1、第二章第二章 誤差與不確定度誤差與不確定度 本章要點：本章要點： u誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 u隨機誤差、系統誤差和粗大誤差的特性和處理方法隨機誤差、系統誤差和粗大誤差的特性和處理方法 u測量不確定度的概念和評定方法測量不確定度的概念和評定方法 u 測量數據處理的方法測量數據處理的方法 本章是測量技術中的基本理論。本章是測量技術中的基本理論。 2.1 2.1 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 誤差誤差= =測量值測量值- -真值真值 例如，在電壓測量中，真實電壓例如，在電壓測量中，真實電壓5V5V，測得的電壓為，測得的電壓為5.3V5.3V，則，則 誤差誤差= 5.3V

2、 - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 真值真值為為“表征某量在所處的條件下完善地確定的量值表征某量在所處的條件下完善地確定的量值”。真值真值是一個理想的概念。真值客觀存在，卻難以獲得。是一個理想的概念。真值客觀存在，卻難以獲得。 2.1.1 2.1.1 測量誤差測量誤差 例如：現在是什么時間？例如：現在是什么時間？ 能準確地報出北京時間嗎？能準確地報出北京時間嗎？1.誤差的概念誤差的概念和在和在JJF1001-2011JJF1001-2011通用計量學術及定義通用計量學術及定義技術規范技術規范中，將中，將“測量誤差測量誤差”定義為：定義為：在在國際計量學詞匯國際計

3、量學詞匯-通用基本概念及相通用基本概念及相關術語關術語（VIMVIM）20062006第第3 3版中：版中：測量誤差測量誤差=測得量值測得量值- -參考量值參考量值巧妙地采用巧妙地采用“參考量值參考量值”這個詞，準確這個詞，準確合理地擺脫合理地擺脫“真值真值”的困惑！的困惑！實際上對實際上對“參考量值參考量值”的應用通常是用以下三種辦法的應用通常是用以下三種辦法 “參考量值參考量值”可由理論（或定義）給出可由理論（或定義）給出例例1 1：三角形內角和為三角形內角和為180180度度 由國際計量統一定義給出（例如秒的定義為銫原由國際計量統一定義給出（例如秒的定義為銫原子能級躍遷子能級躍遷9192

4、6317709192631770個周期的持續時間為個周期的持續時間為1 1秒）。秒）。 1s=91926317701s=9192631770周期周期=31+121+121+29+29+=181用量角器分別量得三內角為：用量角器分別量得三內角為：+ +誤差誤差=181-180=1=181-180=1例例2 2：秒的定義秒的定義 用用“約定真值約定真值” 作為作為“參考量值參考量值” 用用“不確定度不確定度” 評定測量結果評定測量結果實際測量中常把高一等級的計量標準測得的實際實際測量中常把高一等級的計量標準測得的實際值作為真值使用。值作為真值使用。“實際值實際值”“”“約定真值約定真值”。 在本章

5、第在本章第2 2、3 3 、 4 4 、 5 5節中討論誤差時是節中討論誤差時是基于基于“約定真值約定真值”己知的條件下進行的。己知的條件下進行的。 在本章第在本章第6 6節中詳細討論。逆向思維，回避真值，節中詳細討論。逆向思維，回避真值，研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長度，不研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長度，不能確定的范圍在毫米量級，而用游標卡尺測量，能確定的范圍在毫米量級，而用游標卡尺測量，不能確定的范圍在微米量級。不能確定的范圍在微米量級。2.2.基本術語基本術語測量儀器的測量儀器的示值示值-測量儀器所給出的量的值。測量儀器所給出的量的值。 也稱測量值、測得值。也稱測量值、測得

6、值。盡量不要用具體數量來說準確度。例如：準確度盡量不要用具體數量來說準確度。例如：準確度10 mV10 mV只能用某一等級或范圍來描述，例如：某電流表為只能用某一等級或范圍來描述，例如：某電流表為1 1級表級表（準確度（準確度1%x x , x , 故常用故常用x x方便方便測量值相對誤差測量值相對誤差 x x與滿度相對誤差與滿度相對誤差S%S%的關系：的關系： xxxxxxx xxxxm mm mm mx xm mm m= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = S S% %xxm mx x= =S S% %測量值測量值x x靠近滿

7、量程值靠近滿量程值x xmm相對誤差小相對誤差小電工儀表將滿度相對誤差分為七個等級：電工儀表將滿度相對誤差分為七個等級： 等級等級0.10.10.20.20.50.51.01.01.51.52.52.55.05.0S%S%0.1%0.1%0.2%0.2%0.5%0.5%1.0%1.0%1.5%1.5%2.5%2.5%5.0%5.0%例：檢定量程為例：檢定量程為1000A1000A的的0.20.2級電流表，在級電流表，在500A500A刻度刻度上標準表讀數為上標準表讀數為499A499A，問此電流表是否合格？，問此電流表是否合格？ 解：解： x x0 0=499A =499A x x=500A

