1、本章主要內容本章主要內容 1.1 緒言 一、信號的概念 二、系統(tǒng)的概念 1.2 信號的描述與分類 一、信號的描述 二、信號的分類 1.3 信號的根本運算 一、加法和乘法 二、時間變換第一章第一章 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) 三、沖激函數的性質 四、序列(k)和(k) 1.5 系統(tǒng)的描述 一、系統(tǒng)的數學模型 二、系統(tǒng)的框圖表示 1.6 LTI系統(tǒng)分析方法概述1.1 緒論 一、信號的概念 1. 消息 人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。 感覺、思想、意見等 2. 信息 通常把消息中有意義的內容稱為信息。 本課程中對“信息和“消息兩詞不加嚴格區(qū)分。 信號是信息的載體。通過信號傳遞信息。 信號我們并不陌

2、生，如鈴聲聲信號，表示該上課了； 十字路口的紅綠燈光信號，指揮交通； 電視機天線接受的電視信息電信號； 廣告牌上的文字、圖象信號等等。 為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉換成便于傳輸和處理的信號。3. 信號 一般而言，系統(tǒng)(system)是指假設干相互關聯的事物組合而成具有特定功能的整體。 如 、電視機、通信網、計算機網等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。 信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯系在一起。 信號的產生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。 系統(tǒng)的根本作用是對輸入信號進行加工和處理，將其轉換為所需要的輸出信號。二、系統(tǒng)的概

3、念 一、信號的描述一、信號的描述 信號是信息的一種物理表達。它一般是隨時間或信號是信息的一種物理表達。它一般是隨時間或位置變化的物理量。位置變化的物理量。 信號按物理屬性分：電信號和非電信號。它們可信號按物理屬性分：電信號和非電信號。它們可以相互轉換。電信號容易產生，便于控制，易于以相互轉換。電信號容易產生，便于控制，易于處理。處理。 本課程討論電信號本課程討論電信號-簡稱簡稱“信號。信號。 電信號的根本形式：隨時間變化的電壓或電流。電信號的根本形式：隨時間變化的電壓或電流。 描述信號的常用方法描述信號的常用方法1 1表示為時間的函數表示為時間的函數 2 2信號的圖形表示信號的圖形表示-波形波

4、形 “信號與信號與“函數兩詞常相互通用。函數兩詞常相互通用。1.2 信號的描述和分類二、信號的分類 1. 確定信號和隨機信號確定信號和隨機信號 可以用確定時間函數表示的信號，稱為確定信號或可以用確定時間函數表示的信號，稱為確定信號或規(guī)那么信號。如正弦信號。規(guī)那么信號。如正弦信號。 假設信號不能用確切的函數描述，它在任意時刻的假設信號不能用確切的函數描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性，取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性，如在某時刻取某一數值的概率，這類信號稱為隨機如在某時刻取某一數值的概率，這類信號稱為隨機信號或不確定信號。信號或不確定信號。 電子系統(tǒng)中的起伏

5、熱噪聲、雷電干擾信號就是兩種電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號就是兩種典型的隨機信號。典型的隨機信號。 研究確定信號是研究隨機信號的根底。研究確定信號是研究隨機信號的根底。 本課程只討論確定信號。本課程只討論確定信號。確定信號與隨機信號波形確定信號與隨機信號波形 在連續(xù)的時間范圍內(-t有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。 這里的“連續(xù)指函數的定義域時間是連續(xù)的，但可含間斷點，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。 時間和幅值都為連續(xù)的信號稱為模擬信號。2. 連續(xù)信號和離散信號根據信號定義域的特點可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。離散時間信號 僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡

6、稱離散信號。假設幅值也離散就為數字信號。 這里的“離散指信號的定義域時間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數值，其余無定義。 如右圖的f(t)僅在一些離散時刻tk(k = 0,1,2,)才有定義，其余時間無定義。相鄰離散點的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號等間隔的離散信號也常稱為序列。其中k稱為序號。 上述離散信號可簡畫為 用表達式可寫為或寫為f(k)= ，0，1，2，2，0，1，0，通常將對應某序號通常將對應某序號m m的序列值稱為第的序列值稱為第m m個樣點的個樣點的“樣值樣值。3. 周期信號和

7、非周期信號 周期信號(period signal)是定義在(-，)區(qū)間，每隔一定時間T (或整數N，按相同規(guī)律重復變化的信號。 連續(xù)周期信號f(t)滿足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2, 離散周期信號f(k)滿足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2, 滿足上述關系的最小T(或整數N)稱為該信號的周期。 不具有周期性的信號稱為非周期信號。 解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，假設其周期之比T1/T2為有理數，那么其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數。 1sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為 1

8、= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于T1/T2= 3/2為有理數，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數2。 2 cos2t 和sint的周期分別為T1=s， T2= 2 s，由于T1/T2為無理數，故f2(t)為非周期信號。例1 判斷以下信號是否為周期信號，假設是，確定其周期。1f1(t) = sin2t + cos3t 2f2(t) = cos2t + sint 解f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m =0,1,2,例2 判斷

9、正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號，假設是，確定其周期。式中稱為正弦序列的數字角頻率，單位：rad。由上式可見：當2/ 為整數時，正弦序列周期N = 2/ 。當2/ 為有理數時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N= M(2/ )，M取使N為整數的最小整數。當2/ 為無理數時，正弦序列為非周期序列。)(sin)2(sinmNkmk 解1 sin(2k) 的數字角頻率為1 = 2 rad；由于2/ 1 =為無理數，故f2(k) = sin(2k)為非周期序列。 2 sin(3k/4) 和k)的數字角頻率分別為1 = 3/4 rad， 2rad 由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2

10、= 4為有理數，故它們的周期分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數8。 由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號一定是周期信號， 而正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。例3 判斷以下序列是否為周期信號，假設是，確定其周期。1 f2(k) = sin(2k) 2f1(k) = sin(3k)4能量信號與功率信號 將信號f (t)施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功 率為| f (t) |2，在區(qū)間( , )的能量和平均功率定義為 1信號的能量 2信號的功率假設信號f (t)的能量有界，即E ,那么

11、稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時P = 0假設信號f (t)的功率有界，即P ,那么稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時E = 相應地，對于離散信號，也有能量信號、功率信號之分。時限信號時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為能量信號; 周期信號屬于功率信號，而非周期信號可能是能量信號，也可能是功率信號。有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如 f (t) = e t。 從數學表達式來看，信號可以表示為一個或多個變量的函數，稱為一維或多維函數。 語音信號可表示為聲壓隨時間變化的函數，這是一維信號。 而一張黑白圖像每個點(像素)具有不同的光強度，任一點又是二維平面坐標中兩個變量的

12、函數，這是二維信號。還有更多維變量的函數的信號。 本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。5一維信號與多維信號6因果信號與反因果信號 常將t = 0時接入系統(tǒng)的信號f(t) 即在t 0，那么將f ()右移；否那么左移。 如平移與反轉相結合 f(t)如以下圖所示，請畫出f(2-t)法一：先平移f (t) f (t +2), 再反轉f (t +2) f ( t +2) 法二：先反轉 f (t) f ( t)再平移f ( t) f ( t +2)= f (t 2)通信系統(tǒng)通信系統(tǒng)為傳送消息而裝設的全套技術設備包括傳輸信道。為傳送消息而裝設的全套技術設備包括傳輸信道。發(fā)送發(fā)送設備設備信息源信息源發(fā)送端

