1、第二章 軌跡與方程學習目標1 進一步理解曲線和方程的關系，會寫出平面曲線的矢量式（坐標式）參數方程，能將曲線的參數方程與普通方程進行互化，認識一些常見平面曲線的方程及形狀。2 理解曲面方程的概念，能根據曲面上點的特征性質來導出曲面的方程。3 初步理解柱面的概念，知道母線平行于坐標軸的柱面方程。4 理解空間曲線的一般方程、參數方程的概念，會求一些簡單的空間曲線的一般方程和參數方程。A：掌握1：基本概念：平面曲線的矢量式參數方程，曲面的一般方程和參數方程（坐標式和矢量式），空間曲線的一般方程和參數方程（坐標式和矢量式）。母線平行于坐標軸的柱面，空間曲線對坐標面的射影柱面及空間曲線在三坐標面上的射影

2、。2：基本方法 根據軌跡條件用矢量方法求平面曲線和空間曲線（圓柱螺旋線、圓錐螺旋線）的參數方程。 根據軌跡條件求曲面的一般方程和用矢量方法求曲面（球面、圓柱面）的參數方程。 將曲線、曲面的參數方程化為一般方程。 二次柱面簡圖的畫法。 求空間曲線對坐標面的射影柱面和它在三坐標面上的射影。 3：基本理論 三元二次方程表示球面（包括點球面、虛球面）的充要條件的證明及球心、半徑的求法 母線平行于坐標軸的柱面方程的特征及證明B：理解將平面曲線和空間曲線的一般方程化為參數方程的常規方法。教材分析本章的學習重點是曲面及空間曲線的一般方程和參數方程（坐標式和矢量式）的定義，以及根據軌跡條件建立曲面的一般方程和

3、參數方程、建立空間曲線的參數方程。本章的學習難點是用矢量方法建立曲線和曲面的矢量式的參數方程。在本章的學習中建議注意以下幾個問題：1：在學習軌跡與方程的對應關系時，必須弄清楚為什么要滿足兩個條件。2：學習空間曲面的一般方程時應指出F（x,y,z）=0未必表示一個曲面，它可以表示多個曲面、空間曲線、空間點虛曲面，例如方程xyz=0表示三個坐標面，方程表示一直線方程表示一點（1，-1，2）方程表示虛曲面3：空間曲線的一般方程不唯一，可以對空間曲線的一般方程進行同解變形，將方程組化簡，從而判定曲線的形狀和位置。例如：判定空間曲線(c)的形狀和位置.。所以兩球面的交線就是圓柱面與平面的交線，是平面上以

4、(0,0,a/2)為圓心，為半徑的圓。*注意 在不同的坐標系中同一個方程表示的圖形不同 例如：在中表示圓；在中表示圓柱面在中表示原點；在中表示z軸在學習中同學們要注意突破在平面解析幾何中形成的思維定勢，要在空間看問題。平面曲線的參數方程含一個參數，兩個坐標;曲面的參數方程含兩個參數，三個坐標；空間曲線的參數方程含一個參數，三個坐標，同學們要會根據參數方程的形式判定表示的是平面曲線或空間曲線或曲面。 4：用矢量方法推導曲線或曲面的參數方程是本章學習的難點，其關鍵是取定坐標系后把動點的徑矢分解為若干個矢量的和，如何分解？在求平面曲線中擺線族（擺線、內擺線、外擺線、圓的漸開線）的參數方程時動點運動的

5、軌跡可以看作動圓繞定圓公轉，同時動圓上一點繞動圓圓心自轉兩種圓周疊加，因此可以把動點的徑矢分解為定圓和動圓兩個半徑矢量之和利用圓的矢量式參數方程。求解。求空間曲面或曲線的參數方程時經常是作徑矢的坐標折線，把分解為平行坐標軸的三個矢量之和，這樣做便于找出x,y,z與參數之間的函數關系。5：化平面曲線和空間曲線的一般方程為參數方程是本章學習的又一難點，在學習中注意兩種常用的方法。化平面曲線的一般方程為參數方程，可過曲線上一點作直線束，求此直線束與曲線的交點。如：化橢圓的方程為參數方程。可在橢圓上取一點(0,b)，過(0,b)作直線束y=tx+b，求此直線束與橢圓的交點得：化空間曲線的一般方程為參數

6、方程，常用的方法之一是求空間曲線在坐標面上（例如xoy面上）的射影，求出射影（平面曲線）的參數方程，再代入原方程組解z。 例如：viviani曲線在xoy面上的射影是圓此圓的參數方程為即為簡便起見，設得再代入解得即得viviani曲線上、下兩葉的參數方程分別為若擴大的取值范圍為，則方程即可表示曲線上、下兩葉。6：參數方程與一般方程的互化，一定要注意方程的等價性，曲線上的點既不能增加，也不能減少。例如化半立方拋物線的方程為參數方程，若設x=t解得只能表示半立方拋物線的上半支。7：為了訓練自己的作圖能力，必須學會如何畫二交柱面的簡圖，作圖時先作出柱面與坐標面的交線，再作出它們平行于坐標面的截口，同

