1、有限元基礎第四章劉艷芳Email: Add: 工程訓練中心西配樓406Tel： 8233 8121劉艷芳，交通運輸工程系， 第四章 桿系結構的有限元法章節目錄4.1 概述4.2 拉壓直桿的有限元分析4.3 梁的有限元分析4.4 剛架的有限元分析劉艷芳，交通運輸工程系， 4.1 概述4.1.1 桿系結構定義 由有限根桿件在它們的端點處相互連接而成的結構分類n平面桿系：各桿軸線和外力作用線在一個平面內n空間桿系：各桿軸線和外力作用線不在一個平面內工程中常見類型n拉壓直桿，桁架（平面和空間），梁（簡支懸臂梁等），剛架（平面和空間）劉艷芳，交通運輸工程系， 4.1 概述4.1.2 桿系單元定義 桿系結

2、構中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點稱為節點。 桿系單元為一維單元。結構離散 一般原則： 桿系的交叉點、邊界點、集中力作用點、桿件截面尺寸突變處等都應該設置節點，節點之間的桿件即構成單元。F節點1節點2單元節點3節點2單元劉艷芳，交通運輸工程系， 4.1 概述4.1.2 桿系單元分類n桁架單元：桁架中的桿件n剛架單元：剛架中的桿件區別： 桁架節點：鉸節點 傳遞力！ 剛架節點：剛節點 傳遞力和力矩！劉艷芳，交通運輸工程系， 4.1 概述4.1.3 桿系單元的有限元分析與平面問題和空間問題比較，基本流程完全相同；具體計算細節需要按照桿系單元的特性來進行。劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓

3、直桿的有限元分析4.2.1 拉壓直桿 （單元描述）幾何形狀：等截面A,長度為l載荷：沿軸線分布節點：2個局部坐標系：沿軸線定義的一維坐標系 ox因此，節點坐標 在x軸的坐標： xi , xj節點位移（自由度） 沿x軸的位移： ui , uj單元節點位移列陣ijlxuiuj劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.2 位移模式 單元位移模式的推導位移模式形函數ijlxuiuj劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.3 應變應變分量 拉壓直桿只有軸向應變：幾何方程的推導劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.4 應力應力分量 拉壓直桿

4、只有軸向應力：物理方程的推導劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.5 單元剛度矩陣劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.5 單元節點等效載荷 （軸向載荷）集中力 根據離散的要求，集中力直接施加在所處節點上體力 軸向分布載荷q(x)推導依據： 面力 按照集中載荷施加在面所在的節點上劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析網格離散單元分析整體分析400mm300mmXY20kN25kN1234劉艷芳，交通運輸工程系， ij4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析網格離散單元分析：在局部

5、坐標系下建立單元平衡方程整體分析：在整體坐標系下組裝整體平衡方程因此，組裝過程中需要兩個坐標系之間的轉換：整體坐標系:OXY局部坐標系: OxyxyXYO劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2.6 平面桁架的有限元分析整體坐標系OXY ：節點位移為Ui ,Vi (i , j)局部坐標系 Oxy： 節點位移為ui ,uj 則有：4.2 拉壓直桿的有限元分析ijxyXYOUjVjUiViujui從整體坐標到局部坐標的坐標變換矩陣T 劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析推導：注意：局部坐標系下的應力和應變劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分

6、析4.2.6 平面桁架的有限元分析因此，單元剛度矩陣在局部坐標系和整體坐標系下的變換式：劉艷芳，交通運輸工程系， 4.2 拉壓直桿的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析 在整體坐標系下的單元剛度矩陣為：劉艷芳，交通運輸工程系， 4.3 梁的有限元分析4.3.1 純彎梁單元 (單元描述)幾何形狀：長度l，橫截面為A。材料屬性：彈性模量E，橫截面的慣性矩為I。節點：i , j 共2個局部坐標系：oxy劉艷芳，交通運輸工程系， 4.3 梁的有限元分析n材料力學基礎知識22223322dxvdEyEdxvdydxvdEIQdxvdEIMdxdv應變和應力公式：彎曲公式：劉艷芳，交通運輸工程系，

