1、第6章行列式、矩陣與線性方程組本章教學要求：了解行列式、矩陣的基本概念，并會計算行列式、矩陣的計算題。在一個函數、方程或不等式中，如果所出現的數學表達式是關于未知數或變量的一次式，那么這個函數、方程或不等式就稱為線性函數、線性方程或線性不等式。在經濟管理活動中，許多變量之間存在著或近似存在著線性關系，使得對這種關系的研究顯得尤為重要，許多非線性關系也可轉化為線性關系。線性代數是高等數學的又一個重要內容，與微積分有著同樣的地位和同等的重要性行列式、矩陣與線性方程組（即一次方程組）的理論是線性代數的一個基本內容，也是主要內容線性代數在許多實際問題中有著直接的應用，并為數學的許多分支和其它學科所借鑒

2、行列式、矩陣與線性方程組在數據計算、信息處理、均衡生產、減少消耗、增加產出等方面有著廣泛應用，是我們改善企業生產經管管理、提高經濟效益很有用的工具。在這一章里，我們將介紹行列式和矩陣的一些基礎知識，并討論線性方程組的解法，以及行列式、矩陣與線性方程組的一些相關經濟應用。n階行列式及性質行列式是在討論線性方程組時建立起來的一個數學概念，是我們解線性方程組的一個有力工具6.1.1 二階行列式二元線性方程組的一般形式是 利用消元法求解：，得，得當時，方程組的解為在二元線性方程組的解的表達式中，、的解的分母都是為了便于記憶和討論，引入一個新的記號來表示，即 (6-1)在中，、是方程組中、的系數，它們按

3、原來的位置排成一個正方形我們稱為二階行列式，其中橫排稱為行，縱排稱為列，（；）稱為二階行列式第行第列的元素(6-1)式的右端稱為二階行列式的展開式顯然，二階行列式有二行和二列，共4個元素，記為個元素，二階行列式的展開式有兩項，記為2!項。二階行列式按如下方法展開（圖6-1）： 圖6-1 二階行列式展開方法實對角線（叫做主對角線）上兩元素之積取正號，虛對角線上兩元素之積取負號，然后相加就是行列式的展開式這種展開行列式的方法稱為對角線展開法由上可知，二階行列式等于一個確定的數，這個數稱為二階行列式的值求二階行列式的值可用對角線展開法例6-1計算下列二階行列式的值：；解：；根據對角線展開法，我們再來

4、解決前面給出的二元線性方程組求解的另一種方法。有：對應于、解的分母和分子的表達式,聯系二階行列式的展開形式,得到如下： =，=記：，由于行列式是由方程組中未知數的系數按原來的順序排列而成，故稱為系數行列式顯然，行列式、是以、分別替換行列式中的第一列、第二列的元素所得到因此，當時，方程組的解可表示為：， (6-2)例6-2解方程組解：方程組化為一般形式：因為，所以，根據(6-2)式，方程組的解為：，6.1.2 三階行列式三元線性方程組的一般形式為 與二元線性方程組類似，用消元法可求出解的公式為其中分母式比較繁雜，為了便于記憶與討論，仿照二階行列式，用記號來表示，即 (6-3)(6-3)式的左邊叫

5、做三階行列式，右邊叫做這個三階行列式的展開式顯然，三階行列式有三行和三列，共個元素，其中（；）是三階行列式第行第列的元素三階行列式的展開式有3!項三階行列式的展開可按如下方法展開（圖6-2）： 圖6-2 三階行列式展開方法實線上三數之積取正號，虛線上三數之積取負號，然后相加就是行列式的展開式，這種展開法則叫做對角線法則例6-3計算行列式的值解：例6-4展開行列式解：與二階行列式相似，用三階行列式來求解三元線性方程。引入記號、，其中，行列式是由方程組中未知數的系數按原來的順序排列而成，叫做方程組的系數行列式，行列式、是以、分別替換行列式中的第一列、第二列、第三列的元素所得到因此，當時，方程組的解

6、可表示為：， (6-4)例6-5解方程組解：方程組化為一般形式：因為，所以，根據(6-4)式，方程組的解為：，6.1.3 n階行列式為了定義n階行列式及學習行列式的展開定理，我們先介紹代數余子式的概念定義6.1將行列式中第行第列的元素所在行和列的各元素劃去，其余元素按原來的相對位置次序排成一個新的行列式，這個新的行列式稱為元素的余子式，記作。稱為元素的代數余子式，記作，即 （6-5）例如，在行列式中，；，有了代數余子式的概念，我們容易得到三階行列式按第一行元素展開為（）若規定一階行列式，則二階行列式按第一行元素展開為（）依照上述（）、（）式來定義n階行列式：定義6.2將個數排成一個正方形數表，

