1、第十四章 傅里葉級(jí)數(shù)1 三角級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)1證明(1) ，是上的正交系；(2) ，是上的正交系；(3) 1，是上的正交系； (4) 1，不是上的正交系；2求下列周期為的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)： (1) 三角多項(xiàng)式； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) .3設(shè)以為周期，在絕對(duì)可積，證明： (1) 如果函數(shù)在滿足，則；(2) 如果函數(shù)在滿足，則.2 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性1將下列函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)，并討論收斂性： (1) ； (2) ；2由展開式， (1) 用逐項(xiàng)積分法求，在中的傅里葉展開式； (2) 求級(jí)數(shù)，的和.3 (1) 在 內(nèi)，

2、求的傅里葉展開式； (2) 求級(jí)數(shù)的和.4設(shè)在上逐段可微，且. ，為的傅里葉系數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)的傅里葉系數(shù)，證明：，.5證明：若三角級(jí)數(shù)中的系數(shù)，滿足關(guān)系，M為常數(shù)，則上述三角級(jí)數(shù)收斂，且其和函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).6設(shè)，求證：.7設(shè)以為周期，在上單調(diào)遞減，且有界，求證：.8設(shè)以為周期，在上導(dǎo)數(shù)單調(diào)上升有界. 求證：.9證明：若在點(diǎn)滿足階的利普希茨條件，則在點(diǎn)連續(xù). 給出一個(gè)表明這論斷的逆命題不成立的例子.10設(shè)是以為周期的函數(shù)，在絕對(duì)可積，又設(shè)是的傅里葉級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和，則 ，其中是狄利克雷核.11設(shè)是以為周期，在連續(xù)，它的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂. 求證：.12設(shè)是以為周期、連續(xù)，其傅里葉系數(shù)全為0，則.13設(shè)是以為周期，在絕對(duì)可積. 又設(shè)滿足存在. 證明. 進(jìn)一步，若在點(diǎn)連續(xù)，則，其中.3 任意區(qū)間上的傅里葉級(jí)數(shù)1將下列函數(shù)在指定區(qū)間上展開為傅里葉級(jí)數(shù)，并討論其收斂性：(1) 在區(qū)間展開(2) ；(3) ； (4) 2求下列周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)： (1) ； (2) .3把下列函數(shù)在指定區(qū)間上展開為余弦級(jí)數(shù)： (1) ； (2) 4把下列函數(shù)在指定區(qū)間上展開為正弦級(jí)數(shù)： (1) (2) .5把函數(shù)在上展開成余弦級(jí)數(shù)，并推出.6將函數(shù)分別作奇延拓和偶延拓后，求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，其中7應(yīng)當(dāng)如何把給定在區(qū)間的可積函數(shù)延拓到區(qū)間內(nèi)，使得它在中對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)為： (1) ；(2)