1、精選優質文檔-傾情為你奉上 二次函數專題復習講義1、 學習目標：1.通過知識講解，讓學生理解二次函數的意義，理解二次函數與一元二次方程的關系。2. 通過習題的練習，使學生掌握用描點法畫出二次函數的圖像，掌握確定拋物線的開口方向、頂點坐標和對稱軸的方法。3. 通過習題的講解與練習，讓學生靈活運用實際問題的分析確定二次函數的表達式，會根據拋物線的圖像確定a,b,c的符號。考點 課標要求 知識與技能目標了解理解掌握靈活運用二次函數理解二次函數的意義*會用描點法畫出二次函數的圖像*會確定拋物線的開口方向、頂點坐標和對稱軸*通過對實際問題的分析確定二次函數的表達式*理解二次函數與一元二次方程的關系*會根

2、據拋物線的圖像確定a,b,c的符號*二、重難點：二次函數解決實際問題，二次函數與其它知識結合的有關問題三、教學方法：講練結合四、教學過程（一）二次函數的定義、圖像與性質 題型一二次函數的定義一般地，如果（a，b，c是常數，a0），那么y叫做x 的二次函數。所謂二次函數就是說自變量最高次數是2；二次函數（a0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數；二次函數（a0）與一元二次方程（a0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個

3、二次函數就是一個一元二次方程。例1 判斷一個函數是否為二次函數 下列函數中，是二次函數的是（ ） A. B. C. D. 求二次函數中的未知數 若函數y=(m2)xm 2+5x+1是關于的二次函數，則m的值為 。探究提高：1 判斷一個函數是否為二次函數的方法和步驟(1)先將函數進行整理，使其右邊是含有自變量的代數式，左邊是因變量；(2)判斷右邊含自變量的代數式是否為整式；(3)判斷二次項的系數是否為零。2.假設一個函數是二次函數，求二次函數中未知數的方法和步驟(1)使得二次項系數不為0；(2)x的最高指數等于2；(3)綜合求解。題型二二次函數的一般形式 任何一個二次函數的解析式都可以化成的形式

4、，因此，把叫做二次函數的一般形式。其中分別是二次項、一次項和常數項；而分別是二次項系數，一次項系數和常數項。例2 把下列二次函數化成一般形式，并指出二次項系數、一次項系數、常數項： 探究提高： 把二次函數化成一般形式的方法和步驟：先把函數進行因式分解，再合并同類項進行整理，使其右邊是含有自變量的代數式，左邊是因變量。題型三二次函數的圖像與性質1. 二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象與性質函數二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a0)圖象a>0a<0性質(1) 當a>0時，拋物線開口向 ，并向 無限延伸，頂點（）是它的最 點.(2)在對稱軸直線的左側，拋物線

5、自左向右 ，在對稱軸的右側，拋物線自左右 .(1)當a<0時，拋物線開口向 ，并向 無限延伸，頂點()是它的最 點.(2)在對稱軸直線的左側，拋物線自左向右 ；在對稱軸右側，拋物線自左向右 .例3 如果函數y=（a1）x2+3x+的圖象經過平面直角坐標系的四個象限，那么a的取值范圍是 分析：函數圖象經過四個象限，需滿足3個條件：（I）函數是二次函數；（II）二次函數與x軸有兩個交點；（III）二次函數與y軸的正半軸相交解答：解：函數圖象經過四個象限，需滿足3個條件：（I）函數是二次函數因此a10，即a1（II）二次函數與x軸有兩個交點因此=94（a1）=4a110，解得a（III）二次函

6、數與y軸的正半軸相交因此0，解得a1或a5綜合式，可得：a5故答案為：a5探究提高：a，b，c的代數式作用字母的符號圖象的特征a1. 決定拋物線的開口方向；2. 決定增減性a>0開口向 a<0開口向 c決定拋物線與y軸交點的位置，交點坐標為(0，c)c>0交點在 c=0拋物線過 c<0交點在 決定對稱軸的位置，對稱軸是直線ab>0對稱軸在y軸 ab<0對稱軸在y軸 b2-4ac決定拋物線與x軸公共點的個數b2-4ac>0拋物線與x軸有 交點b2-4ac=0頂點在 上b2-4ac<0拋物線與x軸 交點（2） 求二次函數解析式題型一利用函數圖像上的三

