1、張量概念及其基本運(yùn)算張量概念及其基本運(yùn)算 1 1、張量概念、張量概念 張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介 質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。張量分析具有高度概括、形式簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。 所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量物理恒量。 在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統(tǒng)稱為的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量標(biāo)量。例如溫度、質(zhì)量、功等。例如溫度、質(zhì)量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向在一定單位制下，除指明其

2、大小還應(yīng)指出其方向 的物理量，稱為的物理量，稱為矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 絕對(duì)標(biāo)量只需一個(gè)量就可確定，而絕對(duì)矢量則需絕對(duì)標(biāo)量只需一個(gè)量就可確定，而絕對(duì)矢量則需 三個(gè)分量來確定。三個(gè)分量來確定。 若我們以若我們以r表示維度，以表示維度，以n表示冪次，則關(guān)于三維表示冪次，則關(guān)于三維 空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表 示成：示成： M = 3n 現(xiàn)令現(xiàn)令 n 為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物 理量為張量。理量為張量。 當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)，零階張量，時(shí)，零階張量，M = 1，標(biāo)量；，標(biāo)量；當(dāng)當(dāng)n

3、=1時(shí)，一階張量，時(shí)，一階張量，M = 3，矢量；，矢量； 、 、 、當(dāng)取當(dāng)取n時(shí)，時(shí)，n階張量，階張量，M = 3n。 張量的定義為：由若干坐標(biāo)系改變時(shí)滿足一定張量的定義為：由若干坐標(biāo)系改變時(shí)滿足一定 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化關(guān)系的有序數(shù)組成的集合。坐標(biāo)轉(zhuǎn)化關(guān)系的有序數(shù)組成的集合。 張量是矢量和矩陣概念的推廣。標(biāo)量是張量是矢量和矩陣概念的推廣。標(biāo)量是0 0階張量，階張量， 矢量是一階張量，矩陣是二階張量，而三階張量矢量是一階張量，矩陣是二階張量，而三階張量 好比立體矩陣，更高階張量則無法用圖形表示好比立體矩陣，更高階張量則無法用圖形表示 張量出現(xiàn)的背景：我們的目的是要用數(shù)學(xué)量來表示張量出現(xiàn)的背景：我們的目的

4、是要用數(shù)學(xué)量來表示 物理量，可是標(biāo)量加上向量都不能完整地表達(dá)所有物理量，可是標(biāo)量加上向量都不能完整地表達(dá)所有 的物理量，所以物理學(xué)家使用的數(shù)學(xué)量的概念就的物理量，所以物理學(xué)家使用的數(shù)學(xué)量的概念就 必須擴(kuò)大，于是張量就出現(xiàn)了。必須擴(kuò)大，于是張量就出現(xiàn)了。 在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)，來表在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)，來表 示和區(qū)別該張量的所有分量。示和區(qū)別該張量的所有分量。 不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為自由標(biāo)號(hào)。自由標(biāo)不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為自由標(biāo)號(hào)。自由標(biāo) 號(hào)在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號(hào)的數(shù)號(hào)在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號(hào)的數(shù) 量確定張量的階次。量確定張量的階次。 重復(fù)出現(xiàn)

5、，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號(hào)稱重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號(hào)稱 為啞標(biāo)號(hào)或假標(biāo)號(hào)。啞標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)先羅列，為啞標(biāo)號(hào)或假標(biāo)號(hào)。啞標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)先羅列， 再求和。再求和。2.2.下標(biāo)記號(hào)法下標(biāo)記號(hào)法3.3.求和約定求和約定 關(guān)于啞標(biāo)號(hào)應(yīng)理解為取其變程關(guān)于啞標(biāo)號(hào)應(yīng)理解為取其變程n內(nèi)所有數(shù)值，然后再求和，內(nèi)所有數(shù)值，然后再求和，這就叫做求和約定。這就叫做求和約定。 例如：例如： 31332211iiiiibababababa 31332211jiiijijjijbababababa2332222113122aaaaaiiiii 23322112312)( iiiii 3131ijijijij