8、=500A x xmm=1000A=1000A%2 . 0%1 . 0%1001000499500%1000mmxxx故在此刻度處合格故在此刻度處合格2.1.3 2.1.3 誤差按性質分類誤差按性質分類隨機誤差隨機誤差 系統誤差系統誤差 粗大誤差粗大誤差 隨機誤差隨機誤差-不可預定方式變化的誤差（同不可預定方式變化的誤差（同隨機變量隨機變量）系統誤差系統誤差-按一定規律變化的誤差按一定規律變化的誤差粗大誤差粗大誤差-顯著偏離實際值的誤差顯著偏離實際值的誤差在國家計量技術規范在國家計量技術規范通用計量術語及定義通用計量術語及定義（JF1001-1998）中，系統誤差定義為：）中，系統誤差定義為：

9、“在重復性條在重復性條件下，對同一被測量無限多次測量所得的結果件下，對同一被測量無限多次測量所得的結果的平均值與被測量的真值之差的平均值與被測量的真值之差。”用用表示系統誤表示系統誤差，即差，即 1. 系統誤差系統誤差0Ax （2.112.11）1211()nniix xxxxnnn （2.122.12） 為無限多次測量結果的平均值（概率論中的數學期為無限多次測量結果的平均值（概率論中的數學期望），這里簡稱為望），這里簡稱為總體均值總體均值。 x在國家計量技術規范在國家計量技術規范通用計量術語及定義通用計量術語及定義（JG10011998）中，隨機誤差定義為：）中，隨機誤差定義為：“測量結果與

10、測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差所得結果的平均值之差。”用用表示隨機誤差，即表示隨機誤差，即 2. 隨機誤差隨機誤差xxii隨機誤差定義表示：在重復性條件下（指在測量環境、測量隨機誤差定義表示：在重復性條件下（指在測量環境、測量人員、測量技術和測量儀器相同的條件下），每次測量誤差人員、測量技術和測量儀器相同的條件下），每次測量誤差的絕對值和符號以不可預知的方式變化的誤差，簡稱隨差。的絕對值和符號以不可預知的方式變化的誤差，簡稱隨差。（2.132.13）3. 粗大誤差粗大誤差在一定條件下，在一定條件下，測量值顯

11、著偏離其真值（或約定測量值顯著偏離其真值（或約定真值）所對應的誤差，稱為粗大誤差真值）所對應的誤差，稱為粗大誤差。 粗大誤差產生原因：主要是粗大誤差產生原因：主要是 讀數錯誤讀數錯誤 測量方法不對測量方法不對 瞬間干擾瞬間干擾 儀器工作不正常等。儀器工作不正常等。對粗大誤差的處理通常是對粗大誤差的處理通常是按一定的法則進行剔除。按一定的法則進行剔除。 4. 4. 三種誤差的關系三種誤差的關系 系統誤差系統誤差 小，準確度高小，準確度高 A A或或A AX Xi iX Xi i隨機誤差隨機誤差 小小 ，精密度高，精密度高 A AA A或或X Xi i系統誤差和隨機誤差都較小，稱精確度高系統誤差和

12、隨機誤差都較小，稱精確度高 A A或或X Xi iX Xi i x= x= + + + ( + (粗大誤差粗大誤差) )首先剔除去首先剔除去定性的概念：定性的概念：定量的概念：定量的概念： 000iiiixxAxxxAxxxA 上式表示誤差等于隨機誤差和系統誤差相加的關系。圖上式表示誤差等于隨機誤差和系統誤差相加的關系。圖2.2給給出了這些誤差之間關系的示意圖。出了這些誤差之間關系的示意圖。由（由（2.1）式誤差的定義：）式誤差的定義：定量的概念：定量的概念：2.2 2.2 隨機誤差隨機誤差 2.2.1 2.2.1 定義與性質定義與性質 隨機誤差隨機誤差定義定義：在等精度測量下，誤差的絕對值在

13、等精度測量下，誤差的絕對值和符號都是不定值，稱為隨機誤差，也稱偶然誤差、和符號都是不定值，稱為隨機誤差，也稱偶然誤差、或然誤差，簡稱隨差。或然誤差，簡稱隨差。 隨機誤差概念隨機誤差概念-不可預定方式變化的誤差（同隨機不可預定方式變化的誤差（同隨機變量）變量）xxii舉例：舉例：對一電阻進行對一電阻進行n n=100=100次等精度測量次等精度測量表表 2.22.2 按大小排列的等精度測量結果按大小排列的等精度測量結果 測量值測量值x xi i（ ）相同測值出現次數相同測值出現次數mmi i相同測值相同測值出現的概率出現的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.0

14、29.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.9814140.140.149.999.9918180.180.1810.0010.0022220.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.010.01將表將表2.22.2中數據畫成直方圖中數據畫成直方圖P P( (x x) ) x x0 0 隨機誤差性質：服從隨機誤差性質：服從正態分布正態分布，具有以下，具有以下4 4個特性個特性：

15、 對稱性對稱性絕對值相等的正誤差與負絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數相等；誤差出現的次數相等； 單峰性單峰性絕對值小的誤差比絕對值絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現次數多；大的誤差出現次數多； 有界性有界性絕對值很大的誤差出現的絕對值很大的誤差出現的機會極少，不會超出一定的界限；機會極少，不會超出一定的界限； 抵償性抵償性當測量次數趨于無窮大，當測量次數趨于無窮大，隨機誤差的平均值將趨于零。隨機誤差的平均值將趨于零。 2.2.2 2.2.2 隨機誤差的統計處理隨機誤差的統計處理 隨機誤差與隨機變量的類同關系隨機誤差與隨機變量的類同關系 1.1.數學期望數學期望 設設x x1 1，x x2

