1、制陶材料優化設計摘要：本文主要解決了要使硅酸鹽（Si3N4）制陶材料燒制出來的陶瓷制品的強度能達到最大值，應如何選擇適當的工藝條件的問題。首先，我們建立了一個線性回歸模型，利用殘差來檢驗可靠性，剔除了一個殘差點。然后利用剩下的合理的數據重新構建了一個較為精確的線性回歸模型，并用該模型算出了強度的最大值。為了減小誤差，增加精度，我們在線性模型的基礎上進行了非線性修正為每一個變量增加了一個平方項，使得精度與效率達到一種合理的、符合實際的平衡狀態。解出該模型后，通過殘差的標準差和相關系數對兩個模型的結果進行了分析和比較。我們還利用減少因素的方法提出了更合理的試驗設計計劃。問題回答：加熱方案四種燒結添

2、加劑的總量Ca0含量（mol%）Y2O3:MgOY2O3:Al2O3燒結溫度（0C）燒結時間(h)強度最大值線性一步14 mol%2.01:11:4190011164.6非線性一步14 mol%2.01:61:4190011252.7關鍵詞：陶瓷強度 多元線性回歸 非線性修正 殘差的標準差 假設檢驗制陶材料優化設計一問題重述：陶瓷制品是一種耐磨、抗氧化和耐高溫的材料，能夠用于許多有這些特殊需要的領域。但是，陶瓷制品的低強度嚴重阻礙了它自身的廣泛應用。隨著人類科技水平的不斷發展和社會對高強度、耐磨、抗氧化和耐高溫的材料需求量的不斷增大，硅酸鹽（Si3N4）制陶材料應運而生。硅酸鹽（Si3N4）制

3、陶材料是一種強度高、耐磨、抗氧化和耐高溫的材料，它廣泛應用于高溫結構的材料中，如切割工具、齒輪、內燃機部件及航空、航天飛行器的有關部件等。影響這種材料強度的因素有：A： 加熱方案。A1=兩步，A2=一步；B： 四種燒結添加劑CaO，Y2O3，MgO和Al2O3的總量。B1=14摩爾%，B2=16摩爾%，B3=18摩爾%。C： CaO的含量。C1=0.0摩爾%，C2=1.0摩爾%，C3=2.0摩爾%。D： Y2O3的摩爾%與MgO的摩爾的比率。D1=1:1, D2=1:2, D3=1:6。E： Y2O3的摩爾%與Al2O3的摩爾%的比率。E1=2:1, E2=1:1, E3=1:4。F： 燒結溫

4、度。F1=1800oC, F2=1850oC, F3=1900oC。G： 燒結時間。G1=1h, G2=2h, G3=3h。為了使強度達到最高工藝水平，經過試驗，測量數據見附錄一：要求：1. 根據附錄一表中的測量數據，建立合理的數學模型，并對試驗結果進行分析；2. 尋找使得強度最大的最優工藝條件；3. 對所建立的模型進行誤差分析并做出評價；4. 提出一種較有效的試驗計劃及試驗結果的分析方法，就此研究向有關部門寫一份申報科技進步獎的報告。 二 基本假設1. 除了表中所列因素外，不考慮其他因素對陶瓷強度的影響；2. 表中的各種因素水平只能取題中已經給出的值；3. 在相同因素下所得到的強度值服從正態

5、分布；4. 各因素對強度的影響是相互獨立的。三 符號說明 求出的陶瓷強度 給出的陶瓷強度均值 殘差 (i=1,2,m) 與因素相對應的自變量 自變量的系數 隨機誤差K 殘差標準差 回歸平方和 殘差平方和 檢驗假設的原假設 檢驗假設的備擇假設 顯著性水平四 問題分析與模型建立4.1 問題分析 “強度達到最高工藝水平”是以硅酸鹽（Si3N4）制陶材料的強度達到最大值為標準。由題目中所給出的列表可知，該材料的強度受以下七個因素所制約：加熱方案；四種燒結添加劑CaO，Y2O3，MgO和Al2O3的總量；CaO的含量； Y2O3的摩爾%與MgO%的摩爾的比率；Y2O3的摩爾%與Al2O3的摩爾%的比率；