7、個點求解析式例1 圖像經過（1，4），（1，0），（2，5），求二次函數的解析式探究提高：當題目給出函數圖像上的三個點時，設為一般式y=ax2+bx+c，轉化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值。題型二 利用拋物線的頂點或對稱軸、極值求解析式例2 圖象頂點是（2，3），且過（1，5），求二次函數的解析式探究提高：若已知拋物線的頂點或對稱軸、極值，則設為頂點式。頂點坐標為（ h，k ），對稱軸方程x = h，最值為當x = h時，y最值=k來求出相應的系數。題型三 利用與x軸的交點求解析式例3 圖像與x軸交于（2，0），（4，0）兩點，且過（1，）探究提高：當拋物線與x軸有交點時，即對應二

8、次方程有實根x1和x2存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。也就是說，已知圖像與 x軸交于不同的兩點，設二次函數的解析式為，根據題目條件求出a的值。題型四 求二次函數平移后的新解析式例4 已知二次函數y=x22mx+m2+3（m是常數）（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；（2）把該函數的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點？分析：（1）求出根的判別式，即可得出答案；（2）先化成頂點式，根據頂點坐標和平移的性質得出即可（1）證明：=（2m）24×1×（m2+3）=4m24m212=120，方程x22m

9、x+m2+3=0沒有實數解，即不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；（2）解答：y=x22mx+m2+3=（xm）2+3，把函數y=（xm）2+3的圖象延y軸向下平移3個單位長度后，得到函數y=（xm）2的圖象，它的 頂點坐標是（m，0），因此，這個函數的圖象與x軸只有一個公共點，所以，把函數y=x22mx+m2+3的圖象延y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點探究提高：先將已知函數的解析是寫成頂點式y = a( x h)2 + k，再利用拋物線平移的規律：“左加右減，上加下減”求解。即當圖像向左（右）平移n個單位時，就在x h上加上（減去）n；當圖像向上（下）

10、平移m個單位時，就在k上加上（減去）m其平移的規律是：h值正、負，右、左移；k值正負，上下移。由于經過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變。題型五 求二次函數翻折后（對稱）的新解析式例4如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2（x0）與y2=（x0）于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交y1于點D，直線DEAC，交y2于點E，則= _分析：設A點坐標為（0，a），利用兩個函數解析式求出點B、C的坐標，然后求出AB的長度，再根據CDy軸，利用y1的解析式求出D點的坐標，然后利用y2求出點E的坐標，從而得到DE的長度，然后求出比值即可得解解答：解：設設A點坐標為（0，a）

11、，（a0），則x2=a，解得x=，點B（，a），=a，則x=，點C（，a），CDy軸，點D的橫坐標與點C的橫坐標相同，為，y1=2=3a，點D的坐標為（，3a），DEAC，點E的縱坐標為3a，=3a，x=3，點E的坐標為（3，3a），DE=3，=3故答案為：3探究提高：先把原函數的解析式化成y = a( x h)2 + k的形式，然后，（1）如果關于x軸對稱的兩個圖象的頂點關于x軸對稱，兩個圖象的開口方向相反，即a互為相反數。（2）如果關于y軸對稱的兩個圖象的頂點關于y軸對稱，兩個圖象的形狀大小不變，即a相同。（3）如果關于經過其頂點且平行于x軸的直線對稱的兩個函數的圖象的頂點坐標不變，開口方

12、向相反，即a互為相反數（三）二次函數的應用問題題型一最值問題例1 最大利潤問題某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y1（元）與國內銷售量x（千件）的關系為：y1=若在國外銷售，平均每件產品的利潤y2（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系為y2=（1）用x的代數式表示t為：t=6x；當0x4時，y2與x的函數關系為：y2=5x+80；當4x6時，y2=100；（2）求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤w（千元）與國內銷售數量x（千件）的函數關系式，并指出x的取值范圍；（3）該公司每年國內、國外的