16、2，x xi i，為離散型隨機變量為離散型隨機變量X X的可能取值，相應的可能取值，相應概率為概率為p p1 1，p p2 2，p pi i，其級數和為其級數和為 若若 絕對收斂，則稱其和數為數學期望，記為絕對收斂，則稱其和數為數學期望，記為E E( (X X) ) iipxiiipxXE1)(1iipx x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+x xi ip pi i+= += iiipx1在統計學中，在統計學中， 期望與均值是同一概念期望與均值是同一概念1211nniixxxxxnn算術平均值算術平均值與被測量的真值最為接近，由概率論的大數定律與被測量的真值最為接近，由概率論的

17、大數定律可知，若測量次數無限增加，則算術平均值可知，若測量次數無限增加，則算術平均值 x必然趨于必然趨于實際值實際值。 2.2.方差、標準差方差、標準差方差是用來描述隨機變量可能值對期望的分散的特征值。方差是用來描述隨機變量可能值對期望的分散的特征值。 隨機變量隨機變量X X的方差為的方差為X X與其期望與其期望E E（X X）之差的平方的期望，）之差的平方的期望，記為記為D D（X X），即），即 2D( )=E -E(X) XX例：兩批電池的測量數據例：兩批電池的測量數據 n nX X0 0X Xx xi in nX X0 0X Xx xi i誤差離散性小誤差離散性小誤差離散性大誤差離散性

18、大測量中的隨機誤差也用方差測量中的隨機誤差也用方差 )(2x來定量表征：來定量表征： n22ii=11 (x)=(x -x)n式中式中 i( - )x x是某項測值與均值之差，稱為是某項測值與均值之差，稱為剩余誤差剩余誤差或或殘差殘差，記作記作 ii=( - )v x x。將剩余誤差平方后求和平均，擴大了。將剩余誤差平方后求和平均，擴大了離散性，故用方差來表征隨機誤差的離散程度。離散性，故用方差來表征隨機誤差的離散程度。標準差標準差方差的量綱是隨機誤差量綱的平方，使用不方便。為了與隨機方差的量綱是隨機誤差量綱的平方，使用不方便。為了與隨機誤差的量綱統一，常將其開平方，用標準差或均方差表示，記誤

19、差的量綱統一，常將其開平方，用標準差或均方差表示，記作作n2ii=11=(x -x)n（2.162.16） 應當指出，剩余誤差應當指出，剩余誤差 i i應包含系統誤差應包含系統誤差 和隨機誤差和隨機誤差 i i，因這里，因這里只討論隨機誤差，故認為系統誤差已消除，即只討論隨機誤差，故認為系統誤差已消除，即 Vx xiiii=+ = = -正態分布正態分布 在概率論和誤差理論的研究中，已充分論證了絕大多數隨機誤差在概率論和誤差理論的研究中，已充分論證了絕大多數隨機誤差的分布規律都可以用正態分布來描述，正態分布的概率密度函數的分布規律都可以用正態分布來描述，正態分布的概率密度函數為正態分布為正態分

20、布 221-(x-)p(x)=exp22當知道正態分布的兩個基本參數：算術平均值當知道正態分布的兩個基本參數：算術平均值 x和標準差和標準差 ，該，該正態分布的曲線形狀則基本確定。正態分布的曲線形狀則基本確定。 P P( (x x) ) x x0 0給出了給出了 x = 0時，三條不同標準差的正態分布曲線：時，三條不同標準差的正態分布曲線： 123 。標準差小，曲線尖銳，說明測量誤差小的數據。標準差小，曲線尖銳，說明測量誤差小的數據占優勢大，即測量精度高。占優勢大，即測量精度高。x x( ( ) )0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 23 3本書附錄本書附錄A A給出了正態分布在對稱區間

21、的積分表。其中給出了正態分布在對稱區間的積分表。其中xx xxxx-E( )-Z=( )( )ak=（2.182.18）式中式中k k為為置信因子置信因子，a a為所設的區間寬度的一半。為所設的區間寬度的一半。 K=1K=1時，時， K=2K=2時，時， K=3K=3時，時， P P( (x x ) )0 0. .6 68 82 27 7圖圖2.7 2.7 正態分布下不同區間出現的概率正態分布下不同區間出現的概率P(|x|2)P(|x|2)0.9545P(|x|3)P(|x|3)0.9973 2.2.3 2.2.3 有限次測值的算術平均值和標準差有限次測值的算術平均值和標準差 上述正態分布是（

22、上述正態分布是（n n）下求得的，但在實際測量中只能進行）下求得的，但在實際測量中只能進行有限次測量有限次測量1.1.有限次測量的算術平均值有限次測量的算術平均值 對同一量值作一系列等精度獨立測量，其測量列中的全部測量對同一量值作一系列等精度獨立測量，其測量列中的全部測量值的算術平均值與被測量的真值最為接近。值的算術平均值與被測量的真值最為接近。 設被測量的真值為設被測量的真值為 ，其等精度測量值為，其等精度測量值為x x1 1，x x2 2，x xn n，則，則其算術平均值為其算術平均值為 n12nii=111x= (x +x +.+x )=xnn由于由于 x的數學期望為的數學期望為 ，故算