13、發(fā)送端接收端接收端消息消息信號信號信號信號消息消息信宿信宿信道信道接收接收設備設備噪聲源噪聲源3. 尺度變換橫坐標展縮 將f (t) f (a t) ， 稱為對信號f (t)的尺度變換。 假設a 1 ，那么波形沿橫坐標壓縮；假設0 a 1 ，那么展開。如 信號的尺度變換在實際生活中的例子對于離散信號，由于對于離散信號，由于f (a k) f (a k) 僅在為僅在為a k a k 為整數時才有為整數時才有意義，意義， 進行尺度變換時可能會使局部信號喪失。因此進行尺度變換時可能會使局部信號喪失。因此一般不作波形的尺度變換。一般不作波形的尺度變換。見見p10 三種運算的次序可任意。但一定要注意始終

14、對時間t 進行。 例：f (t)，畫出f ( 4 2t)。平移、反轉、尺度變換相結合平移、反轉、尺度變換相結合也可以先壓縮、再平移、最后反轉。也可以先壓縮、再平移、最后反轉。1.4 階躍函數和沖激函數 階躍函數和沖激函數不同于普通函數，稱為奇異函階躍函數和沖激函數不同于普通函數，稱為奇異函數。研究奇異函數的性質要用到廣義函數或分配數。研究奇異函數的性質要用到廣義函數或分配函數的理論。函數的理論。 這節(jié)課首先直觀地引出階躍函數和沖激函數。這節(jié)課首先直觀地引出階躍函數和沖激函數。 一、階躍函數一、階躍函數 下面采用求函數序列極限下面采用求函數序列極限 的方法定義階躍函數。的方法定義階躍函數。 選定

15、一個函數序列選定一個函數序列n(t)n(t)如下圖。如下圖。階躍函數性質：階躍函數性質： 1可以方便地表示某些信號 r(t)=t (t),斜升函數斜升函數f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2)2用階躍函數表示信號的作用區(qū)用階躍函數表示信號的作用區(qū)間間 問：如何用階躍函數表示如下信號問：如何用階躍函數表示如下信號二、沖激函數 單位沖激函數是個奇異函數，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義由狄拉克最早提出也可采用以下直觀定義：對n(t)求導得到如下圖的矩形脈沖pn(t) 。高度無窮大，寬度無窮小，面積為高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖

16、。的對稱窄脈沖。沖激函數與階躍函數關系可見，引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在。如f(t) = 2(t +1)-2(t -1) f(t) = 2(t +1)-2(t -1)三、沖激函數的性質1 1. 與普通函數f(t) 的乘積取樣性質 假設f(t)在t = 0 、t = a處存在，那么？沖激偶信號沖激偶信號 對沖激信號(t)求時間導數，得到一個新的奇異信號，即沖激偶信號，其表示式為 ( )( )dttdt0t(t)見書見書p14門函數門函數 以下圖所示矩形脈沖g(t)常稱為門函數。g(t)1-/2-/20 t特點特點:寬度為，幅度為1。2|, 02|, 1)(tttg利用移位階躍函數，門函數

17、可表示為：利用移位階躍函數，門函數可表示為：)2()2()(tttg二、沖激函數的廣義函數定義二、沖激函數的廣義函數定義 廣義函數廣義函數 選擇一類性能良好的函數(t)(檢驗函數)，一個廣義函數g(t)作用在(t)，得到一個數值Ng(t), (t)。 廣義函數廣義函數g(t)可以寫成可以寫成)(),()()(ttgNdtttg沖激函數的廣義函數定義沖激函數的廣義函數定義)0()()(dttt)()()(11tdtttt移位移位沖激函數的導數(t) (t) 也稱沖激偶 (t)的定義：)0( )()( fdttft ?)( dtt)()()(11tdtttt移位移位0的定義：例題例題?)()(tn