6、燒結溫度；燒結時間。這些因素對強度的影響程度各不相同。為了簡便，我們先用多元線性回歸來建立模型，以強度為應變量，七個因素為七個自變量，算出各個因素對強度影響的加權系數，進而求出強度關于這七個因素的線性關系式。另外，由于儀器誤差、環境影響等不確定因素，可能會導致列表中給出的數據不夠準確，使得原本可以被線性化的模型變得不滿足線性化條件。殘差能反映數據的合理性及偏差度，所以在初步求出關系式后，若是能通過線性假設檢驗，為了保證結果的精確性，必須對各個因素的殘差進行檢驗，剔除殘差極大的樣本點；若是不能通過檢驗，仍有可能是因為壞點的影響使其不能線性化了，所以需檢驗殘差，剔除壞點，并對剔除壞點后的線性函數關

7、系式做線性假設檢驗。對剔除壞點后的線性函數關系式進行線性假設檢驗：如果檢驗結果在置信度為95%的置信區間，則說明此線性函數關系式成立；否則需要試用非線性回歸或是更高級的算法。通過線性假設檢驗后用得出的線性函數關系式求出強度的最大值。4.2模型建立非確定性關系是指變量之間存在某種相關關系，但不存在確定的函數關系。而線性回歸就是尋找這類數量關系式并進行統計推斷的一種方法。題中給出表格中所反映的強度與七個因素之間的關系就是這種非確定性關系，所以可先建立多元線性回歸模型，設強度為，第i個因素為Xi得： 其中是不可觀測的隨機誤差，可以忽略，而hi和是未知參數。所以實際使用的方程可簡化為： 上式中各個系數

8、及常數項都是利用最小二乘法擬合得到的。在得到這個模型后，我們開始對數據進行殘差檢驗。設18個樣本點的殘差為，殘差標準差為K： 如果某個樣本點的殘差超過了殘差標準差的兩倍，而且在正態概率紙上該樣本點也明顯偏低，則舍去該樣本點。去除該點后，我們用剩余的樣本點重新做最小二乘擬合，得到經過修正后的模型。之后，對該模型采用逐步回歸的計算方法求系數。接下來，我們對該關系式進行線性假設檢驗。為檢驗應變量Y和自變量Xi之間是否存在線性關系，檢驗假設如下： 若拒絕H0，則說明應變量與自變量之間存在線性關系，線性回歸法可行；若拒絕H1，則說明應變量與自變量之間不存在線性關系，必須放棄線性回歸法。 在m元線性回歸模

9、型中，當中的假設H0為真時，可得(）： 對于給定的顯著水平(取0.05)可查表得。對于給出回歸觀測值可算得數值F，若 則拒絕H0，即認為應變量與自變量Xi之間確有線性關系；否則就接受H1，即認為應變量與自變量之間沒有線性關系。五 模型求解與結果分析5.1 模型求解在Matlab中，先用regstats(y,x)函數第一次求出式： 接下來，將十八個樣本點中的自變量的取值一一代入式，算出一組強度值，利用前面提到的殘差的計算公式求出每一樣本點的殘差值：k1=54.025 k10= -2.9903k2=-63.419 k11=26.718k3=84.345 k12=-65.798k4=119.5 k1

10、3=29.443k5=-4.1604 k14=-143.89k6=-76.22 k15=58.878k7=25.894 k16=211.92k8=-30.691 k17=-3.4617k9=-109.28 k18=-110.83=89.1175因為k16 >2K，所以第十六個樣本點是應該刪除的殘差點Matlab模擬圖如下：將該點刪除后，把剩下的十七個樣本點的內容輸入Matlab，仍然用最小二乘法擬合得到下面的式子： 接下來，對式進行線性假設檢驗，以判斷數據是否適用于線性模型。由已知條件和和式可求得：，進而算出 可知應變量與自變量有線性關系，多元線性回歸模型可用。最后通過仔細觀察式的線性特

