1、 4 4 方程解法方程解法4.1 顯示方法（顯示方法（Explicit Methods）l在計算力學和計算物理中應用最廣泛的顯式方法是中心差分法在計算力學和計算物理中應用最廣泛的顯式方法是中心差分法 定義時間步增量為定義時間步增量為 11111122221,(),2nnnnnnnnnttttttttt1 4 4 方程解法方程解法速度的中心差分公式為速度的中心差分公式為 積分公式為積分公式為加速度及積分公式加速度及積分公式 1111221121()nnnnnnnnntttdddvdd11122nnnntddv11221122nnnnnnttvvda1122nnnntvva1111221122()

2、()nnnnnnnnnnntttttddddda2 4 4 方程解法方程解法在第在第n時間步的有限元半離散方程為時間步的有限元半離散方程為廣義約束方程廣義約束方程代半離散方程到加速度積分公式中代半離散方程到加速度積分公式中這樣，在任意時間步這樣，在任意時間步n，已知位移，已知位移 ，通過順序計算應變，通過順序計算應變-位移方程、位移方程、由由 或或 形式表示的本構方程和外力，可確定節點力形式表示的本構方程和外力，可確定節點力 ，上式，上式右端全部賦值，可獲得右端全部賦值，可獲得 ，由位移的積分公式，可確定，由位移的積分公式，可確定 。 int(, )(, )nnextnnttMaffdfd()

3、0,1,.,nnIcgId11122nnnntvvM fnd12nDnEnf12nv1nd3 4 4 方程解法方程解法l特點特點 a) M矩陣是常數陣，在整個求解過程中不變矩陣是常數陣，在整個求解過程中不變; b) 如果如果M為對角陣，實現節點速度和節點位移的更新可以不用求解為對角陣，實現節點速度和節點位移的更新可以不用求解任何方程；任何方程； c) 因此，在顯示方法中，離散的動量方程一般都用團聚質量矩陣。因此，在顯示方法中，離散的動量方程一般都用團聚質量矩陣。在顯示方法中，對離散的動量方程的時間積分不需求解任何方程在顯示方法中，對離散的動量方程的時間積分不需求解任何方程 4 4 4 方程解法

4、方程解法l流程圖流程圖 5 4 4 方程解法方程解法l流程圖（續）流程圖（續） 6 4 4 方程解法方程解法l優點優點 方法簡單，不求解方程方法簡單，不求解方程 顯式時間積分是很強健的（顯式時間積分是很強健的（Robust），很少因為數值失敗而終止），很少因為數值失敗而終止l缺點缺點 顯式方法是條件穩定的顯式方法是條件穩定的 如果時間步長超過一個臨界值，其計算結果會增長至無窮如果時間步長超過一個臨界值，其計算結果會增長至無窮l 臨界時間步長臨界時間步長 對于采用率無關材料的常應變單元的網格，穩定時間步長為對于采用率無關材料的常應變單元的網格，穩定時間步長為 線性系統的最大頻率，線性系統的最大頻

5、率， 單元單元e的特征長度的特征長度 ， 單元單元e的當前波速，的當前波速， 是折減系數。是折減系數。 ,max22,minminecritcritee IeIeltttc maxelec7 4 4 方程解法方程解法l有限差分的臨界步長問題稱為有限差分的臨界步長問題稱為Courant條件條件 1928年年Courant，Friedrichs和和Lewy首先發表這一結果。首先發表這一結果。l臨界步長隨網格細劃和材料剛度的增加而減小臨界步長隨網格細劃和材料剛度的增加而減小l對于彈塑性問題，塑性響應會減慢波速，但并不能增加臨界時間對于彈塑性問題，塑性響應會減慢波速，但并不能增加臨界時間步長，因為，在

6、數值計算中常常發生卸載步長，因為，在數值計算中常常發生卸載l從單元時間步長確定網格時間步長從單元時間步長確定網格時間步長 8 4 4 方程解法方程解法4.2平衡解法和隱式時間積分（平衡解法和隱式時間積分（Implicit time integration）l離散的動量方程可寫為離散的動量方程可寫為lNewmark 方程方程 更新的位移和速度為更新的位移和速度為 的意義為人工粘性或人工阻尼。的意義為人工粘性或人工阻尼。 111int1111(,)(,)(,)nnnnnextnntatt0r dMfdfd21121111111,(1 2 )2,(1),nnnnnnnnnnnnnnntttttttt