23、術平均值就是真值，故算術平均值就是真值 的無偏估計值。的無偏估計值。實際測量中，通常以算術平均值代替真值。實際測量中，通常以算術平均值代替真值。2.2.有限次測量數據的標準差有限次測量數據的標準差貝塞爾公式貝塞爾公式 上述的標準差是在上述的標準差是在n n的條件下導出的，而實際測量的條件下導出的，而實際測量只能做到有限次。當只能做到有限次。當n n為有限次時，可以導出這時為有限次時，可以導出這時標準差為標準差為 xx xn2ii=11s( )=( - )n-1這就是貝塞爾公式。由于推導中不夠嚴密，故這就是貝塞爾公式。由于推導中不夠嚴密，故 )(xs被稱為被稱為標標準差的估值，也稱實驗標準差。準

24、差的估值，也稱實驗標準差。3.3.平均值的標準差平均值的標準差 在有限次等精度測量中，如果在相同條件下對同一量值分在有限次等精度測量中，如果在相同條件下對同一量值分mm組組進行測量，每組重復進行測量，每組重復n n次測量，則每組數列都會有一個平均值，次測量，則每組數列都會有一個平均值，由于隨機誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定由于隨機誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定分散性。這說明有限次測量的分散性。這說明有限次測量的算術平均值還存在著誤差算術平均值還存在著誤差。當需。當需要更精密時，應該用算術平均值的標準差要更精密時，應該用算術平均值的標準差 x來評價。來評價。 已知

25、算術平均值已知算術平均值 x為為 n m 1 2 m n m 1 2 m 1 1 x x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 1( )s x1x2( )s x( )ms x2xs( )s( )=nxxmxmiixmx1_1在概率論中有在概率論中有“幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個隨機變量方差之和隨機變量方差之和”的定理，可進行下面推導的定理，可進行下面推導)()()()(222212xxxxn )(1)(1)(

26、2222xnxnnxnxx)()(因因 故有故有 所以所以 )(.)()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx當當n n為有限次時，用標準差的估值即可，則為有限次時，用標準差的估值即可，則 nxsxs)()(（2.212.21） 結論結論：（：（2.212.21）式說明，算術平均值的標準差是任意一組）式說明，算術平均值的標準差是任意一組n n次次測量樣本標準差的測量樣本標準差的 n分之一。即算術平均值的標準差估值分之一。即算術平均值的標準差估值 )(xs比樣本標準差的估值比樣本標準差的估值 )(xs小小 n倍，倍， 表明了各組平均值再平均以后數值更集中了。

27、這是由于隨機誤表明了各組平均值再平均以后數值更集中了。這是由于隨機誤差的抵償性，測量次數越多，抵消程度越大，平均值離散程度差的抵償性，測量次數越多，抵消程度越大，平均值離散程度越小，這是采用統計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據。所越小，這是采用統計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據。所以，用算術平均值作為測量結果，減少了隨機誤差。以，用算術平均值作為測量結果，減少了隨機誤差。意義意義：（：（2.212.21）式給實際測量帶來了方便，人們只要測量一組）式給實際測量帶來了方便，人們只要測量一組數據，求得標準差，將其除以數據，求得標準差，將其除以 ，則相當于得到了多組數據，則相當于得到了多組數據n的算

28、術平均值的標準差。的算術平均值的標準差。歸納歸納：有限次測值的算術平均值和標準差有限次測值的算術平均值和標準差計算步驟：計算步驟：(1)(1)列出測量值的數據表列出測量值的數據表 (2)(2)計算算術平均值計算算術平均值 1211nniix xxxxnn ()iivxx221111( )()11nniiiis xxxnn(3)(3)殘差殘差 (4)(4)標準差的估計值標準差的估計值（實驗標準差）（實驗標準差） ( )( )s xs xn(5)(5)算術平均值標準差的估計值算術平均值標準差的估計值 例例2.62.6 對某信號源的輸出頻率進行了對某信號源的輸出頻率進行了8 8次測量，得測量值次測量

29、，得測量值 ix的序列的序列( (見表見表2.3) 2.3) 。求測量值的平均值及標準偏差。求測量值的平均值及標準偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用數據所用數據iv序號序號1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz)(kHz)1000.1000.82821000.1000.79791000.1000.85851001000.340.341001000.780.781001000.90.91 11001000.760.761001000.80.82 20.060.060.030.030.090.09- -0.420.420.020.020.10.15 5

30、0.000.000.00.06 6解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,這里采用的運算技巧）這里采用的運算技巧） nii=110.01x=x =1000+(82+79+85+34+78+91+76+82)=1000.76kHzn82110.2155( )0.17517inis xvn(2)(2)用公式用公式 xxvii計算各測量值殘差列于表計算各測量值殘差列于表2-32-3中中(3)(3)標準差估值標準差估值 (4)(4) x的標準偏差的標準偏差 因整數位不變因整數位不變kHzkHznxsxs062. 08175. 0)()(_例例2.152.15 對某直流穩壓電源的輸出電壓U