7、學們要自己練習。教學內容§2.1 平面曲線的方程平面上的曲線都看成具有某種特征性質的點的集合。曲線上點的特征包括兩層意思：（1）曲線上的點都具有這些性質；（2）具有這些性質的點都在曲線上。它也可以說成是點在曲線上的充要條件。曲線上點的特征性質，在建立了坐標系的平面上，反映為曲線上點的坐標x和y所應該滿足的相互制約條件，一般用方程F（x，y）=0或 y= f(x) 表達。一 定義2.1.1 當平面上取定了標架后，如果一個方程與一條曲線有關系：（1）滿足方程的（x，y）必是曲線上某一點的坐標；（2）曲線上任何一點的坐標（x，y）滿足這個方程，那么這個方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做這

8、個方程的圖形。為了方便起見，“點的坐標滿足方程”常說成“點滿足方程”。這時，點的坐標和方程的解滿足一一對應關系。在解析幾何中，曲線又表現為一個動點運動的軌跡，但是運動的規律往往不是直接反映為動點的兩個坐標x和y之間的的關系，而是表現反映為動點的位置隨著時間t改變的規律。當動點按照某種規律運動時，與它對應的徑矢也隨時間的不同而改變（即模與方向的改變），這樣的徑矢叫變矢，記作r(t)。如果變數t(atb) 的每一個值對應于變矢r的一個完全確定的值（模與方向）r(t)，那么我們就說r是變數t的矢性函數，把它記做r=r(t),atb.二定義2.1.2 若取t(atb) 的一切可能取的值，由 r(t)=

9、x(t)e1+y(t)e2(atb) 表示的徑矢r(t)的終點總在一條曲線上；反過來，在這條曲線上的任意點，總對應著以它為終點的徑矢，而這徑矢可由t的某一值t0 (at0b) 通過 r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb) 完全決定，那么就把表達式 r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb) 叫做曲線的矢量式參數方程，其中t 為參數。換種說法：r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb) 叫做曲線的矢量式參數方程，如果當 t在區間atb 內變動時，徑矢r(t) 的終點 P(x(t),y(t) 就描述出這條曲線來。因為曲線上點的徑矢r(t) 的分量為x(t), y(t)，所以曲線的參

10、數方程也常寫成下列形式 (atb)我們把這個表達式叫做曲線的坐標式參數方程。三應用：例1：求圓心在原點，半徑為R的圓的方程。例2：已知兩點A（-2，-2）和B（2，2），求滿足條件的動點M的軌跡方程。例3：已知直線l通過定點M0(x0,y0)，并且它與非零矢量共線，求直線l 的方程。 r=r0+tv (-<t<) 這是直線的矢量式參數方程，t為參數。 這是直線的坐標式參數方程。參數為t，它的幾何意義：當是單位矢量時，那么點M與M0之間的距離就等于，這是因為。 這是直線的對稱式方程或標準方程AX+By+C=0 這是直線的一般方程。 A，B的幾何意義：矢量 q=B,-A 是直線的一個方

11、向矢量，在直角坐標系下，P=A,B 垂直于矢量q=B,-A，從而垂直于直線，我們稱P=A,B為直線的法矢量。A=Y, B=-X C=-(Yx0-Xy0)例4：一個圓在一直線上無滑動的滾動，求圓周上一點P的軌跡。（這種曲線叫做旋輪線或擺線。）例5：已知大圓半徑為a ，小圓半徑為 b。設大圓不動，而小圓在大圓內無滑動的滾動，動圓圓周上某一定點P的軌跡叫做內旋輪線或內擺線，求內旋輪線的方程。例6：把線繞在一個固定圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡。（叫圓的漸伸線或切展線，在工業上常被采用為齒廓曲線）例7：把橢圓的普通方程 改寫為參數方程

12、。§2.2 曲面的方程一、 曲面的方程 一般表達式 F（x,y,z）=0 （1） 或 z=f(x,y)（2）定義2.2.1 如果一個方程（1）或（2）與一個曲面有著關系：滿足方程（1）或（2）的（x，y, z）是曲面上的點的坐標； 曲面上的任何一點的坐標（x，y, z）滿足方程（1）或（2），那么方程（1）或（2）就叫做曲面的方程，而曲面叫做方程（1）或（2）的圖形。曲面方程有時候沒有實點滿足它，這時方程不表示任何實圖形，我們稱為虛曲面。例1：求連接兩點A（1，2，3）和B（2，-1，4）的線段的垂直平分面的方程。例2：求兩坐標面xoz和yoz 所成二面角的平分面方程。例3：求坐標平

13、面yoz的方程。例4：一平面平行于坐標平面xoz ，且在y 軸的正向一側與平面xoz 相隔距離為k ，求它的方程。例5：設球面的中心是點C(a,b,c) ，而且半徑等于r，求它的方程。二、 曲面的參數方程設在兩個變數u,v的變動區域內定義了雙參數矢函數 r=r(u,v) 或r(u,v)=x (u,v)e1+ y(u,v)e2+ z(u,v)e3 (3)這里 x(u,v), y(u,v), z(u,v) 是變矢r(u,v) 的分量，它們都是變數u,v的函數。當 u,v 取遍變動區域內的一切值時，徑矢= r(u,v)=x (u,v)e1+ y(u,v)e2+ z(u,v)e3 的終點M(x (u,