7、 ddaddvavvavva9 4 4 方程解法方程解法 10 4 4 方程解法方程解法l更新的加速度表示為更新的加速度表示為這樣離散問題成為：這樣離散問題成為：這是在節點位移這是在節點位移 的非線性方程組。的非線性方程組。問題成為問題成為 尋找尋找 使使 服從于服從于 1nd11(,)0nntr d11(,)0nngtd11121(),0nnntadd1111int1111210(,)()(,)(,)nnnnnnextnnttttr dM ddfdfd1nd11 4 4 方程解法方程解法 lNewtonRaphson法法 首先研究一個未知量的問題首先研究一個未知量的問題Newton方法是一個

8、求解迭代過程。首先將殘數進行方法是一個求解迭代過程。首先將殘數進行Taylor展開，只保展開，只保留線性項留線性項稱為非線性方程的線性化模型。線性模型是非線性殘差函數得正切。稱為非線性方程的線性化模型。線性模型是非線性殘差函數得正切。1111int1120(,)()(,)(,)nnnnnextnMr dtddftftt11111(,)0(,)(,)nnnnvvvvr d tr dtr d tddddd12 4 4 方程解法方程解法 對于位移增量，求解線性模型，得對于位移增量，求解線性模型，得更新值為更新值為持續迭代直到獲得理想得精度。持續迭代直到獲得理想得精度。111(,)(,)nnvvr d

9、 tdr d td 1vvddd13 4 4 方程解法方程解法 對應的載荷位移曲線對應的載荷位移曲線14 4 4 方程解法方程解法 l有有n個未知量的個未知量的Newton法法 線性化后方程為線性化后方程為A稱為稱為Jacobian矩陣，在計算力學中矩陣，在計算力學中A稱為切線剛度矩陣。稱為切線剛度矩陣。求解步驟：求解步驟：（1）解線性方程組）解線性方程組 （2）迭加到前一步得迭代）迭加到前一步得迭代（3）檢驗其收斂性，若收斂得到解；若沒有滿足準則，重新構造）檢驗其收斂性，若收斂得到解；若沒有滿足準則，重新構造A， 返回（返回（1） ()()(),vvv r dr dr dd0Add()v A

10、 dr d1vvdddint2( )1exttr dffAMddd15 4 4 方程解法方程解法 16 4 4 方程解法方程解法 17 4 4 方程解法方程解法 l收斂準則收斂準則 Newton法的迭代是否終止是由收斂準則決定的。這是關于法的迭代是否終止是由收斂準則決定的。這是關于的收斂。一般有三種收斂準則：的收斂。一般有三種收斂準則：（1）根據參數）根據參數r的量級的準則的量級的準則（2）根據位移增量）根據位移增量 的量級準則的量級準則（3）能量誤差的準則）能量誤差的準則(,)nntr d0d222212int21()max(,)dofnextllllrrffMa221221()dofnll

11、dddintmax(,)Textkind rWWW d r18 4 4 方程解法方程解法 19初應力法初應力法 4 4 方程解法方程解法 20修正牛頓法修正牛頓法 4 4 方程解法方程解法 214.3 Wilson q 4 4 方程解法方程解法 22 4 4 方程解法方程解法 23K.J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996 4 4 方程解法方程解法 24 4 4 方程解法方程解法 4.4弧長法（弧長法（Arc-length method） 25 4 4 方程解法方程解法 l單自由度示意圖單自由度示意圖 26

12、4 4 方程解法方程解法 l在跟蹤結構得后屈曲（在跟蹤結構得后屈曲（post-buckling）曲線時，或跟蹤分支時，）曲線時，或跟蹤分支時，Newton-Raphson法出現困難，弧長法是一個好的替代解法。法出現困難，弧長法是一個好的替代解法。 在跟蹤分支時，載荷參數從零開始，并逐步增加。對于參數在跟蹤分支時，載荷參數從零開始，并逐步增加。對于參數 的的每一個增量，計算平衡解答，即每一個增量，計算平衡解答，即 在弧長法中，除了逐漸增加的載荷參數外，在位移在弧長法中，除了逐漸增加的載荷參數外，在位移-載荷參數空間載荷參數空間中的弧長度量也要增加，這是通過在平衡方程中增量參數化方程實中的弧長度量

13、也要增加，這是通過在平衡方程中增量參數化方程實現的：現的：int11()nnextfdf0111122(,)() ()0nnnn Tnnps ddddd1nn27 4 4 方程解法方程解法 方程組中增加一個未知數，并增加了一個參數化方程：方程組中增加一個未知數，并增加了一個參數化方程：使用使用Newton線性化方程組線性化方程組11int111111(,)()0(,)(,)nnnnextnnnnpp 0r dfdfdd/vvppprrdrddint22extextvTvp rdKKfd28 4 4 方程解法方程解法 29l計算后屈曲的例子計算后屈曲的例子 4 4 方程解法方程解法 l弧長法由弧長法由Riks于于1972年提出