1、1.1（續）（續） 基本概念基本概念定義定義1:1: 聯系自變量、未知函數及聯系自變量、未知函數及未知函數導數未知函數導數（或微（或微分）的關系式稱為微分方程分）的關系式稱為微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程一、常微分方程與偏微分方程 如果在一個微分方程中，自變量的個數只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2)

2、 ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一個微分方程中,自變量的個數為兩個或兩個以上,稱為偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程. 同時把常微分方程簡稱為微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定義定義2 2：微分方程中出現的未知函數的最高階導數或：微分方程中出現的未知函數的最高階導數或微分的微分的階階數稱為微分方程的階數數稱為微分方程的階數. . 2 ) 1 (xdxdy是一階微分方程；

3、0 (2) ydxxdy是二階微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四階微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的階二、微分方程的階如:( , ,)0(1)nndyd yF x ydxdxn階微分方程的一般形式為( , ,)0, ,.nnnnnndyd ydyd yF x yx ydxdxdxdxd yyxdx這里是的已知函數而且一定含有是未知函數是自變量 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程是線性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd三 線性和非線性( , ,)0nndyd yF x ydxdx如如

4、,.nndyd yydxdxn的左端為 及的一次有理式則稱其為 階線性方程1.如果方程 是非線性微分方程是非線性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2. n階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程四 微分方程的解定義4:,),(滿足條件如果函數Ixxy;)() 1 (階的連續導數上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有對( )( , ,)0.nndyd yyxF x ydxdxI則稱為方程在 上的

5、一個解例2sin ,cos0(,).yx yxyy 驗證都是微分方程在上的一個解證明:sin ,yx對由于cos ,sinyx yx (,),x 故對有 yyxsin0 xsinsin0(,).yxyy 故是微分方程在上的一個解cos0(,).yxyy 同理是微分方程在上的一個解1 顯式解與隱式解( , )0( ),( , ,)0,( , )0nnx yyx xIdyd yF x ydxdxx y如果關系式所確定的隱函數為方程的解 則稱是方程的一個相應定義4所定義的解為方程的一個顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統稱為微分方程的解.例如dyxdxy 對一階微分方程有顯式解:2211.yxyx

6、和和隱式解:. 122 yx2 通解與特解定義5 如果微分方程的解中含有任意常數,且所含的相互獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:1212sincos ,ycxcx c c為任常數0.yy是微分方程的通解n階微分方程通解的一般形式為),(1nccxy.,1為相互獨立的任常數其中ncc 注1:使得行列式的某一鄰域存在是指個獨立常數含有稱函數,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例321233226.xxxyc ec ec eyyyy驗證

7、是微分方程的通解21232xxxyc ec ec e證明:由于21234,xxxyc ec ec e21238xxxyc ec ec e故22yyyy2123(2)xxxc ec ec e2123(8)xxxc ec ec e21232(4)xxxc ec ec e21232(3)xxxc ec ec e61111(22 )xcccc e2222(22)xcccc e xecccc23333)228(8621233226.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的通解又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 021233226

8、.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的解注2:.),(,0),(),(11該微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3:類似可定義方程的隱式通解, 如果微分方程的隱式解中含有任意常數,且所含的相互獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同,則稱這樣的解為該 方程的隱式通解.以后不區分顯式通解和隱式通解,統稱為方程的通解. 在通解中給任意常數以確定的值而得到的解稱為方程的特解.例如sin ,cos0.yx yxyy都是方程的特解12sincosycxcx可在通解中分別取121,0,:cc得到120,1,:cc得到sin ,yxco

9、s .yx定義63 定解條件 為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據實際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題. 常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個條件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy時當.1,)1(0)1(000個常數是給定的這里nyyyxn當定解條件是初始條件時,相應的定解問題稱為初值問題.注1:n階微分方程的初始條件有時也可寫為)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問題的解的初值問題也稱滿足條件階微分方程求,)(,)(,)(, 0

10、),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4-412540,(0)2,(0)1.xxyc ec eyyyyy驗證是方程的通解 并求滿足初始條件的特解54yyy412()xxc ec e412(16)xxc ec e04125()xxc ec e4124()xxc ec e4125(4)xxc ec e4124()xxc ec e解由于且xxxxeeee4442121cccc0412540.xxyc

11、 ec eyyy故是方程的通解有由初始條件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程組得1, 321cc540(0)2,(0)1yyyyy故方程滿足初始條件的特解為43xxyee五 積分曲線和方向場1 積分曲線一階微分方程( , )dyf x ydx( ),yxxy的解所表示平面上的一條曲線稱為微分方程的積分曲線.( , ),.yx cxy而其通解對應平面上的一族曲線稱這族曲線為積分曲線族2 方向場( , ),( , ),( , ),( , ),( , )f x yDDx yf x yx ydyDf x ydx設函數的定義域為在 內每一點處 都畫上一個以的值為斜率 中心在點的線段 稱帶有這種直線段的區域 為方程在方向場中,方向相同的點的幾何