31、x進行了10次測量，測量結果如下：求輸出電壓Ux的算術平均值及其標準偏差估值005. 50054. 5)7110941526113(101001. 0000. 5101iU解：解：U Ux x的算術平均值的算術平均值 殘差殘差 次數次數12345678910電壓電壓/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007 殘差殘差(103V)-2.45.60.6-7.49.6-9.43.64.6-6.41.6V1012)(91)(iUUiUs101232222222222)10(6 . 1)4 . 6(6 . 46 . 3)4 . 9(6 . 9

32、)4 . 7(6 . 06 . 5)4 . 2(91i10123)10(56. 296.4016.2196.1236.8816.9276.5736. 036.3176. 591iV006. 00062. 0104 .353916標準偏差估值標準偏差估值 2.2.4 2.2.4 測量結果的置信度測量結果的置信度 1.1.置信置信度度與置信與置信區間區間 ( (百分比百分比) ) ( (范圍范圍) ) 置信度置信度（置信概率）就是用來描述測量結果處于某一（置信概率）就是用來描述測量結果處于某一范圍范圍內可內可靠程度的量，一般用百分數表示。靠程度的量，一般用百分數表示。 置信區間置信區間，即所選擇的

33、這個范圍，一般用標準差的倍數表示，即所選擇的這個范圍，一般用標準差的倍數表示，)(xk如如 給定給定2 2個標準差個標準差 )(2x范圍內數據的可信度是百分之幾？范圍內數據的可信度是百分之幾？條件：必須先知道測值的分布，才能討論置信問題。條件：必須先知道測值的分布，才能討論置信問題。 P(x)E(x)x0k(x)k(x)置信度置信度？%區間區間2.2.正態分布下的置信度正態分布下的置信度K=1K=1時，時， K=2K=2時，時， K=3K=3時，時， k k=3=3時，即在以時，即在以3 3倍標準差倍標準差3 3 區間內，隨機誤差出現的概率為區間內，隨機誤差出現的概率為99.73%99.73%

34、，而在這個區間外的概率非常小。，而在這個區間外的概率非常小。 圖圖2.7 2.7 正態分布下不同區間出現的概率正態分布下不同區間出現的概率68.3%68.3%95.4%95.4%99.7%99.7%P P( (x x ) )0 0. .6 68 82 27 7P(|x|2)P(|x|2)0.9545P(|x|3)P(|x|3)0.9973 3. t3. t分布下的置信度分布下的置信度 （n20n200n200） i3 3s s（x x） 2 2 格拉布斯檢驗法格拉布斯檢驗法（理論與實驗證（理論與實驗證明較好）明較好） 3 3 中位數檢驗法中位數檢驗法x xP P( (x x) )E E( (x

35、 x) )0 0-3s-3s3s3s中位數中位數平均值平均值 大量統計表明，當數據列中沒有粗大誤差時大量統計表明，當數據列中沒有粗大誤差時 991991、996996、999999、10011001、10041004、10081008、10111011、10141014、1019 1019 8 .10049101910141011100810041001999996991maxGs G G查查p34p34表表2.62.6中位數中位數例例GSGSGSGS2.3.4 2.3.4 應用舉例應用舉例 例例 2.12 2.12 對某溫度進行多次等精度測量，所得結果列于表對某溫度進行多次等精度測量，所得結

36、果列于表2.72.7中，中，試檢查數據中有無異常。試檢查數據中有無異常。表表2.7 2.7 例例 2.122.12所用數據所用數據序號序號測得值測得值x xi i殘差殘差v vi i序號序號測得值測得值x xi i殘差殘差v vi i序號序號測得值測得值x xi i殘差殘差v vi i1 120.4220.42+0.016+0.0166 620.4320.43-0.026-0.026111120.4220.42+0.016+0.0162 220.4320.43+0.026+0.0267 720.3920.39-0.014-0.014121220.4120.41+0.006+0.0063 320

37、.4020.40-0.004-0.0048 820.3020.30-0.104-0.104131320.3920.39-0.014-0.0144 420.4320.43+0.026+0.0269 920.4020.40-0.004-0.004141420.3920.39-0.014-0.0145 520.4220.42+0.016+0.016101020.4320.43+0.026+0.026151520.4020.40-0.004-0.004(1(1）萊特檢驗法萊特檢驗法 ： 從表中可以看出從表中可以看出x x8 8=20.30=20.30殘差較大，殘差較大，是個可疑數據，是個可疑數據， 8

38、3 ( )s x80.104 故可判斷故可判斷x x8 8是異常數據，應予剔除。再對剔除后數據計算得是異常數據，應予剔除。再對剔除后數據計算得 其余的其余的1414個數據的個數據的 i均小于均小于 3 ( )s x ，故為正常數據。，故為正常數據。 404.20 x033. 0)(xs411.20 x016. 0)(xs3 ( )0.016 30.048s x 3 ( )0.033 30.0991s x （2 2）按）按格拉布斯檢驗法格拉布斯檢驗法 取置信概率取置信概率 P Pc c=0.99=0.99，以，以 n n=15=15查表查表2.62.6得得 GG=2.70=2.70G Gs=2.