7、并在它的兩旁各加一條豎線，即 （6-6）稱為n階行列式當時，規定一階行列式；當時，規定n階行列式 (6-7)例6-6計算行列式的值解：根據定義，在n 階行列式中，有一類特殊的行列式，它們形如 (6-8)或 (6-9)我們都稱它們為三角形行列式，其中式(6-8)稱為下三角形行列式，式(6-9)稱為上三角形行列式三角形行列式的值等于主對角線上各元素的乘積，即四階和四階以上的行列式稱為高階行列式6.1.4 n階行列式的性質按定義計算行列式是一種較復雜的運算方法，下面學習的n階行列式性質，能簡化行列式的計算性質行列式所有的行與相應的列互換，行列式的值不變，即我們把行列式的行與列互換后所得行列式稱為的轉

8、置行列式，記作 這個性質說明，對于行列式的行成立的性質，對于列也一定成立，反之亦然性質行列式的任意兩行（列）互換，行列式僅改變符號例如， 性質若行列式中某兩行（列）對應元素相同，則此行列式的值為零例如， 性質行列式中某行（列）的各元素有公因子時，可把公因子提到行列式符號外面例如， 例6-7計算下列行列式的值：；解：推論若行列式有一行（列）各元素都是零，則此行列式等于零例如，推論若行列式有二行（列）對應元素成比例，則此行列式等于零例如，性質若行列式某一行（列）的各元素均是兩項之和，則行列式可表示為兩個行列式之和，其中這兩個行列式的該行（列）元素分別為兩項中的一項，而其它元素不變例如，性質將行列式

9、某一行（列）的所有元素同乘以數后加到另一行對應位置的元素上，行列式的值不變例如，性質在行列式的計算中起著重要的作用運用性質時選擇適當的數，可以使行列式的某些元素變為零反復交替地使用行列式性質，將行列式化為三角形行列式，也是計算行列式的值的常用方法例6-8計算下列行列式的值：； 解：在n階行列式的定義中，是將行列式按第一行展開的事實上， n階行列式也可以按任何一行（列）展開性質（行列式展開性質）行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和例6-9利用性質計算行列式的值解：性質行列式某一行（列）的各元素與另一行（列）對應元素的代數余子式的乘積之和等于零例如，在三階行列式中，；習

10、題6-1 利用對角線法則求下列各行列式的值：； 寫出下列行列式中元素，的代數余子式：1 ； 利用行列式的性質求下列各行列式的值： ； 求下列各行列式的值：； 用行列式解下列線性方程組：；試證明下列范得蒙（Vandermonde）行列式：；克萊姆（Cramer）法則在上一節的討論中我們知道，二元、三元線性方程組在系數行列式時方程組有唯一解，并且解可以用式(6-2)或(6-4)求出類似地，對于n元線性方程組，其一般形式為(6-10)有如下結論：定理6.1（克萊姆法則）若n元線性方程組(6-10)的系數行列式，則方程組(6-10)有且僅有一個解：，其中是把的第列元素換成方程組的常數項，而得到的n階行

11、列式例6-10解線性方程組解：方程組的系數行列式，所以，方程組有唯一解又因為，由克萊姆法則，得方程組的解為，例6-11某企業一次投料生產能獲得產品及副產品共四種，每種產品的成本未單獨核算現投料四次，得四批產品的總成本如下表所示試求每種產品的單位成本批次產品（公斤）總成本（元）第一批產品第二批產品第三批產品第四批產品4010020802050836204083210204125804102721100解：設、四種產品的單位成本分別為，依題意列方程組利用克萊姆法則解這個方程組，得方程組有唯一解：，所以，四種產品的單位成本分別為10元、元、元、元如果n元線性方程組(6-10)的常數項均為零，即 (6

12、-11)則當系數行列式時，方程組(6-11)有唯一零解：，我們應該知道，解線性方程組，只有在方程組的未知數個數與方程個數相等以及方程組的系數行列式時，才能應用克萊姆法則當，或者未知數個數與方程個數不相等時，我們可以用矩陣的知識來解決習題6-2用克萊姆法則解下列線性方程組：；一節食者準備他一餐的食物、已知每一盎司含有單位的蛋白質，單位的脂肪，單位的糖；每一盎司含有單位的蛋白質，單位的脂肪，單位的糖；每一盎司含有單位的蛋白質，單位的脂肪，單位的糖如果這一餐必須精確地含有25單位的蛋白質，24單位的脂肪，21單位的糖，請問節食者每種食物須準備多少盎司？（每盎司為28.35g）試根據下列資料求每類商品