14、v), y(u,v), z(u,v) 所畫的軌跡，一般為一張曲面。定義2.2.2 如果取u,v(aub,cvd)的一切可能取值，由（3）表示的徑矢 r(u,v)的終點M總在一個曲面上；反過來，在這個曲面上的任意點 M總對應著以它為終點的徑矢，而這徑矢可由u,v 的值(aub,cvd) 通過（3）式完全決定，那么我們就把表達式（3）叫做曲面的矢量式參數方程，其中 u,v為參數。 叫做曲面的坐標式參數方程。例6：求中心在原點，半徑為r的球面的參數方程。r=(rsincos)i+(rsinsin)j+(rcos)k (0,-<)例7：求以z 軸為對稱軸，半徑為R的圓柱面的參數方程。R=(Rco

15、s)i+(Rsin)j+uk (-<, -<u<+)§2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程 假設動點P（x,y,z）的坐標間的關系是不含變數z 的方程 F(x,y)=0 （1）。在xoy平面，這方程表示一條曲線L，這曲線上的點的坐標滿足這方程。假設L上的一點Q對于xoy平面上的平面坐標系的坐標是Q（x1,y1），那么點Q在空間坐標系的坐標是（x1,y1,0），顯然，這個坐標依然滿足以上方程，因此Q點在曲面（1）上，從而曲線L上的各點均在（1）上。不僅如此，自Q作oz軸的平行線QR，并于其上任取一點P1，假定QP1k，那么點P1的坐標（x1,y1,k）滿足（1），因此P

16、1也在曲面（1）上，從而整個直線在曲面（1）上；反過來，如果P1(x1,y1,z)在曲面上，那么有F(x1,y1)=0 。 所以，P1在平行于z軸且過曲線L上的點（x1,y1,0)的直線上。所以曲面（1）是由平行于z軸的直線沿曲線L移動而成，這樣的曲面叫柱面，曲線L叫做它的準線，形成柱面的動直線叫做它的母線。因此方程F（x,y）=0 決定一個母線平行于z軸的柱面。同理，F（y,z）=0 F（x,z）=0. 都表示柱面，它們的母線分別平行于x軸，y軸。例如方程 ： 表示母線平行于z軸的柱面，它在xoy平面上的準線為橢圓，所以叫橢圓柱面。 表示母線平行于z軸的柱面，它在xoy平面上的準線為雙曲線，

17、所以叫雙曲柱面。 y2=2px 表示母線平行于z軸的柱面，它在xoy平面上的準線為拋物線，所以叫拋物柱面。它們的方程都是二次的，所以都叫二次曲面。§2.4空間曲線方程一、 空間曲線的一般方程：空間曲線可以看作兩個曲面的交線。設 (1)是兩個曲面的方程，它們的交線為L。因為曲線L上的任何點的坐標應同時滿足這兩個曲面的方程，所以應滿足方程組(1),反過來，滿足方程組的任何一組解所決定的點，同時在兩個曲面上，即在兩曲面的交線上，因此，曲線L可以用方程組（1）來表示，方程組（1）表示空間曲線L的方程。我們把方程組（1）叫做空間曲線的一般方程。例1：寫出oz軸的方程。例2：方程組表示怎樣的曲線

18、?方程組表示怎樣的曲線？（方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,其準線是xOy面上的圓，圓心在原點O，半徑為1。方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面，由于它的準線是zOx面上的直線，因此它是一個平面。方程組就表示上述平面與圓柱面的交線。）（方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O ，半徑為a的上半球面。第二個方程表示母線平行于z 軸的圓柱面，它的準線是xOy面上的圓，這圓的圓心在點（a/2，0），半徑為a/2。方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。）例3：求在xoy坐標面上，半徑等于R，圓心為原點的圓的方程。二、空間曲線的參數方程：空間曲線也象平面曲線那樣，可用它的參數方程來表

19、達，這是另一種表達空間曲線的常用方法，特別是把空間曲線看作質點的運動軌跡時，一般常用參數表達法。空間曲線的參數方程與平面曲線的參數方程完全雷同，在空間建立坐標系后，設矢函數 r=r(t) (2) 或 r(t)=x(t)e1+y(t)e2+z(t)e3 (3)當t在區間atb內變動時，r(t)的終點M（x(t),y(t),z(t)）全部都在空間曲線L上，反過來，空間曲線L上的任意點的徑矢都可由t的某個值通過（2）或（3）來表示，那么（2）或（3）就叫做空間曲線L的矢量式參數方程，其中t(atb)為參數。 空間曲線的坐標式參數方程常寫成（atb）t為參數。例4：一個質點一方面繞一條軸線作等角速度的圓周運動，另一方面作平行于軸線的直線運動，其速度與角速度成正比，求這個質點運動的軌跡方程。（-<<+) 其中為