的距離之和為4（1）求動點軌跡的方程；（2）若直線交橢圓于兩

5、個不同的點A，B，O是坐標原點，求的面積20. 如圖，四棱錐中，是邊長為4的正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點.（1）證明：平面；（2）求直線EP與平面AEF所成角的正弦值.21已知數列滿足，記數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前100項和22設橢圓過，兩點，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點、，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由。參考答案1A由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經檢驗可知符合題意.2C當焦點在軸上時，

6、且.當焦點在軸上時，且.3B設圓的圓心關于直線的對稱點為，則，所以對稱圓的方程為.4D如圖：以為原點，分別以，所在的直線為，軸建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以直線和夾角的余弦值為，5B因為，所以，則，解得，所以.故選：B6C因為，所以，式相加可得，所以，當且僅當取到，但，所以時，當時，所以的最小值為.7A解：由，得最小時，最小，而，所以8B設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.9ABC依題意，所以，則，所以數列的奇數項和偶數項，分別是以為公比的等比數列. .所以，A、B正確.，C正確.，D錯誤.10ACD解：因為，即，因為，所以

7、，所以當，所以，即，所以，所以，最小，此時；當，所以，即，所以，即所以，此時；故ACD滿足題意.11BCD由題意得：，所以，故，故焦點坐標為，A錯誤；因為，所以長軸長為，B正確；設點，則由，兩式相減可得：，整理得：，因為是線段的中點，所以，進而，所以直線的方程為，整理得：，C正確；直線與橢圓聯立得：，所以，由弦長公式得：，D正確.故選：BCD12ABC對于A，四面體的體積為，故A正確；對于B，正方體中，又，平面，平面，同理，又，平面，故B正確；對于C，以為原點，建立空間直角坐標如圖，設平面的法向量，則取，得，又平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則平面與平面的夾角的余弦值為，故C正確；對于

8、D，由C選項可知，平面的一個法向量，與平面不平行，故D錯誤.13.以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，如圖，設點，則，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點的軌跡圍成區域的面積為.14當時，當時，.檢驗：時，所以.故答案為：152設拋物線的焦點為，點在拋物線的準線上的投影為，點在直線上的投影為，線段的中點為，點到軸的距離為，則, ，當且僅當即三點共線時等號成立， 線段的中點到軸距離的最小值是2，故答案為：2.16解：設，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所

9、以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.17（1）3x+4y+50（2）x2+y217（1）因為直線l與直線4x3y+t0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+50，因此直線l的一般式方程為3x+4y+50；（2）圓C：x2+y2m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m42+1217，即m17，所以圓C：x2+y21718（1），（2）（1）因為數列是公差為2的等差數列，且成等比數列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.19（1）；（2）.（1）動點M到定點和的距離之和為4，動點M的軌跡是以和為焦點的橢圓，可設方程為，則，故動點

10、軌跡的方程為；（2）由可得，或，又O是坐標原點，的面積為.20（1）見解析（2）（1）證明：連接，是正方形，是的中點，是的中點，是的中點，平面，平面，平面；（2）取的中點，連接，則，因為是邊長為4的正三角形，所以，因為平面平面，且平面平面，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，設平面的法向量，則有，可取，則，所以直線EP與平面AEF所成角的正弦值為.21（1）（2）（1）因為，所以，兩式相減得，所以又，所以數列是首項為，公差為2的等差數列，所以.（2）由得，當時，當時，當時， 所以.22（1）（2）存在，（1）將，的坐標代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為（2）假設滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當直線的斜率存在時，令直線