11、征，容易得到當系數為負值的變量取其最小值，系數為正的變量取其最大值時，強度達到最大。將最佳工藝條件符號（2,1,3,3,3,3,1）代入得：=1164.59即硅酸鹽（Si3N4）制陶材料的強度在題中所給出的七大條件的影響下所能達到的最大值為1164.59。5.2結果分析 我們使用殘差和相關系數平方這兩個指標對結果進行分析。5.2.1殘差標準差分析殘差的概念已經在上文中作過較為詳細地介紹了，它實際上是反映了通過線性回歸所得出的強度和相同的因素下給定強度的偏差量，能夠在一定程度上說明建立的模型是否合理。 算出式所引出的殘差值和殘差標準差：k1=27.1401 k10=20.0219k2=-87.0

12、122 k11=39.5797k3=107.9382 k12=-5.75k4=88.6648k13=17.5494k5=-31.2941 k14=-92.4123k6=-76.7451 k15=43.2783k7=47.4956 k16=76.0861k8=-5.3832 k17=-98.3532k9=-70.8042又由算出K=66.2245。用Matlab作圖如下：通過上圖可以清楚地看出某些點，諸如1,8,10,12,13五個點，殘差很小，基本與給出數據相吻合；但是多數點的殘差都很大，有的甚至達到了無法接受的程度，例如3、4點。顯然，線性模型不夠合理，無法如實地反映出強度隨七個因素變化的真

13、正趨勢。但是，我們也必須看到，殘差點剔除后，殘差和殘差的標準差明顯的減小了，這說明了我們正確地剔除了殘差點。5.2.2相關系數分析 相關系數平方能夠體現模型的擬合程度，即從點的分布趨勢上反映了模型與實際情況的吻合程度。數值上越接近1，它的擬合程度就越好。它的計算公式為： 由上式可以算出式所對應的相關系數平方=0.5785，而去除殘差點后的式所對應的相關系數平方=0.7661。由此可見，在取出了殘差點后，整個模型的擬合程度得到了很大的改善。 本題的每一個樣本點中都包含一組強度值，為了簡單，我們將它們的平均值作為計算中的強度值。而由于這樣的強度值應該是服從于正態分布的，用平均值計算必然會造成一定的

14、誤差。在用線性回歸之前，我們假定了各個因素對強度的影響是相對獨立的。而事實上，這些因素在現實的操作中，總是互相影響，互相制約的。因此，當我們將各個因素主觀地隔離后，就會產生一些不可預測的誤差。 六 模型優化 雖然殘差點被刪除后的數據集合符合線性回歸的條件，可是線性回歸本身就是一種不精確的擬合方法。相對于非線性擬合等方法來說，它的誤差是比較大的，很多時候是不可以忽略的。所以，對于一些對精度要求比較高的應用領域，線性回歸法是行不通的。這個時候，我們可以在線性模型的基礎上進行非線性修正，提高精度，減少誤差。多項式擬合法一般取最高次冪小于或等于。一旦超過，精度增加得很小，計算量卻會以幾何級數增大。在這

15、里，因為制陶產業里對精度的要求不是特別高，所以我們取最高次冪為。在關系式中增加交叉項時，會極大的增加計算難度，而對精度的幫助卻不大。權衡再三，我們決定只在優化模型中增加平方項，不加交叉項。犧牲一點精度，換來較高的效率和較好的可用性。 首先建立非線性回歸的數學模型。仍然設強度為，第i個因素為Xi，在此基礎上，建立平方項非線性回歸的數學模型，也就是增加所有Xi的平方項，關系式如下所示：其中是不可觀測的隨機誤差，可以忽略，而hij和是未知參數。所以實際使用的方程可簡化為： + 下面求式的未知數的系數：由最小二乘法推導可得：當存在時，可以導出的計算關系式如下：由于插入了平方項，所以X矩陣為一個17*1

