1、2013中考總結復習沖刺練： 動態幾何問題【前言】從歷年中考來看，動態問題經常作為壓軸題目出現，得分率也是最低的。動態問題一般分兩類，一類是代數綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多種函數交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說，動態問題是中考數學當中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼高分。在這一講，我們著重研究一下動態幾何問題的解法， 第一部分 真題精講【例1】（2012，密云，一模）如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發沿線段以每秒1個單位長

2、度的速度向終點運動設運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態條件和靜態條件之間的關系求解。對于大多數題目來說，都有一個由動轉靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發現，和這些動態的條件密切相關的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態條件之間也是有關系的。所以當題中設定MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發，列出方程，自然得出結果。【解

3、析】解：（1）由題意知，當、運動到秒時，如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形， （根據第一講我們說梯形內輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內，將動態問題轉化成平行時候的靜態問題） （這個比例關系就是將靜態與動態聯系起來的關鍵） 解得【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論： 當時，如圖作交于，則有即（利用等腰三角

4、形底邊高也是底邊中線的性質）， 解得 當時，如圖，過作于H則， 當時， 則 綜上所述，當、或時，為等腰三角形【例2】（2012，崇文，一模）在ABC中，ACB=45º點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運動試判斷線段CF與BD之間的位置關系，并證明你的結論（2）如果ABAC，如圖，且點D在線段BC上運動（1）中結論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC，CD=，求線段CP的長（用含的式子表示） 【思路分析1】本題和上題有所不同，

5、上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們去分析由D運動產生的變化圖形當中，什么條件是不動的。由題我們發現，正方形中四條邊的垂直關系是不動的，于是利用角度的互余關系進行傳遞，就可以得解。【解析】：（1）結論：CF與BD位置關系是垂直； 證明如下：AB=AC ，ACB=45º，ABC=45º由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90º， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90º即 CFBD【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構筑一

6、個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。（2）CFBD(1)中結論成立 理由是：過點A作AGAC交BC于點G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45º BCF=ACB+ACF= 90º 即CFBD【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關系即可求出CP.（3）過點A作AQBC交CB的延長線于點Q， 點D在線段BC上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=

7、4-x，易證AQDDCP， ， ， 點D在線段BC延長線上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 過A作交CB延長線于點G，則 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】（2012，懷柔，一模）已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變設求與的函數關系式；（3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由ADCBPMQ60°【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問

8、和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60°，這個度數的意義在哪里？其實就是將靜態的那個等邊三角形與動態條件聯系了起來.因為最終求兩條線段的關系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關系.怎么證相似三角形呢? 當然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）證明：是等邊三角形是中點 梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩) (設元以后得出比例關系,輕松化成二次函數的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數，很輕易就可以求出當X取對稱軸的值時Y有最小值。

9、接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點，于是問題輕松求解。（3）解： 為直角三角形當取最小值時，是的中點，而以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關鍵就在于當動點移動中出現特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態問題化為靜態問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.【例4】2012，門頭溝，一模已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于，連接，為中點，連接（1）直接寫出線段與的數量關系；（2）將圖1中繞點逆時針旋轉，如圖2所示，取中

10、點，連接，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中繞點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉題。從旋轉45°到旋轉任意角度，要求考生討論其中的不動關系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關系，如何構建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADF

11、E，我們會發現這是一個梯形，于是根據我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現了。（1） （2）（1）中結論沒有發生變化，即證明：連接，過點作于，與的延長線交于點在與中， 在與中， 在矩形中， 在與中， 【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應該止步于此。將這道題放在動態問題專題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應該如何思考。建議有余力的同學自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。可以延長一倍E

12、G到H，從而構造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關系就可以得證了。（3）（1）中的結論仍然成立 【例5】（2012，朝陽，一模）已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將ABE沿直線AE翻折，點B落在點B 處（1）當=1 時，CF=_cm，（2）當=2 時，求sinDAB 的值；（3）當= x 時（點C與點E不重合），請寫出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關系式，（只要寫出結論，不要解題過程）CADB【