39、7s=2.70.033=0.090.033=0.09 8，剔除，剔除x x8 8后重新計算判別，后重新計算判別，得得n n=14=14，p pc c=0.99=0.99下下GG值為值為 2 26666G GSS 2.66 2.66 0.016 0.016 0.040.04 可見余下數據中無異常值。可見余下數據中無異常值。 （3）按中位數法）按中位數法將表中數據進行排序得將表中數據進行排序得20.30, 20.39, 20.39, 20.40, 20.40, 20.40, 20.41, 20.42, 20.42, 20.43, 20.43, 20.43, 20.43該數列的中位數為：該數列的中位

40、數為：20.41算數平均值為：算數平均值為：20.404假設懷疑偏離中位數較大的假設懷疑偏離中位數較大的20.30為異常數據，將它剔除后，為異常數據，將它剔除后，剩下數據的中位數為：剩下數據的中位數為：20.415剩余數據的算數平均值為：剩余數據的算數平均值為：20.411中位數接近算數平均值，為正常數據。中位數接近算數平均值，為正常數據。 x(1)所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今尚未有統至今尚未有統一的規定一的規定。這些檢驗法又都是以正態分布為前提的，當。這些檢驗法又都是以正態分布為前提的，當偏離正態分布時，檢驗可靠性將受影響，特別是測量次偏離正態分布時，

41、檢驗可靠性將受影響，特別是測量次數較少時更不可靠。數較少時更不可靠。(2)若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區間，應若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區間，應逐個剔除，然后重新計算逐個剔除，然后重新計算(3)在一組測量數據中，在一組測量數據中，可疑數據應極少可疑數據應極少。否則，說明系統。否則，說明系統工作不正常。要對異常數據的出現進行分析，找出原因，不工作不正常。要對異常數據的出現進行分析，找出原因，不要輕易舍去異常數據而放過發現問題的機會。要輕易舍去異常數據而放過發現問題的機會。(4)上述三種檢驗法中，萊特檢驗法是以正態分布為依據的上述三種檢驗法中，萊特檢驗法是以正態分布為依據的，測值

42、數據最好，測值數據最好n200，若，若nABX BA 被測電池電壓被測電池電壓x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V測量誤差為：測量誤差為： =0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%=0.2%+0.05%0.2%0.2%采用微差法測量，測量誤差主要決定于標準量的誤差，采用微差法測量，測量誤差主要決定于標準量的誤差，測試儀表誤差的影響被大大削弱。本例說明，用誤差為測試儀表誤差的影響被大大削弱。本例說明，用誤差為5 5的電壓表進行測量，可得的電壓表進行測量，可得0.2%0.2%的測量精確度。的測量精確度。待測待測標準標準

43、（固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V圖圖2.17 2.17 微差法測量微差法測量BAAABBBABXABXXABX2.4.4 2.4.4 等精度測量結果的數據處理（等精度測量結果的數據處理（重點重點） 當對某被測量進行等精度測量時，測量值中可能含有當對某被測量進行等精度測量時，測量值中可能含有系統誤差、隨機誤差和粗大誤差，應按下述基本步驟對系統誤差、隨機誤差和粗大誤差，應按下述基本步驟對測得的數據進行處理。測得的數據進行處理。1)1)對測量值進行修正，列出測量值對測量值進行修正，列出測量值x xi i 的數據表的數據表2)2)計算算術平均值計算算術平均值 3)3)列

44、出殘差列出殘差 4)4)按貝塞爾公式計算標準差的估值按貝塞爾公式計算標準差的估值 11niixxn()iivx x211( )1niis xn()()s xs xn5)5)按萊特準則按萊特準則 3 ( )is xmaxGs，或格拉布斯準則，或格拉布斯準則 ，檢查和剔除，檢查和剔除粗大誤差；若有粗大誤差，應逐一剔除粗大誤差；若有粗大誤差，應逐一剔除后，重新計算后，重新計算 和和s s，再判別直到無粗大誤差；，再判別直到無粗大誤差； x6)6)判斷有無系統誤差，如有應查明原因，修正或消除系判斷有無系統誤差，如有應查明原因，修正或消除系 統誤差后重新測量；統誤差后重新測量； 7)7)算術平均值標準差

45、的估計值算術平均值標準差的估計值8)8)寫出最后結果的表達式，即寫出最后結果的表達式，即 式中式中k k為置信因子。為置信因子。 )(xksxA例例2.142.14 對某電壓進行對某電壓進行1616次等精度測量，測量數據次等精度測量，測量數據x xi i中中已記入修正值，列于表已記入修正值，列于表2.82.8中。要求給出包括誤差在內中。要求給出包括誤差在內的測量結果表達式。的測量結果表達式。序號序號測量值測量值x xi i(V)(V) 殘差殘差v vi i殘差殘差v vi i序號序號測量值測量值x xi i(V)(V)殘差殘差v vi i殘差殘差v vi i1 1205.30205.300.0

46、00.00+0.09+0.099 9205.71205.71+0.41+0.41+0.50+0.502 2204.94204.94-0.36-0.36-0.27-0.271010204.70204.70-0.60-0.60-0.51-0.513 3205.63205.63+0.33+0.33+0.42+0.421111204.86204.86-0.44-0.44-0.35-0.354 4205.24205.24-0.06-0.06+0.03+0.031212205.35205.35+0.05+0.05+0.14+0.145 5206.65206.65+1.35+1.35-1313205.212

