1、（a），（b），（c）和和以為對稱，則稱和鏡像對稱，但并沒有要求。所以，兩通道QMFB不一定是半帶濾波器，而半帶濾波器一定是正交鏡像濾波器。由以上討論，我們可把半帶濾波器的特點總結如下：的通帶與阻帶紋波必須相等，即；也即該頻率響應相對半帶頻率（）是對稱的。另外，若的通帶頻率為，阻帶頻率為，則和對是等距的。正因為這以特點，所以稱該類濾波器為“半帶濾波器”；3. 除4. 若是非因果、零相位的FIR濾波器，即，那么，的單邊的最大長度為，為整數，總的長度 )即半帶濾波器的長度總是奇數，且是4的整數倍減1。若將乘以，即可將零相位的FIR濾波器變成因果的、具有線性相位的濾波器。5. 半帶濾波器可以是因果的

2、，也可以是非因果的。其系數可以是實的，也可以是復的。如： ， ， 等均是半帶濾波器。1.嚴格互補（strictly complementary，SC）濾波器一組濾波器，若它們的轉移函數具有如下關系： 則稱，是一組嚴格互補的濾波器。假定利用，作為分析濾波器組將分成個子帶信號，若把這個子帶信號相加，即對應的時域信號是，它和僅差了一個延遲和常數倍，這對于信號的準確重建是非常有用的。由定理6.1，th濾波器一定是嚴格互補型濾波器。半帶濾波器是th濾波器的特例，因此，半帶濾波器也是嚴格互補的。給定一個低通濾波器，設其長度為偶數，屬FIR線性相位濾波器，顯然，我們可把寫成的形式，式中為實數，可正可負。若令

3、，顯然，這樣，和并不等于，因此，該濾波器不是半帶濾波器。在進一步討論其它類型濾波器之前，我們先給出本書常用的一些符號。若為一矩陣，即的各元素都是的多項式，記為的轉置；為的共軛轉置；表示將各元素的系數取共軛；表示將各元素的系數取共軛，用代替，然后取轉置。例如，令，式中，也是矩陣，則矩陣稱為的“仿共軛（paraconjugate）矩陣”。若在單位圓上取值，即，則。一般，不在單位圓上，有 若是的有理多項式，則 表示將的系數取共軛，再用代替，例如：若 ， 則 若 ， 則 2. 功率互補濾波器（power complementary，PC）若個濾波器的頻率響應滿足 式中為常數，則稱，是功率互補的。該式又

4、可表示為 下面的定理給出了功率互補濾波器和th濾波器之間的關系：定理6.2 給定一轉移函數，其多相表示為，再令，當且僅當是一th濾波器時，是功率互補的。證明：為證明上述結論，我們定義一組濾波器 將其寫成矩陣形式，有式中是DFT矩陣，滿足如果要滿足功率互補關系，則應有 （1）若是功率互補的，則因為 所以，也是功率互補的。由的定義，即，那么，因此有)即為一th濾波器。（2） 反過來，若是求逆，即。用上述同樣的方法可證明，從而是功率互補的，證畢。若，即、是功率互補的，我們有 該式在兩通道濾波器組的準確重建中有著重要的作用。由定理6.2，應是一半帶濾波器，并有。如果我們希望能設計出符合功率互補的濾波器

5、，則應首先設計出半帶濾波器，由，顯然是的一個譜因子，因此，對作譜分解，然后對極-零點重新安排，即可得到。3全通互補濾波器（Allpass Complementary，AC）若一組濾波器，滿足式中為一全通濾波器，則稱這一組濾波器是全通互補濾波器。利用全通互補濾波器可消除信號重建時的幅度失真。一組嚴格互補的濾波器也是全通濾波器，但不一定是功率互補的。如果一組濾波器既是全通互補的，又是功率互補的，則稱其為雙互補（Doubly Comlementary，DC）濾波器。 有關以上各種類型的互補濾波器，我們將在以后的章節里陸續遇到。6.4 半帶濾波器設計半帶濾波器在兩通道濾波器組的分析與實現中具有重要的作

6、用，本節討論其設計方法。由上節所述，半帶濾波器的單位抽樣響應除1.窗函數法假定要設計的半帶濾波器的截止頻率，令理想濾波器的，對，其余為零，則顯然，所以，是一個零相位的半帶濾波器。但它是非因果的，從，且頻率特性不好。我們可以仿照用窗函數法設計FIR濾波器的方法來改造之19。即選一窗函數，令式中為的長度。2.利用Lagrange插值法文獻129提出了一個用Lagrange插值法設計半帶濾波器的方法。首先由，求出半帶濾波器的單位抽樣響應，的總長度為。例如，當時，所求出的的值如下：n0±1±2±3±4±5±6±7h(n)0.50.2