13、的利潤率：商品月份銷售額（萬元）總利潤（萬元）4810102.742.762.892.79矩陣的概念、運算在本節，我們要學習一個新的數學概念矩陣(matrix)矩陣不僅是解線性方程組的重要工具，而且在經濟管理中也有著極為廣泛的應用6.3.1 矩陣的概念例6-12某公司銷售四種商品、，它們在第一季度的銷售量分別如表6-1所示：表6-1商品月份銷售額（件）20025028022030026010090120300320400在數學中習慣僅將數據從表里提出來研究這樣一個純數表：如果我們把這些數按原來的行列次序排出一張矩形數表：這種矩形數表在數學上就叫做矩陣定義6.3由個數按一定順序排列成的一個行列的

14、矩形數表： （6-12）稱為行列矩陣 稱為矩陣的第行第列元素矩陣通常用大寫英文字母，或，表示，也可記為或對于矩陣（6-12），當時，稱為階方陣，簡稱方陣當時，稱為行矩陣當時，稱為列矩陣當時，稱為零矩陣，記作或，即方陣從左上角到右下角的對角線稱為主對角線除了主對角線上的元素外，其余元素均為零的方陣稱為對角矩陣，即主對角線上的元素均為的對角矩陣稱為單位矩陣，記為或例如，主對角線下方的各元素均為零的方陣稱為上三角形矩陣，即；主對角線上方的各元素均為零的方陣稱為下三角形矩陣，即上三角形矩陣和下三角形矩陣統稱為三角形矩陣把矩陣的行換成列所得的矩陣稱為矩陣的轉置矩陣，記作或例如，則若兩矩陣與對應位置上的元

15、素都相等，即，則稱矩陣與矩陣相等，記作由方陣的元素按原來的次序所構成的行列式稱為矩陣的行列式，記作或例如，矩陣的行列式為6.3.2 矩陣的運算矩陣的加法與減法例6-13某運輸公司分兩次將某商品（單位：噸）從個產地運往個銷地，兩次調運方案分別用矩陣與矩陣表示：，求該公司兩次從各產地運往各銷地的商品運輸量顯然所求商品運輸量用矩陣表示為這個例子說明，在實際問題中有時需要把兩個矩陣的所有對應元素相加這就是矩陣的加法定義6.4設矩陣，則矩陣稱為與的和與差，記作，即顯然，兩個矩陣只有當它們的行數和列數都相同時，才能進行加減運算例6-14已知，求；解：矩陣的加法滿足：交換律：；結合律：，其中、均是行列矩陣數

16、與矩陣相乘在例6-13中，若運輸公司第三次將這種商品從個產地運往個銷地，且運輸量是第二次的倍，則第三次從各產地運往各銷地的商品運輸量用矩陣表示為這實際上是數與矩陣相乘定義6.5設矩陣，則矩陣稱為數與矩陣相乘，簡稱數乘矩陣，記作，即例6-15已知，求解：數乘矩陣滿足：交換律：；分配律：，；結合律：；，；，其中、為任意常數，、均是行列矩陣矩陣與矩陣相乘例6-16某公司生產甲、乙兩種產品，計劃元月份的產量分別為100、120件，用矩陣表示已知每種產品都需經過三臺機器加工，每臺機器上所費時間（小時）用矩陣表示，求元月份每臺機器的使用時間顯然，元月份每臺機器的使用時間用矩陣表示這實際上就是矩陣與矩陣相乘

17、定義6.6設矩陣，則矩陣，其中稱為矩陣與矩陣的乘積，記作，即由定義可以看出，只有當矩陣的列數等于矩陣的行數時，才能與相乘，并且所得結果的行數等于矩陣的行數，而列數等于矩陣的列數例6-17已知，求 解：例6-18已知，求，解：，由例6-18可以知道：，即矩陣乘法不滿足交換律因此，矩陣與矩陣的乘積常讀作左乘或右乘，這時我們稱矩陣為左矩陣，矩陣為右矩陣由不能推出或不能推出，即矩陣乘法不滿足消去律例6-19已知，求，解：，矩陣乘法滿足：分配律：，；結合律：，；，其中、是矩陣，是任意常數例6-20、某商店主要銷售甲、乙、丙三種商品，其銷售量如表1所示，每件商品銷售價格及銷售利潤如表2所示，試求該商店第二