47、05.21-0.09-0.090.000.006 6204.97204.97-0.33-0.33-0.24-0.241414205.19205.19-0.11-0.11-0.02-0.027 7205.36205.36+0.06+0.06+0.15+0.151515205.21205.21-0.09-0.090.000.008 8205.16205.16-0.14-0.14-0.05-0.051616205.32205.32+0.02+0.02+0.11+0.11解：解：(1)(1)求出算術平均值求出算術平均值 30.205161161iixx(2)(2)計算計算 xxvii列于表中列于表中,

48、 ,并驗證并驗證 01niiv(3)(3)計算標準偏差估值計算標準偏差估值: : 4434. 011611612iivs(4)(4)按萊特準則判斷有無按萊特準則判斷有無 3302. 13 svi查表中第查表中第5 5個數據個數據 sv335. 1565.2065x，視，視 為為粗大誤差粗大誤差, ,加以剔除，現剩下加以剔除，現剩下1515個數據。個數據。(5)(5)重新計算剩余重新計算剩余1515個數據的平均值個數據的平均值: : 21.205x重新計算重新計算 xxvii列于表列于表2.82.8中中, ,并驗證并驗證 10niiv。(6)(6)重新計算標準偏差重新計算標準偏差 27. 011

49、511512iivs(7)(7)按萊特準則再判斷按萊特準則再判斷 81. 03 svi, ,現各現各 iv均小于均小于 3s則認為剩余則認為剩余1515個數據中不再含有粗大誤差。個數據中不再含有粗大誤差。 , ,(8)(8)對對 iv作圖作圖, ,判斷有無變值系統誤差，從圖中可見判斷有無變值系統誤差，從圖中可見無明顯累進性或周期性系統誤差。無明顯累進性或周期性系統誤差。殘差圖殘差圖(9)(9)計算算術平均值的標準偏差計算算術平均值的標準偏差: : (10)(10)寫出寫出測量結果表達式測量結果表達式: : 07. 015/27. 015/ ssx(205.2 0.2)xx xksv ( (取置

50、信系數取置信系數k=3) k=3) V2.5 2.5 誤差的合成與分配誤差的合成與分配 合成合成： 例：例： P PIU IU U U和和 I I如何影響如何影響 P P ？ I=U/R I=U/R U U和和 R R如何影響如何影響 I I ？ 方法：推導一個普遍適用的公式。方法：推導一個普遍適用的公式。 分項誤差分項誤差合成合成分配分配總合誤差總合誤差2.5.1 2.5.1 測量誤差的合成測量誤差的合成 1 1 誤差傳遞公式誤差傳遞公式 設設 )(21xxfy，若在若在 )(20100 xxfy，附近各階偏導數存在，則可把附近各階偏導數存在，則可把y y展為展為泰勒級數泰勒級數 )(21x

51、xfy，1020110220110110220220122222222212() ()()1()2() ()() 2fff xxx xxxxxfffx xx xxxxxxx xx ，！)()(20221011xxxxxx及分別表示分別表示x x1 1及及x x2 2分項的誤差，由于分項的誤差，由于 1122xxxx及的中高階小量，則總合的誤差為的中高階小量，則總合的誤差為 ，略去泰勒級數，略去泰勒級數221120100)(xxfxxfxxfyyyy，同理，當總合同理，當總合y y由由mm個分項合成時，可得個分項合成時，可得mmxxfxxfxxfy2211jmjjxxfy1 絕對誤差的傳遞公式絕

52、對誤差的傳遞公式 例例方案方案1 1方案方案2 2 方案方案3 3解：解：方案方案1 1：用公式：用公式P PI IU UUIIUUUPIIPP則算得功率的相對誤差為則算得功率的相對誤差為VIpUIUIUIIUPPP P= =IUIU=U=U2 2/R/R=I=I2 2R R方案方案2 2：用公式：用公式 P P= =U U2 2R R 222RRURUURRPUVPP則則 RURRURURUUPPp2222222VRURUR=求導求導方案方案3 3：用公式：用公式 P PI I2 2R R RIIIRRRPIIPP22RIpRRIIRIRIRIIIRPP222222則則 相對誤差相對誤差方法

53、方法1 1jmjjyxxffyy11方法方法2：用對數求導數用對數求導數 1ln yyyjjdxfdfdxdfln/jmjjyxxf1ln 相對誤差傳遞公式相對誤差傳遞公式方案方案2 2： 2UpR用用相對誤差傳遞公式相對誤差傳遞公式 lnP=2lnU-lnRlnP=2lnU-lnR(2lnln )(2lnln )22pVRURURURURURUR 若若 ),(21mxxxfy 的函數關系為和、差關系時，的函數關系為和、差關系時，常先求總合的絕對誤差，若函數關系為積、商或乘常先求總合的絕對誤差，若函數關系為積、商或乘方、開方方、開方關系時，常先求總合的相對誤差比較方便。關系時，常先求總合的相對