18、(t) 的尺度變換？復合函數形式的沖激函數 實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函數，其中f(t)是普通函數。并且f(t) = 0有n個互不互不相等的實根相等的實根ti ( i=1，2，n)；)(.)( 21)()()(2iiiiiiitttftttftttftftf見書見書p22f(t)可以展開成泰勒級數可以展開成泰勒級數 假設假設f(t)=0的的n個根個根t=ti都是單根，即在都是單根，即在t=ti處處f(ti)0，那么在，那么在t=ti附近有：附近有：)(| )( |1)( )(iiiitttftttftf)(| )( |1)(1iinitttftf是位于各是位于各ti處，處，n個沖激函數

19、構成的沖擊函數序列。個沖激函數構成的沖擊函數序列。例：假設f(t)=4t2-1,那么有)21(41)21(41 142ttt1.4 1.4 系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)分類：系統(tǒng)分類： 按數學模型的不同按數學模型的不同, ,系統(tǒng)可分為系統(tǒng)可分為: :即時系統(tǒng)與即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng); ;連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng); ;線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng); ;時變系統(tǒng)與時不變時變系統(tǒng)與時不變( (非時變非時變) )系統(tǒng)系統(tǒng)等等等等. . 1 1、即時系統(tǒng)指的是在任意時刻的響應、即時系統(tǒng)指的是在任意時刻的響應( (輸出輸出信號信號) )僅決定與該時刻的鼓勵僅決定與該時刻的鼓勵(

20、(輸入信號輸入信號),),而而與它過去的歷史狀況無關的系統(tǒng)。與它過去的歷史狀況無關的系統(tǒng)。 2 2、如果系統(tǒng)在任意時刻的響應不僅與該時刻、如果系統(tǒng)在任意時刻的響應不僅與該時刻的鼓勵有關而且與它過去的歷史狀況有關的鼓勵有關而且與它過去的歷史狀況有關, ,就就稱之為動態(tài)系統(tǒng)。稱之為動態(tài)系統(tǒng)。系統(tǒng)的數學模型系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述3、當系統(tǒng)的鼓勵是連續(xù)信號時,假設響應也是連續(xù)信號,那么稱其為連續(xù)系統(tǒng)。4、當系統(tǒng)的鼓勵是離散信號時,假設其響應也是離散信號,那么稱其為離散系統(tǒng)。5、連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,可稱為混合系統(tǒng)一、系統(tǒng)的數學模型一、系統(tǒng)的數學模型數學模型數學模型: :系統(tǒng)根本特性

21、的數學抽系統(tǒng)根本特性的數學抽象象, ,是以數學表達式來表征系統(tǒng)的是以數學表達式來表征系統(tǒng)的特性特性. . 描述連續(xù)系統(tǒng)的數學模型是微分方程微分方程, 而描述離散系統(tǒng)的數學模型是差分方程。差分方程。系統(tǒng)分析的根本思想：系統(tǒng)分析的根本思想：1. 1. 根據工程實際應用，對系統(tǒng)建立數學模型根據工程實際應用，對系統(tǒng)建立數學模型。通常表現為描述輸入輸出關系的方程。通常表現為描述輸入輸出關系的方程。2. 建立求解這些數學模型的方法。建立求解這些數學模型的方法。)()()()(tutututuscRL)()(tuCtic)()()(tuRCtRitucR)()()(tuLCtiLtucL )(1)(1)()

22、(tuLCtuLCtuLRtusccc 例：寫出右圖示電路的微分方程。例：寫出右圖示電路的微分方程。Us（t）LR+ - +-Uc（t）C解：根據解：根據KVL有有利用以上各元件端電壓與電流的關系可得：利用以上各元件端電壓與電流的關系可得：二、系統(tǒng)的框圖表示二、系統(tǒng)的框圖表示 系統(tǒng)的數學模型所包括根本運算： 相乘、微分、相加運算。 將這些根本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。積分器的抗干擾特性比積分器的抗干擾特性比微分器的好。微分器的好。1 1、表示系統(tǒng)功能的常用根本單元有、表示系統(tǒng)功能的常用根本單元有: :積分器：積分器：見書