16、4的矩陣，行向量是由Xi(i=1,2,7)和Xi2(i=1,2,7)組成的；Y矩陣是一個17*1的矩陣，由17個強度值組成；H是系數矩陣，由Xi(i=1,2,7)和Xi2(i=1,2,7)的所有系數構成。依據式，通過矩陣運算可以求出H：（具體運算過程見附錄二中的非線性模型程序。）H=2301 -215.12 -375.8 174.13 -96.344 -386.17 -173.92 -733.43 33.098 106.36 -41.854 55.616 98.916 34.986然后通過式求出當因素標號為（2,1,3,1,3,3,1）時達到最大值：1252.7接下來，我們計算非線性模型的的殘

17、差和殘差標準差：k1=2.3584 k10=-4.8211k2=4.0161 k11=-1.9842k3=3.2156 k12=-2.7847k4=0.5163 k13=3.552k5=-3.1778k14=0.7718k6=0.4596 k15=-2.1218k7=-1.6055 k16=5.6737k8=-5.2996 k17=1.7143k9=-0.4830又根據式算出K=3.1749最后，我們作出實驗值、線性計算值和非線性計算值的折線比較圖（見彩頁）。從圖中可以明顯看出非線性計算值與實驗值的折線圖每個點都幾乎完全吻合，遠比線性計算值折線的擬合度好。非線性的殘差和殘差標準差遠比線性的要小

18、，也就是說的變化也可以看出，這些都說明了非線性模型的精度遠遠超過了線性模型的精度，可以應用于一些對精度要求較高的領域。七更合理試驗設計計劃7.1優化設計的切入點 我們從減少約束因數的個數入手，削弱弱約束對于達到同樣強度要求的限制。7.2優化設計的具體方案在我們做完線性模型的基礎之上，調用Matlab中的逐步回歸函數stepwise(x,y),通過比較均方差和回歸系數來評價回歸模型的優劣，即較高的回歸系數和較小的均方差。而做到這一點就是通過剔除變量來實現的。最終我們得到在剔除燒結溫度因數（F）下的模型Y。Y=-551.59X12+24.992X22+72.826X32-20.218X42+40.

19、417X52+56.622X72 +1745.6X1-176.01X2-238.32X3+90.505X4-43.488X5-250.21X7求解得到當X=（2,1,1,2,3, ,1）時，Ymax=1102.2在這種情況下，生產過程中燒結溫度對陶瓷材料強度的影響變的不那么苛刻，從而降低了工藝的難度和生產的成本。雖然精度有所降低，但綜合考慮精度和成本，根據實際的工程需要進行選擇。逐步回歸分析圖參考文獻1 姜啟源等 數學模型 高等教育出版社2 張肇熾 代數與幾何 高等教育出版社3 田錚等 隨機數學基礎西工大教學課件4 張航等 精通MATLAB 6.X 清華大學出版社5 蘇金明等 MATLAB 6

20、.1 實用指南 電子工業出版社附錄一：陶瓷試驗方案及強度數據表試驗號因素A B C D E F G強度11 2 2 1 3 1 3996.8 783.6 796.9 21 2 1 2 2 3 1843.8 816.2 714.3 824.4 31 2 3 3 1 2 2647.1 667.9 534.3 617.7 41 3 2 1 2 3 2616.3 552.3 552.6 596.0 51 3 1 2 1 2 3517.8 526.1 498.1 499.5 61 3 3 3 3 1 11002.0 1097.0 882.9 940.1 71 1 2 2 3 2 1806.5 933.5

21、 964.9 1046.081 1 1 3 2 1 2801.5 803.2 846.2 756.491 1 3 1 1 3 3739.2 863.3 797.0 929.6102 2 2 3 1 3 1615.0 627.5 583.9 597.1 563.9112 2 1 1 3 2 2795.9 854.0 937.0 999.2 724.8122 2 3 2 2 1 3850.9 921.8 990.6 943.5 840.9132 3 2 2 1 1 2513.0 665.9 718.9 646.4142 3 1 3 3 3 3831.3 981.4 912.5 950.7 987.