13、思路分析】動態問題未必只有點的平移，圖形的旋轉，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發生了變化，哪些條件沒有發生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。圖1【解析】（1）CF= 6 cm； （延長之后一眼看出，EAZY） （2） 如圖1，當點E

14、在BC上時，延長AB交DC于點M， ABCF， ABEFCE， =2， CF=3 ABCF，BAE=F又BAE=B AE， B AE=F MA=MF設MA=MF=k，則MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM=（設元求解是這類題型中比較重要的方法）圖2 sinDAB=； 如圖2，當點E在BC延長線上時，延長AD交B E于點N，同可得NA=NE設NA=NE=m，則B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）當點E在BC上時，y=； （所求A B

15、E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長）當點E在BC延長線上時，y= 【總結】 通過以上五道例題，我們研究了動態幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態出現，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結這種問題的一般思路如下：第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的

16、量，要分析它們和動量之間可能有什么關系，如何建立這種關系。第二、畫出圖形，進行分析，尤其在于找準運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關系。如果沒有靜止狀態，通過比例，相等等關系建立變量間的函數關系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現，很多同學丟分就丟在沒有討論，只是想當然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當中的比例關系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關鍵。第二部分 發散思考【思考1】2012，石景山，一模已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點、分別在、上運動（點與點不重合、點與點不重合），是邊上的動點（點與、

17、不重合），在運動過程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當點為邊的中點時，求證：；（3）設，請探究：的周長是否與值有關？若有關，請用含有的代數式表示的周長；若無關，請說明理由 【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉化在一類關系當中，看是否為定值，如果是關于M的函數，那么就是有關，如果是一個定值，那么就無關，于是就可以得出結論了。【思考2】2012，西城，二模 ABC是等邊三角形，P為平面內的一個動點，BP=BA，若PBC180°，且

18、PBC平分線上的一點D滿足DB=DA，（1）當BP與BA重合時（如圖1），BPD= °；（2）當BP在ABC的內部時（如圖2），求BPD的度數；（3）當BP在ABC的外部時，請你直接寫出BPD的度數，并畫出相應的圖形 【思路分析】本題中，和動點P相關的動量有PBC，以及D點的位置，但是不動的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實上，P點的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點是什么呢？留給大家思考一下【思考3】2012，懷柔，二模如圖：已知，四邊形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=點O為

19、BC邊上的一個動點，連結OD，以O為圓心，BO為半徑的O分別交邊AB于點P，交線段OD于點M，交射線BC于點N，連結MN（1）當BO=AD時，求BP的長；（2）點O運動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當BO為多長時BP=MN；若不存在，請說明理由；（3）在點O運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作C，請直接寫出當C存在時，O與C的位置關系，以及相應的C半徑CN的取值范圍。ABCDOPMNABCD（備用圖）【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關圓的動點問題。在和圓有關的問題當中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態條件。本題第一問比較簡單，等腰梯

20、形中的計算問題。第二問則需要用設元的方法表示出MN和BP，從而討論他們的數量關系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論。【思考4】2012，北京在中，過點C作CECD交AD于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉得到線段EF(如圖1)（1）在圖1中畫圖探究：當P為射線CD上任意一點（P1不與C重合）時，連結EP1繞點E逆時針旋轉 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關系，并加以證明；當P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結EP2,將線段EP2繞點E 逆時針旋轉得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的條件

21、下，設CP1=，S=，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來，難倒了不少同學。事實上就在于如何把握這個旋轉90°的條件。旋轉90°自然就是垂直關系，于是又出現了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關系建立函數式，但是實際過程中很多同學依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非常可惜。建議大家仔細研究這道中考原題，按照上面總結的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。第三部分 思考題解析【思考1解析】（1）證明： ， 又 ， 第25題 （2）證明：如圖，過點作，交于點， 是的中點，容易證明 在中， ， （3）解：的周長， 設，則 ， 即 由（1）知， 的周長的周長 的周長與值無關 【思考2答案】圖8解：（1）BPD= 30 °； （2）如圖8，連結CD 解一： 點D在PBC的平分線上， 1=2 ABC是等邊三角形， BA=BC=AC，ACB= 60° BP=BA， BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD BPD =30° 解二： ABC是等邊三角形， BA