1、相似三角形復習相似三角形復習比例式、等積式的常見證明方法比例式、等積式的常見證明方法*如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ABABACAC，D D為為ACAC邊上異于邊上異于A A、C C的一點，過的一點，過D D點作一直線與點作一直線與ABAB相交于點相交于點E E，使所得，使所得到的新三角形與原到的新三角形與原ABCABC相似相似. .問：你能畫出符合條件的直線嗎？問：你能畫出符合條件的直線嗎？ D DA AC CB BEE相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法1、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似的三角形與原

2、三角形相似2、有兩角對應相等的兩個三角形相似、有兩角對應相等的兩個三角形相似*ABCABCDABC如圖，每個小正方形邊長均為如圖，每個小正方形邊長均為1，則下，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中中 相似的是（相似的是（ ）3、兩邊對應成比例、兩邊對應成比例,且夾角相等的兩三角形相似且夾角相等的兩三角形相似4、三邊對應成比例的兩三角形相似、三邊對應成比例的兩三角形相似B相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法*直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定: :BCABCA直角邊和斜邊的比相等，兩直角直角邊和斜邊的比相等，兩直角三角形相似。三角形相似。 ABA BA

3、CAC=C=C =90oRtABCRtABC三角形相似的判定三角形相似的判定還有什還有什么方法？么方法？顯然還有傳遞性和定義法。顯然還有傳遞性和定義法。*CABD在這在這一一個圖形中個圖形中, ,有有兩兩個個垂直垂直, ,有有_對相似對相似, ,有有_對互余的角對互余的角, ,有有_組對應成比例的組對應成比例的六條六條線線段段. . 三三四四五五AC2=ADABBC2=BDABCD2=ADBDAC:AD=BC:CDBC:BD=AC:CD*FEDCBA例例.如圖：已知如圖：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延長線于的延長線于F. 求證：求證：AD2=DEDF由

4、由AD2=DEDF，得，得故只要證明故只要證明ADE FDA即可即可分析：分析：ADDEADDF=利用相似利用相似三角形的三角形的性質性質*FEDCBA例例.如圖：已知如圖：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延長線于的延長線于F. 求證：求證：AD2=DEDF證明：證明： F= C =DAC BAC=90, BD=DC DEBC C+ B= 90 ADE= FDA AD=DC,從而從而DAC= C F+ B= 90 ADE FDA AD2=DEDF點評：證明乘積式時，可先點評：證明乘積式時，可先將乘積式改為比例式，然后將乘積式改為比例式，然后找相似三角形（或

5、平行線）找相似三角形（或平行線）ADDEADDF=* 例例2. 如圖如圖,在直角梯形在直角梯形ABCD中中,ABCD, ABBC,對角線對角線ACBD,垂足垂足為為E,AD=BD,過點過點E作作EFAB交交AD于于F, 試說明試說明 : AF2=AEEC利用等線利用等線段代換段代換DCABFE點評：證明乘積式時，如果不點評：證明乘積式時，如果不能找相似三角形（或平行線），能找相似三角形（或平行線），可以進行等線段替換。可以進行等線段替換。* 例例 2鞏固鞏固.已知已知,如圖如圖,CE是直角是直角ABC的的斜邊斜邊AB上的高上的高,在在EC的延長線上任取一點的延長線上任取一點P,連接連接AP,作

6、作BGAP,垂足為垂足為G,交交CE于于D, 試說明試說明:CE2=EDEP.利用等積利用等積式代換式代換PGABECD點評：證明乘積式時，如果不點評：證明乘積式時，如果不能進行等線段替換，還可以轉能進行等線段替換，還可以轉化一個乘積。化一個乘積。*例例3.已知已知,如圖如圖,在在ABC中中, BAC=90, ADBC,垂足為垂足為D,E是是AC的中點的中點,ED的延的延長線交長線交AB的延長線于點的延長線于點F. 試說明試說明:AB：AC=DF：AF利用等比利用等比式代換式代換ACBDFE點評：證明乘積式時，如果不點評：證明乘積式時，如果不能進行等線段替換，也可以轉能進行等線段替換，也可以轉

7、化一個比。化一個比。*例例4 如圖：如圖： 已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC ， EF是是AD的中垂線，的中垂線，EF 交交BC的延長線于的延長線于F . 求證：求證：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：由由FD2=FCFB，得，得FDFBFDFC=但但FD、FC、FB都在都在同一直線上，無法同一直線上，無法利用相似三角形利用相似三角形.由于由于FD=FA，替，替換后可形成相似三角形換后可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要證只要證FABFCA即可即可. *例例4提高提高.如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，的延長線上一點， 直線直線DF

8、交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBFFEDCBA由由BDCE=CDBF，得，得分析：分析：但但DBF與與 DCE不相似不相似因此，需作輔助線構造相似三角形因此，需作輔助線構造相似三角形BDBFCECD=*例例4提高提高.如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，的延長線上一點， 直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBFFEDCBAG方法一：方法一： 過點過點C作作CGAB,交交DF于于G 則則DCG DBF 故故再證再證CG=CE 即可即可CDCGBFBD=*FEDCBAG方法二：方法二： 過點過點C作

9、作CGDF,交交AB于于G 故故再證再證FG=CE 即可即可例例4提高提高.如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，的延長線上一點， 直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBFBDBFFGCD=*FEDCBAG例例4提高提高 如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，的延長線上一點， 直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBF方法三：方法三：過點過點B作作BGDF,交交DF的延長線于的延長線于G 故故再證再證BG=BF 即可即可則則DCE DBG DCCEBGDB=*由由三角形相似

10、三角形相似證線段成比例的一般步驟：證線段成比例的一般步驟：1、先看這些線段確定哪兩個可能相似的三、先看這些線段確定哪兩個可能相似的三角形；再找這兩個三角形相似所需要的條件；角形；再找這兩個三角形相似所需要的條件；2、如這兩個三角形不相似，則采用其它辦、如這兩個三角形不相似，則采用其它辦法（如找法（如找中間比中間比代換等）；代換等）；3、當無法用三角形相似來證明線段成比例、當無法用三角形相似來證明線段成比例時，可試著用時，可試著用引平行線引平行線的方法。的方法。*ABDEC 如上圖如上圖, BAC=120, BAC=120, , ADEADE是等邊三角形是等邊三角形, ,小麗發現圖中有些線段是其他兩條線段的比例中小麗發現圖中有些線段是其他兩條線段的比例中項項, ,你知道小麗說的是哪些線段嗎你知道小麗說的是哪些線段嗎? ? 它們分別是它們分別是哪些線段的比例中項嗎哪些線段的比例中項嗎? ?如果如果ADEADE是是AD=AE