23、見書p25系統(tǒng)模擬： 實際系統(tǒng)實際系統(tǒng)方程方程模擬框圖模擬框圖 實驗室實現實驗室實現指導實際系統(tǒng)設計指導實際系統(tǒng)設計 例例1 1：y y(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。畫框圖。 解：將方程寫為解：將方程寫為y y(t) = f(t) ay(t) (t) = f(t) ay(t) by(t)by(t) 例二見書例二見書p25某連續(xù)系統(tǒng)如以下圖所示，寫出某連續(xù)系統(tǒng)如以下圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。該系統(tǒng)的微分方程。 y(t)+ f(t)- x(t) x(t) x(t) a0 b0 b2 b1解：解：圖中有兩個積分器，因

24、而系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。設右端積分器的輸出為x(t)，那么各積分器的輸入分別是 x(t),x(t)。左方加法器的輸出為)()()( )( 01tftxatxatx 為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去x(t)及其導數。及其導數。右方加法器的輸出為右方加法器的輸出為)()( )( )(012txbtxbtxbty)() () (0001020 xabxabxabya)() () (1011121xabxabxabya )( ) ( ) ( 012xbxbxby以上三式相加并整理得：以上三式相加并整理得：)()( )( )()( )( 01201tfbtfbtfbtyatyaty

25、二、離散系統(tǒng) 設第k個月初的款數為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數為y(k-1)，利息為y(k-1), 那么y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k) 即y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 假設設開始存款月為k=0，那么有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。 所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，稱為差分方程的階數。上述為一階差分方程。1. 解析描述建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數量的款，月息為元/元，求第k個月初存折上的款數。 由n階差分方程描述的系

26、統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。 2. 差分方程的模擬框圖 根本部件單元有： 數乘器，加法器，遲延單元移位器例：框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。例：框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。 解：設輔助變量x(k)如圖x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2) 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 方程框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。根據框圖求解微分或差分方程根據框圖求解微分或差分方程的一般步驟：的一般步驟：(1)選中間變量x()。對于

27、連續(xù)系統(tǒng),設其最右端積分器的輸出x(t);對于離散系統(tǒng)，設其最左端延遲單元的輸入為x(k)；2寫出各加法器輸出信號的方程；3消去中間變量x()二、離散系統(tǒng) 設第k個月初的款數為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數為y(k-1)，利息為y(k-1), 那么y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k) 即y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 假設設開始存款月為k=0，那么有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。 差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，稱為差分方程的階數。上述為一階差

28、分方程。1. 解析描述建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數量的款，月息為元/月，求第k個月初存折上的款數。 由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。 2. 差分方程的模擬框圖 根本部件單元有： 數乘器，加法器，遲延單元移位器)例：離散系統(tǒng)框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。例：離散系統(tǒng)框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。 解：設輔助變量x(k)如圖 x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)， 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得2y(k-1)=2*4x (k-2) +2*5x(k-3) 3y(k-2)=3

29、*4x(k-3)+3*5x(k-4) y(k)+ 2y(k-1)+ 3y(k-2), 得: y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 方程框圖用變換域方法和梅森公式比較簡單，后面討論。 解：設輔助變量解：設輔助變量x(t)如下圖。如下圖。 由左端加法器得由左端加法器得例：框圖如以下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。例：框圖如以下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。 x(t) x(t) x(t) y(t)+ f(t)- 3 2 4 5)()(3)( 2)( tftxtxtx) 1 ()()(3)( 2)( tftxtxtx 由2式可知，響應y(t)是x(t)及其各階

