1、 相似三角形中的輔助線相似三角形中的輔助線 在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關的計算找到等量關系。主要的輔助線有以下幾種：例題：如圖，D是ABC的BC邊上的點， BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中點,連結BE并延長交AC于F,一、作平行線一、作平行線DABCEFn2kk解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，P?yynyDABCEFn過點D作CA的平行線交BF于點P，Pn2kkyy4y?yBE：EF=5：1.則，1AEDEFEPE, 2DCBDPFBPPE=EFBP

2、=2PF=4EF，所以所以BE=5EFDABCEFnn2k解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，ykQ?y2yDABCEFnn過點D作BF的平行線交AC于點Q，Q2kk?y2y5yyBE：EF=5：1.，則2EADAEFDQ, 3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563DABCEF2k解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnk2k?kDABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn?y5yy2kk2kDABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，T2k2k?k?kDABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，T2k2ky?

3、y5y，則DCCTDT21BD=2DC，BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE練習：如圖，D是ABC的BC邊上的點， BD：DC=2：1，求AF：CF的值.DABCEFE是AD的中點,連結BE并延長交AC于F,DABCEF解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pnn2x2x2kk3xAF：CF=2：3.DABCEF解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Qnn2x2x2kkxAF：CF=2：3.DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnh2h4hy5y4yAF：CF=2：3.DABCEF解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Tnnhh4h5y6y4yA

4、F：CF=2：3.作平行線作平行線 例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使ADAE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：BFCFBDCE 證明：證明：過點C作CG/FD交AB于G小結：小結：本題關鍵在于ADAE這個條件怎樣使用。由這道題還可以增加一種證明線段相等的方法：相似、成比例。 B G D A C F E 例2. 如圖，ABC中，ABAE),求證：求證：AEF ECFE EC CD DB BA AF F2、已知，在、已知，在ABC中，若中，若AB=BC,B=90,AD為為BC邊的中線，過邊的中線，過B作直線作直線BPAD于于P交交AC于于E，求證：求證：AE=2EC ;A

5、EB= CED. D DA AB BC CE E二、作垂線二、作垂線 3. 如圖從 ABCD頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：2ACAFADAEABABCFDEABCFDENMABMACEACABAEAMAMACAEABADNACFACADAFANANACAFAD)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN2)(ACCMAMACAFADAEAB證明：過B作BMAC于M，過D作DNAC于N （1） （2） 又 AN=CM 又 （1）+（2） 2、中，AC=BC，P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中點），MN過Q且MNCP，交AC、BC于M、N，

6、求證：CNCMPBPA:/45BAAEPRtPFBRtPFPEPBAP:ECPEPFPEPBPAECPCNM90QNCQCN90QCMQCNCNQMCQPECRtMCNRtCNECCMEPCNCMECEPCNCMPBPA2、證明：、證明：過P作PEAC于E，PFCB于F，則CEPF為矩形 PFEC EC=PF （1） 在和中：CPMN于Q 又 即 由（1）（2）得（2）三、作延長線三、作延長線 例5. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分線CHAB于點H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積。分析：分析：因為問題涉及四邊形AHCD，所以可構造相似三角形。把問題

7、轉化為相似三角形的面積比而加以解決。 解：解：延長BA、CD交于點P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC：SSPADPBC 19SSPCHPBC12：四邊形SSPADAHCD 27四邊形SAHCD 21SPAD 6SPBC 54SSHBCPBC1227 例6. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交BC于F，FGAB于G，求證：FG=CFBF 解析：解析：欲證式即 由“三點定形”，BFG 與CFG會相似嗎？顯然不可能。（因為BFG為Rt），但由E為CD的中點，可設法構

8、造一個與BFG相似的三角形來求解。 不妨延長GF與AC的延長線交于HFGCFBFFGECFHEDFGAEAFECFHEDFG則 又ED=EC FG=FH 又易證RtCFHRtGFBBFFHFGCF FGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF四、作中線四、作中線 例7 如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。DCBDBCDBCC1MACDBCBCACDCMC21221BCDCBCMCACAECRtBACRtBCBCCEAC2421ACAC 32AC解：解：取BC的中點M，連AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC

9、（1） 又 EC=1 由（1）（2）得， （2） MACDBC小結：小結：利用等腰三角形有公共底角，則這兩個三角形相似，取BC中點M，構造與相似是解題關鍵如圖，中，那么嗎？試說明ABCABACBD ACBCCA CD223、理由？（用三種解法）方法一：方法一：如圖（1），設BC中點為E，連接AE。ABACBECEAE BCAECBDCCCBDCAEC 90BCACCDCEBC CEAC CDCEBCBCCA CD1222 方法二：如圖（方法二：如圖（2），在），在DA上截取上截取DE=DC 在BED與BCD中，BD CEBDEBDCDEDCBDBDBEDBCDBECCABACABCC 90ABCBCEACBC