7、4.3 梁的有限元分析4.3.1 純彎梁單元 (單元描述)節點坐標值：xi=0, xj=l節點位移值：撓度vi和轉角i節點力：彎距 Mi 和剪力 Qi因此，單元位移列陣：單元載荷列陣： TjjiieTjjiieMQMQFvv劉艷芳，交通運輸工程系， 4.3 梁的有限元分析4.3.2 位移模式 代入單元兩個節點的坐標和位移條件，即可求解四個待定常數a1-a4：劉艷芳，交通運輸工程系， 4.3 梁的有限元分析4.3.3 應變22223322dxvdEyEdxvdydxvdEIQdxvdEIMdxdv應變和應力公式：彎曲公式：劉艷芳，交通運輸工程系， 4.3 梁的有限元分析4.3.4 應力4.3.5

8、 單元剛度矩陣 eekF單元平衡方程：劉艷芳，交通運輸工程系， 4.3 梁的有限元分析4.3.6 等效節點載荷若存在集中力或者集中力矩，將作用點取為節點若存在分布載荷，按照虛功等效的原則進行計算適用情況：截面高度小于長度的1/5的桿系結構。 原因：單元的位移模式，決定了沒有考慮剪切撓度。 dxxqNFTe劉艷芳，交通運輸工程系， 4.3 梁的有限元分析4.3.7 應用實例12312kN/m1m1m劉艷芳，交通運輸工程系， 4.4 剛架的有限元分析4.4.1 平面剛架相互獨立的兩種變形形式n軸向拉壓n面內彎曲因此：剛架單元桿單元梁單元局部坐標系: oxyz劉艷芳，交通運輸工程系， 4.4 剛架的

9、有限元分析4.4.1 平面剛架兩個坐標系： 局部坐標系 整體坐標系劉艷芳，交通運輸工程系， 4.4.2 平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）節點位移n軸向位移n橫向位移n繞z軸的轉角節點載荷n軸向力n剪力n彎矩4.4 剛架的有限元分析劉艷芳，交通運輸工程系， 剛架的有限元分析因此，局部坐標系下：單元節點位移列陣：單元節點載荷列陣：n4.4.2 平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）劉艷芳，交通運輸工程系， 4.4 剛架的有限元分析4.4.3 單元剛度矩陣 (局部坐標系下) lEAlEAlEAlEAke lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEI

10、lEIlEIlEIlEAlEAke4602606120612000002604606120612000002223232223233劉艷芳，交通運輸工程系， n單元分析：局部坐標系n整體分析：整體坐標系 因此，需要進行坐標轉換。4.4 剛架的有限元分析劉艷芳，交通運輸工程系， 4.4.4 坐標變換（推導過程省略）4.4 剛架的有限元分析劉艷芳，交通運輸工程系， 4.4 剛架的有限元分析4.4.5 空間剛架結構分析辦法：將平面剛架結構擴充到空間剛架結構。n節點位移（自由度）：6個（3個平動位移和3個旋轉位移）劉艷芳，交通運輸工程系， 第四章 桿系結構的有限元法學習要求：n掌握拉壓直桿單元和梁單元的單元特性，了解剛架單元的單元特性；n掌握拉壓直桿單元和梁單元的單元分析方法，了解剛架單元的單元剛度矩陣的構成；n掌握平面桿系結構的有限元分析中局部坐標系和整體坐標系之間的轉換方法；n掌握單元剛度矩陣在局部坐標系和整體坐標系下的轉換關系；n掌握單元節點載荷在局部坐標系和整體坐標系下的轉換關系。劉艷芳，交通運輸工程系， 思考題n常見的一維桿系單元有哪些？節點位移與節點力有何不同？n平面桁架結構如何進行整體坐標與局部坐標的轉化？n梁單元的適用條件？劉艷芳，交通運輸工