22、3152 3 3 1 2 2 1806.1 908.1 627.6 855.0162 1 2 3 2 2 3727.3 643.9 584.0 643.4 602.1172 1 1 3 2 2 3836.8 716.3 862.9 796.2 182 1 3 1 1 1 11001.0 937.6 955.3 995.8 1009.0附錄二：初等模型函數：%初等模型的建立%輸入自變量和0因變量y_chu=858.8799.67616.75579.3510.38980.5937.73801.73832.27746.85862.18919.54636.05932.64799.2640.14803.

23、05979.74;x_chu=122131112122311233 1221321232131212313333111122321111321211 31133222313122113222232213232211223133332331221212322321132232131111;%進行一般多元線性回歸b,bint,r,rint,stats=regress(y_chu,x_chu)%由regress()函數獲取自變量的系數向量%回歸診斷regstats(y_chu,x_chu)one=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1' x_chu1=one,

24、x_chu;beta_chu %各自變量對應的回歸系數y_chu_mo=x_chu1*beta_chu %相關系數的平方R-square-說明模型的擬合程度 R-square=0.5785%F-因變量與自變量之間線性關系判斷 F= 2.2168 <F(7,10)=2.70 不滿足線性假設條件 %顯著性概率p-回歸的顯著程度判斷 p=0.5785線性模型函數：%基于穩健回歸所做的剔除殘差點的模型x_t=122131112122311233 1221321232131212313333111122321111321211 31133222313122113222232213232211223

25、13333233122121132232131111;y_t=858.8799.67616.75579.3510.38980.5937.73801.73832.27746.85862.18919.54636.05932.64799.2803.05979.74;b,bint,r,rint,stats=regress(y_t,x_t);statsregstats(y_t,x_t);beta_tone=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,'x_t1=one,x_ty_t_mo=x_t1*beta_t%計算結果得到的模型%相關系數的平方R-square-說明模型

26、的擬合程度 R-square= 0.7616%F-因變量與自變量之間線性關系判斷 F= 4.2416 >F(7,9)=2.72 滿足線性假設條件 %顯著性概率p-回歸的顯著程度判斷 p=0.0220<0.05 回歸顯著非線性模型函數：%非線性優化模型x=122131112122311233 1221321232131212313333111122321111321211 3113322231312211322223221323221122313333233122121132232131111;y=858.8799.67616.75579.3510.38980.5937.73801.

27、73832.27746.85862.18919.54636.05932.64799.2803.05979.74;w=x(:,1:7);v=w w.2 %矩陣x的擴展xishu=inv(v'*v)*v'*yresult=v*sishun=0:18;plot(y,'r');hold on;plot(result,'b');axis(0,18,450,1000)grid on附錄三： 科技進步申請報告申請人：申請項目：材料強度最大化工藝的快速定位申請獎項：問題背景：在尋找使硅酸鹽（Si3N4）制陶材料具有最大強度值的最佳工藝時，我們需要先在不同的工藝條件下測出其強度值，然后對所得數據進行處理，從而得到最佳工藝。然而，在眾多的試驗數據中，要想找到某種材料能形成最大強度的精確加工條件是一件費時又費力的事情。傳統的流程分為兩步：首先要做足夠多的試驗，得到盡可能多的數據；然后對這些數據進行無差別的擬合或是不加判斷地綜合分析。這種方法是極耗時間的。假如有個加工條件，每個因素（加工條件）有個水平。若是進行無差別分析時，則至少需做mn次試驗，對mn個數據進行分析處理。而實際