18、季度三個月的銷售額及銷售利潤各為多少？表1月份銷售量甲乙丙4月4002007005月5003005006月600400600表2 單位：元單價單位利潤甲305乙204丙152解：4月份的銷售額為4月份的利潤為同理可得：5月份的銷售額為28500元，5月份的利潤為4700元；6月份的銷售額為35000元，6月份的利潤為5800元我們將上運算用矩陣表示：習題6-3行列式與矩陣有什么區別？已知矩陣，求，計算：；若、B是兩個不同的階方陣，恒等式是否成立？為什么？其中現有三批貨物分別運往三個地點，貨物去向，重量及運費分別如下表所列：貨物去向貨物件數每件重量（公斤）運費（元公斤）廣州沈陽蘭州8050702

19、030500.120.100.11試用矩陣形式計算這三批貨物的運費總額6.某商店一周內售出商品甲、乙、丙的數量及單價如表：商品日銷售量單價（元）一 二 三 四 五 六 日甲9 3 0 10 7 2 114乙7 5 8 11 9 0 123丙6 4 5 6 10 3 102試用矩陣運算計算出每日的銷售量。7.四個工廠均能生產甲、乙、丙三利產品，其單位成本如下表：現要生產甲種產品600件，乙種產品500件，丙種產品200件，問由哪個工廠生產成本最低？單位 產品成本工廠甲乙丙1356224834554437逆矩陣及初等變換6.4.1 逆矩陣根據矩陣與矩陣的乘積和矩陣相等的定義，方程組(6-10)可寫

20、成矩陣形式 (6-13)其中稱為方程組(6-10)的系數矩陣，稱為未知數矩陣，稱為常數項矩陣式(6-13)稱為矩陣方程我們知道代數方程的解為，對于矩陣方程(6-13)，為了將它寫成的形式，我們引進逆矩陣的概念定義6.7設是n階方陣，如果存在一個n階方陣，使得，則稱方陣是可逆的（或非奇異的），并稱為的逆矩陣，簡稱逆陣，記作否則稱是不可逆的（或奇異的）例6-21設，驗證證明：，逆矩陣有以下性質：若可逆，則其逆陣是唯一的的逆陣的逆陣是，即求可逆矩陣的逆陣可用伴隨矩陣法定義6.8設n階方陣，其行列式中各元素的代數余子式為，將按中的順序排列成方陣，然后轉置所得的方陣稱為方陣的伴隨矩陣，記作，即根據n階行

21、列式的性質、性質，當時，所以，有以下定理：定理6.2方陣可逆的充要條件是當可逆時有例6-22判斷下列矩陣是否可逆？若可逆，求其逆陣；解：因為，所以可逆又因為，所以，因為，所以不可逆有逆矩陣的概念，對于矩陣方程(6-13)，若可逆，則例6-23解矩陣方程解：方程兩邊同時右乘，得： 例6-24利用逆矩陣解線性方程組解：方程組的系數矩陣、未知數矩陣、常數項矩陣分別為，則得到矩陣方程為因為，所以，得到方程組的解為，6.4.2 矩陣的初等變換由前面的討論可知，用克萊姆法則和逆矩陣求線性方程組的解時，要求方程組必須是n個未知數n個方程的線性方程組，而且其系數行列式不等于零均有一定的局限性，為了更一般地求解

22、線性方程組，在這里我們先介紹矩陣的秩和初等變換的概念定義6.9在矩陣中，任取行列，位于這些行列相交處的元素所構成的階行列式，稱為的階子式例如，在矩陣中，第一、二行與第一、二列相交處元素構成的二階子式為；第一、二、三行與第二、三、四列相交處元素構成的三階子式為定義6.10如果矩陣中至少有一個階子式不為零，而所有高于階的子式都為零，則數稱為矩陣的秩，記為，即顯然，若，則中階子式不可能全為零例如，在矩陣中，有二階子式，而它的四個三階子式，均為零，所以，定義6.11若矩陣滿足：零行（即元素全為零的行）在下方，首非零元（即非零行第一個不為零的元素）的列標號隨行標號的增加而嚴格遞增，則矩陣稱為階梯形矩陣 例如，都是階梯形矩陣顯然，階梯形矩陣的秩等于其中非零行的行數上面階梯形矩陣，定義6.12若階梯形矩陣滿足：非零行的首行非零元都是，所有首非零元所在列的其它元素都是，則矩陣稱為簡化階梯形矩陣例如， ， 都是簡化階梯形矩陣定義6.13對矩陣的行（或列）作以下三種變換，稱為初等變換矩陣的任意兩行（或列）互換位置（第行（或列）與第行（或列）互換，記作（或）用一個不為零的常數乘矩陣的某一行（或列）（數乘第行（或列），記作（或）用