54、誤差比較方便。 y=xy=x1 1+x+x2 2-x-x3 3321xxxy 12mnyxx xLCf210用哪種方法求相對誤差方便？用哪種方法求相對誤差方便？2 2 系統誤差的合成系統誤差的合成： 由誤差傳遞公式，易求得確定性系統誤差的合成值。由誤差傳遞公式，易求得確定性系統誤差的合成值。mmxxfxxfxxfy 2211一般地，各分項誤差一般地，各分項誤差 x x由系統誤差由系統誤差 及隨機誤差及隨機誤差 構成，構成，)()()(222111mmmxfxfxfy 若隨機誤差可以忽略，總的系統誤差若隨機誤差可以忽略，總的系統誤差 y y可由各分項系統可由各分項系統誤差合成誤差合成 jmjjy

55、xf13.3.隨機誤差的合成隨機誤差的合成 )(1jjmjjyyxfy若各分項的系統誤差為零，則總的隨機誤差為若各分項的系統誤差為零，則總的隨機誤差為 jmjjyxf1隨機誤差應由方差或隨機誤差應由方差或 標準差表征：標準差表征：2221()mjjfyxxj（ ）（ ）確定性誤差是按代數形式合成：確定性誤差是按代數形式合成：隨機誤差的方差是按幾何形式隨機誤差的方差是按幾何形式合成：合成：22212yxx12yxx2.5.2 2.5.2 測量誤差的分配測量誤差的分配分項誤差分項誤差 總合誤差總合誤差 合成合成 分配分配 1.1.等準確度分配等準確度分配設設 =0 =0 1 1= = 2 2副邊總

56、電壓副邊總電壓U=880V U=880V 則，測量允許的最大總誤差為則，測量允許的最大總誤差為 U= = U U （2 2）= =17. 6 V 17. 6 V 3 31 12 250H50HZ Z220V220VU U4 45 5誤差的分配誤差的分配U U1 1U U2 2440v440v440v440v880v880v例例：用量程為：用量程為500V500V交流電壓交流電壓表測副邊總電壓，要求相對表測副邊總電壓，要求相對誤差小于誤差小于2%2%，問，問應選幾級應選幾級電壓表電壓表？用引用相對誤差為用引用相對誤差為 n的電壓表測量時，電表的滿刻度值為的電壓表測量時，電表的滿刻度值為U Umm

57、，可能產生的最大絕對誤差為可能產生的最大絕對誤差為 mnUUmax，這個值不應大于每，這個值不應大于每個個副圈分配到的測量誤差副圈分配到的測量誤差 U Ui i，即要求，即要求%66.15008.8minUU可見選用可見選用1.51.5級（級（1.5%1.5%）的電壓表能滿足測量要求。的電壓表能滿足測量要求。 VUUUi8 . 826 .17221可以認為測量誤差主要是由電壓表誤差造成的，而且由于兩次可以認為測量誤差主要是由電壓表誤差造成的，而且由于兩次測量的電壓值基本相同，根據測量的電壓值基本相同，根據等準確度分配原則分配誤差等準確度分配原則分配誤差，則，則2. 2. 等作用分配等作用分配等

58、作用分配是指各分項的誤差它們對測量誤差總合的作用或等作用分配是指各分項的誤差它們對測量誤差總合的作用或者說對總合的影響是相同的，即者說對總合的影響是相同的，即 mmxfxfxf 2211)()()()()()(2222221221mmxxfxxfxxf 可求出應分配各分項的誤差為可求出應分配各分項的誤差為jyjxfmjjxfmyx)()(例例2.18 2.18 通過測電阻上的電壓、電流值間接測電阻上消耗的功率，已測出通過測電阻上的電壓、電流值間接測電阻上消耗的功率，已測出電流為電流為100mA100mA，電壓為，電壓為3V3V，算出功率為，算出功率為300mW300mW。若要求功率測量的系。若

59、要求功率測量的系統誤差不大于統誤差不大于5%5%，隨機誤差的標準偏差不大于，隨機誤差的標準偏差不大于5mW5mW，問電壓和電流的，問電壓和電流的測量誤差多大時才能保證上述功率誤差的要求。測量誤差多大時才能保證上述功率誤差的要求。 P = U I P = U I300mw 3v 100mA 300mw 3v 100mA 5%5% ？ ？5mW 5mW ？ ？在按等作用分配原則進行誤差分配以后，可根據實際測量時各分項誤差達在按等作用分配原則進行誤差分配以后，可根據實際測量時各分項誤差達到給定要求的困難程度適當進行到給定要求的困難程度適當進行調節調節，在滿足總誤差要求的前提下，對，在滿足總誤差要求的

60、前提下，對不不容易達到要求的分項適當放寬容易達到要求的分項適當放寬分配的誤差，而對容易達到要求的分項，則分配的誤差，而對容易達到要求的分項，則可適當把分給的誤差再改小些，以使各分項測量的要求不致難易不均。可適當把分給的誤差再改小些，以使各分項測量的要求不致難易不均。 3. 3. 抓住主要誤差項進行分配抓住主要誤差項進行分配 當各分項誤差中第當各分項誤差中第k k項誤差特別大時，按照微小誤差準則，若其他項對總合項誤差特別大時，按照微小誤差準則，若其他項對總合的影響可以忽略，這時就可以不考慮次要分項的誤差分配問題，只要保證的影響可以忽略，這時就可以不考慮次要分項的誤差分配問題，只要保證主要項的誤差