6、ij 131312121111 232322222121 333332323131 關(guān)于求和標(biāo)號(hào)，即啞標(biāo)有：關(guān)于求和標(biāo)號(hào)，即啞標(biāo)有： 求和標(biāo)號(hào)可任意變換字母求和標(biāo)號(hào)可任意變換字母表示。表示。 求和約定只適用于字母標(biāo)號(hào)，不適用于數(shù)字標(biāo)號(hào)。求和約定只適用于字母標(biāo)號(hào)，不適用于數(shù)字標(biāo)號(hào)。 在運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的求和標(biāo)號(hào)應(yīng)在進(jìn)行其它運(yùn)算前在運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的求和標(biāo)號(hào)應(yīng)在進(jìn)行其它運(yùn)算前 優(yōu)先求和。例：優(yōu)先求和。例： 2332222112aaaaii 23322112)()(aaaaii 關(guān)于自由標(biāo)號(hào)：關(guān)于自由標(biāo)號(hào)： 在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號(hào)相同，在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號(hào)相同，即同階且標(biāo)號(hào)字母相同

7、。即同階且標(biāo)號(hào)字母相同。 自由標(biāo)號(hào)的數(shù)量確定了張量的階次。自由標(biāo)號(hào)的數(shù)量確定了張量的階次。 關(guān)于關(guān)于Kronecker deltaKronecker delta（ ）符號(hào)：）符號(hào)： ij 是張量分析中的一個(gè)基本符號(hào)稱為是張量分析中的一個(gè)基本符號(hào)稱為柯氏符號(hào)柯氏符號(hào)（或（或柯羅尼克爾符號(hào)柯羅尼克爾符號(hào)），亦稱），亦稱單位張量單位張量。其定義為：。其定義為： ij 100010001 , 0 , 1 ijijjiji 或或：時(shí)時(shí)；當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)；當(dāng)當(dāng) 的作用與計(jì)算示例如下：的作用與計(jì)算示例如下：ij jijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiillllla

8、aaaaaaaaaaaa)( ) 6 ( ),( ) 5 ( ) 4 ( ) 3(3)()()( ) 2(3 ) 1 (321332211333322221111332211233222211332211 或或或或即即4.4.張量的基本運(yùn)算張量的基本運(yùn)算 A A、張量的加減：張量的加減： 張量可以用矩陣表示，稱為張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣張量矩陣，如：，如： 凡是同階的兩個(gè)或幾個(gè)張量可以相加凡是同階的兩個(gè)或幾個(gè)張量可以相加( (或相減或相減) )，并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標(biāo)號(hào)并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標(biāo)號(hào)相同的諸分量之代數(shù)和。相同的諸分量之代數(shù)和。 即：即：

9、其中各分量（元素）為：其中各分量（元素）為：ijijijcba 333231232221131211aaaaaaaaaaij ijijijcba B B、張量的乘積張量的乘積 對(duì)于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運(yùn)算。對(duì)于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運(yùn)算。 兩個(gè)任意階張量的乘法定義為：第一個(gè)張量的兩個(gè)任意階張量的乘法定義為：第一個(gè)張量的 每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量，每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量， 它們所組成的集合仍然是一個(gè)張量，稱為第一它們所組成的集合仍然是一個(gè)張量，稱為第一 個(gè)張量乘以第二個(gè)張量的乘積，即積張量。積個(gè)張量乘以第二個(gè)張量的乘積，即積張量。積 張量的階數(shù)等于因子張量

10、階數(shù)之和。例如：張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如：ijkjkicba 321aaaai321bbbbj若若則：則： 張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配 律和結(jié)合律。例如：律和結(jié)合律。例如： 332313322212312111babababababababababaji)()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcacba 或或；C C、張量函數(shù)的求導(dǎo)：張量函數(shù)的求導(dǎo)： 一個(gè)張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個(gè)分量都一個(gè)張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個(gè)分量都 是坐標(biāo)參數(shù)是坐標(biāo)參數(shù)x xi i的函數(shù)。的函數(shù)。 張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個(gè)分量都對(duì)坐標(biāo)參數(shù)張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個(gè)分量都對(duì)坐標(biāo)參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)數(shù)。 對(duì)張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，采用在張量下標(biāo)對(duì)張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，采用在張量下標(biāo) 符號(hào)前上方加符號(hào)前上方加“ ”的方式來表示。例如的方式來表示。例如 ， 就表示對(duì)一階張量就表示對(duì)一階張量 的每一個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)參數(shù)的每一個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)參數(shù) x xj j求導(dǎo)。求導(dǎo)。 jiA iA 如果在微商中下標(biāo)符號(hào)如果在微商中下標(biāo)符號(hào)i i是一個(gè)自由下標(biāo)，則是一個(gè)自由下標(biāo)，則