13、銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？分析：（1）由該公司的年產量為6千件，每年可在國內、國外市場上全部售完，可得國內銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6x；根據平均每件產品的利潤y2（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系及t=6x即可求出y2與x的函數關系：當0x4時，y2=5x+80；當4x6時，y2=100；（2）根據總利潤=國內銷售的利潤+國外銷售的利潤，結合函數解析式，分三種情況討論：0x2；2x4；4x6；（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據二次函數的性質，求出三種情況下的最大值，再比較即可解答：解：（1）由題意，得x+t=6，t=

14、6x；，當0x4時，26x6，即2t6，此時y2與x的函數關系為：y2=5（6x）+110=5x+80；當4x6時，06x2，即0t2，此時y2=100故答案為6x；5x+80；4，6；（2）分三種情況：當0x2時，w=（15x+90）x+（5x+80）（6x）=10x2+40x+480；當2x4時，w=（5x+130）x+（5x+80）（6x）=10x2+80x+480；當4x6時，w=（5x+130）x+100（6x）=5x2+30x+600；綜上可知，w=；（3）當0x2時，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此時x=2時，w最大=600；當2x4時，w=10x2+8

15、0x+480=10（x4）2+640，此時x=4時，w最大=640；當4x6時，w=5x2+30x+600=5（x3）2+645，4x6時，w640；x=4時，w最大=640故該公司每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元探究提高：（1）求解最值問題首先將二次函數的一般式()化成頂點式。如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值）當時，函數有最小值，并且當，；當時，函數有最大值，并且當，如果自變量的取值范圍是。如果頂點在自變量的取值范圍內，則當，。如果頂點不在此范圍內，則需考慮函數在自變量的取值范圍內的增減性；如果在此范圍內

16、隨的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內隨的增大而減小，則當時，當時，（2）求解最大利潤問題需要知道的公式：單價商品利潤=商品定價商品售價（價格變動量）=商品定價商品售價（或者直接等于商品調價）；銷售量變化率=銷售變化量÷引起銷售量變化的單位價格；商品總銷售量=商品銷售量±×銷售量變化率；總利潤（W）=單價商品利潤×總銷售量其他成本題型二二次函數的綜合運用例3如圖，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x2）2+k經過點A、B，并與X軸交于另一點C，其頂點為P（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使ABQ是以AB

17、為底邊的等腰三角形，求Q點的坐標；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長（第3題圖）分析：（1）先求出直線y=3x+3與x軸交點A，與y軸交點B的坐標，再將A、B兩點坐標代入y=a（x2）2+k，得到關于a，k的二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設Q點的坐標為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E在RtAQF與RtBQE中，用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3m）2，解方程求出m=2，即可求得Q點

18、的坐標；（3）當點N在對稱軸上時，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對角線，根據拋物線的對稱性及正方形的性質，得到M點與頂點P（2，1）重合，N點為點P關于x軸的對稱點，此時，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，則四邊形AMCN為正方形，在RtAFN中根據勾股定理即可求出正方形的邊長解答：解：（1）直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，A（1，0），B（0，3）又拋物線拋物線y=a（x2）2+k經過點A（1，0），B（0，3），解得，故a，k的值分別為1，1；（2）設Q點的坐標為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E在RtAQF中，AQ2=AF

19、2+QF2=1+m2，在RtBQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q點的坐標為（2，2）；（3）當點N在對稱軸上時，NC與AC不垂直，所以AC應為正方形的對角線又對稱軸x=2是AC的中垂線，M點與頂點P（2，1）重合，N點為點P關于x軸的對稱點，其坐標為（2，1）此時，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，四邊形AMCN為正方形在RtAFN中，AN=，即正方形的邊長為探究提高： 解二次函數綜合題的一般步驟：(1)分析題意，利用已知量，接觸拋物線的未知數；(2)根據題目的意思，作出動點并連接相關各點；(3)利用二次函數圖像、性質，以及一次方程、一元二次方程、三角形、四邊形等知識，進行求解；(4)作答五、小結六、課后作業 1（2014年云南)拋物線y=x22x+3的頂點坐標是 2（2014揚州，第16題，3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的對稱軸是過點（1， 0）且平行于y軸的直線，若點P（4，0）在該拋物線上，則4a2b+c的值為 3（ 2014珠海，第9題4