7、990-0.059800.011960-0.00122然后用 (6.4.4)可求得半帶濾波器得轉移函數。3. 用單帶濾波器來設計半帶濾波器欲設計一個半帶濾波器，假定其長度為，截止頻率為，阻帶頻率為，為了達到設計的目的，文獻15提出了一個用單帶濾波器來設計半帶濾波器的方法。首先用Chebyshew最佳一致逼近法設計出一個“單帶”濾波器。所謂“單帶”，是令的通帶頻率為，阻帶頻率，從是其過渡帶，因此，只有一個通帶，沒有阻帶。令的長度為，因為所需半帶濾波器的長度，所以的長度為，即始終為常數。及求出后，再對作二倍的插值，并令插值后序列的中心點為0.5，即這樣，是一半帶濾波器，通帶截止頻率在，其通帶和阻帶

8、的紋波分別是的一半。文獻15稱該方法為一個“trick”。，的長度（即）。按上面討論的思路，我們首先設計單帶濾波器，令其通帶截止頻率為，長為。的圖形，圖（b）是，圖（d）是，顯然除中心點外，為偶序號項皆為零。（a），（b），（c），（d）6.5 抽取、插值及濾波器組的應用現舉例說明信號抽取、插值及濾波器組的應用。 一般，語音、音樂信號等的頻譜的主要能量集中在，那么，對這一類信號抽樣時，取應能滿足需要。但在抽樣前，應加抗混迭濾波器以去除在以上的頻率成份，從而保證抽樣時不發生混迭失真。顯然，對，我們希望它：通帶盡量地平；過渡帶盡量地窄；阻帶衰減足夠大；最好能具有線性相交。對模擬濾波器來說，要想做到

9、通帶盡量平，阻帶盡量小并不困難，但如果要求過渡帶又特別窄就比較困難，進而，要求具有線性相位幾乎是不可能的。那么，解決的方案是將提高一倍，即取，這樣，的過渡帶即可加寬，這樣的設計就比較容易，并努力使相頻響應在通帶內接近線性相位（如利用Bessel濾波器）。顯然，的過渡帶加寬，使抽樣后的信號含有頻率大于的噪聲，但由于提高了一倍，因此不會引入混迭失真。由于這時工作在高抽樣率狀態，含有信息的冗余，我們可對其作二倍的抽取。在抽取之前，我們用截止頻率為的數字濾波器對濾波，從而既消除了由于過渡帶過寬引入的噪聲，又防止了抽取后的混迭15Ha(j)A/DH(z)2在第五章開頭時已述及，在語音系統中存在著多種抽樣

10、率。如立體聲，通常是，而CD唱盤（或數字磁帶），所采用的抽樣率是，而數字廣播所用的抽樣率是。這樣，同一首歌曲要從一個媒體轉到另一個媒體，或是通過數字廣播播出，它們之間必須進行抽樣率轉換。例如，若從轉換到，我們只需取，再取，然后作分數倍的抽樣率轉換即可。61,102,130 一個實際的物理信號，其頻譜絕不會在內均勻分布。同理，一個實際的圖象，其能量也不會在空域頻率，分解并抽取后的信號是，抽樣的頻率，每個點是，那么直接對編碼每移需要，假定每點用，仍用，由于抽取后，的抽樣率都變成，所以，對，編碼所用的數是，顯然比對直接編碼所用的數大大減少。通過低通濾波器后的輸出，即通過高通濾波器后的輸出，即。顯然，

11、已接近于正弦信號，而基本上全是噪聲，其幅值在±0.3之間。因此，對中的每一個點給以少量的數是合理的。（a）原信號，（b）通過低通濾波器后的，（c）通過高通濾波器后的的圖像。首先按行分別通過低通濾波器和高通濾波器，然后作二倍抽取，并把低頻部分放在上半部，高頻部分放在下半部。對按行分解后的圖像再作按列分解，即讓每列分別通過和，并讓低頻部分放在左邊，高頻部分放在右邊，這樣，就將圖（a）的一幅圖形分成了四幅。記為低頻部分，為高頻部分，顯然圖（b）的左上角為，右上角為，左下角為，右下角為。如圖所示，左上角的圖形含有原圖像的絕大部分信息，而其它三部分，特別是右下角的，則是含有原圖像的細節。我們可

12、針對這四幅子圖像的重要性，分別給以不同的字長來表示之（或編碼）。有關圖像壓縮的更多內容，我們將在小波變換部分詳細討論。,（a）原始圖像，（b）分解后的圖像23 在普通的電話線路上傳遞語音信號易被竊聽。為此，人們提出了很多的加密方法，其中之一是利用濾波器組。其思路是將語音信號分成若干段，讓每一段信號依次通過一個通道的濾波器組，得，將這個信號的次序打亂，再通過后傳輸出去。在接收端，再按原打亂前的順序依次將信號重組。除非竊聽者知道打亂的規律，否則很難解密。15 在數字網絡中，在一條線路上傳輸多路信號的常用方法是時分復用（Time Division Multiplexed，TDM）和頻分復用（FDM）。是：，這樣，是，按時間將其分開后的組合。在接收端，通過圖（b）的網絡可很容易地將，和再次分開。333333在TDM中，三個信號在時域上是分離的