30、導數的線性組合，因而以y(t)為未知變量的微分方程左端的系數應與式1相同。 由2式得 由右端加法器得由右端加法器得)2()( 4)(5)(txtxty)( 43)(53)(3)( 42)( 52)( 2)( 4)( 5)( txtxtytxtxtytxtxty)(3)( 2)( 4)(3)( 2)( 5)(3)( 2)( txtxtxtxtxtxtytyty)( 4)(5tftf根據框圖求系統(tǒng)數學模型的一般步驟：根據框圖求系統(tǒng)數學模型的一般步驟：(1)選中間變量x()。 對于連續(xù)系統(tǒng),設其最右端積分器的輸出x(t); 對于離散系統(tǒng)，設其最左端延遲單元的輸入為x(k)；2寫出各加法器輸出信號的方

31、程；3消去中間變量x()1.6 系統(tǒng)的特性和分析方法系統(tǒng)的特性和分析方法 連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為： 1、線性的和非線性的；、線性的和非線性的； 2、時變的和時不變非時變的；、時變的和時不變非時變的； 3、因果的和非因果的；、因果的和非因果的； 4、穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的。、穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的。 本書主要討論線性時不變系統(tǒng)本書主要討論線性時不變系統(tǒng) 1線性性質 系統(tǒng)的鼓勵f ()所引起的響應y() 可簡記為y() = T f ()。 線性性質包括兩方面：齊次性和可加性。 假設系統(tǒng)的鼓勵f ()增大a倍時，其響應y()也增大a倍，即T af () = a T f ()那么稱該系

32、統(tǒng)是齊次的。 假設系統(tǒng)對于鼓勵f1()與f2()之和的響應等于各個鼓勵所引起的響應之和，即T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 那么稱該系統(tǒng)是可加的。線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：滿足線性性質的系統(tǒng)。 假設系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，那么稱該系統(tǒng)是線性的，即 Ta f1() + bf2() = a T f1() + bT f2() ？2動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動態(tài)系統(tǒng)不僅與鼓勵 f () 有關，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)有關。初始狀態(tài)也稱“內部鼓勵。完全響應可寫為y () = T f () , x(0) 當動態(tài)系統(tǒng)滿足以下三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)： 可分解性： y () = yzs

33、() + yzi() = T f () , 0+ T 0，x(0) 零狀態(tài)線性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 (齊次性) Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0 (可加性) 或 Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0零狀態(tài)響應為零狀態(tài)響應為yzs() = T f () , 0零輸入響應為零輸入響應為yzi() = T 0，x(0) T0,ax(0)= aT 0,x(0) (齊次性) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)

34、 ( (可加性可加性) ) 或或 T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)零輸入線性：零輸入線性：注：三個條件缺一不可注：三個條件缺一不可例題例題 解：1 yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) yzs(t) yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性。 2 yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t)滿足可分解性； 由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t)不滿足零狀態(tài)線性。 故為非線性系統(tǒng)。例1

35、：判斷以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？1 y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 12 y (t) = 2 x(0) + | f (t)|3 y (t) = x2(0) + 2 f (t) 3 yzs(t) = 2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，顯然滿足可分解性； 由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不滿足零輸入線性。 故為非線性系統(tǒng)。3 y (t) = x2(0) + 2 f (t)y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性； Ta f1(t)+ b f2(t) , 0例2：判斷以下系統(tǒng)是否為線性

36、系統(tǒng)？= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態(tài)線性滿足零狀態(tài)線性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-t x1(0)+ be-t x2(0)= aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 滿足零輸入線性滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 滿足時不變性質的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。 1時不變性質 假設系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應也延遲多少時間， 即假設T0，f(t) = yzs(t) 那么有 T0，f(t - td) = yzs(t - td) 系統(tǒng)的這種性質稱為 時不變性或移位不變性 解(1)令g (k) = f(k kd) T0，g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而y (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然顯然T0，f(k kd) = y (k kd) 故該系統(tǒng)是時不變故該系統(tǒng)是時不變的的. . (2) 令g (t) = f(t td) T0，g (t) = t g (t) = t f (t td) 而y (t td)= (t td) f (t td) 顯然顯然T0，f(t td) y (t td) 故該系統(tǒng)為時變系故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。統(tǒng)。例：判斷以