1、面元為基礎的曲面造型的人砂帶磨削任湘陽1，MUELLER Heinrich2，KUHLENKOETTER Bernd1（1Robotics，多特蒙德大學，多特蒙德 44227，德國）（2Informatik 七，多特蒙德，多特蒙德 44227，德國的大學）郵箱：xiangyang.ren UNI-dortmund.de收到 2006 年 4 月 10 日;修訂接納 2006 年 4 月 19 日摘要：本文中用于人砂帶磨削模擬的新自由曲面建模技術提出基于 從曲面近似點集生成，并可以方便的實現離散面元的元素。一 本地過程模型利用面元表示法的優點來計算材料的去除速率和最終表面磨削誤差，可以容易地進行

2、。與該系統的幫助下，化的制造過程中可能出現的問題。人程序員可以提高路徑和通過可視：曲面造型，面元，皮帶，磨削DOI：10.1631/jzus.2006.A1215 文獻標識碼：A號：TP39引言數控（NC）制造工藝的和驗證技術自 20 世紀 70 年代末已開發和很多顯著成就已經實現。這種技術在開發和質量具有重要的影響 。該設計 CAD 模型可以生幾乎減少甚至消除對昂貴的實驗測試材料。如果任何潛在的問題，如以保證質量。由于這些特點，一般情況下，數控切割過程碰撞，不當的參數或泥被發現在模擬過程中，制造過程可以進行調整， 和驗證有很大的希望降低成本，提高質量和時間推向市場的縮短。技術可分為兩組：分析

3、方法和近似方法。前者可準確地描述制造過程和計算材料的去除速率。但復雜性的容積公式化和費時布爾集合運算防止其廣泛的應用。 相反，第二種方法近似于工件由一組離散的基本要素和過程模擬是通過修改這些代表元素。它實現了更好的性能，而不嚴重危害的準確性。分析方法這些方法大多是直接的實體建模方法，如建設性的立體幾何（CSG）和邊界表示（B_Rep）能夠模擬材料的建模系統通過一系列正規化布爾的去除過程差運算減去連續的工具從工件上掃過容積。其結果是一個工件的明確的實體模型。川島等人（1991）所使用的特殊的幾何造型方法所謂 Graftree 加快這一實體建模方法，這使得準確和精確的代表性 在工件和工具的。一個

4、octtree 有助于減少光線相交的數目計算的渲染。找到另法掃描體的包絡的準確表示被 Sourin 和巴斯科（1996）選擇了。雖然這些方法可以從理論上模擬和驗證過程準確，他們的應用程序仍然是有限的掃過容積的復雜性制定和耗時的渲染過程。 這樣的一些近似的方法有被設計出來。近似方法范胡克（1986）開發的實時陰影顯示適合制造模型。工件和刀具的幾何形狀通過 dexels 來表示另外幾何更新通過在一維的布爾操作集 dexels 實現。黃和 Olive（r 1994）擴展了這一方法克服視點依賴問題，并介紹了錯誤評估的可能性?？履嵯：?Gröller（1998）開發了一種新方法來模擬基于非均勻

5、材料在 DEXEL 模型。此外，他們的方法有經過優化的低端圖形硬件。齋藤和高橋（1991）也使用的延伸 z 緩沖方法（稱為 G-緩沖區）來模擬數控機械。 Jerard 等人（1989）提出了一種完全不同的方法。該設計表面近似由一組點。工件被通過這些點和相關聯它們的法線向量表示 。該矢量被縮短到超過或削弱誤差量時移動他們的工具。這種方法是非常有效的錯誤的評價，但是不便于計算 材料去除速率。Ayasse（2003）用了一個很粗目為支撐網，其上連續矢量場是站著的，與每個矢量長度由一個的高度場決定。該程序是用實施 V 型投影和 V-的拍攝。格萊澤和 Gröller（1998）應用微分幾何技術

6、有效地產生移動的工作容積銑刀。交點計算進行了一數據結構，稱為-緩沖區。楊振寧與李政道（1996）還開發了適合于線切割的方法，其中切削只是做在工件的側面。這些方法的比較可再（格萊澤和 Gröller，1998）發現。研究意義上文提到的大多數方法都是最初開發的數控銑削 工藝。但 人 的皮帶磨削有其自身的特點。其去除量是很多的函數變量，包括切削參數，環境參數和材料特性，而不僅僅是在信封的刀具輪廓。它被用作整理處理與股票大致 ，這意味著工件股票和之間的差設計的對象是相當小的。與比較 銑削或車削過程中，模擬砂帶磨削的要 得多。因此它是 重要的是要找到一種適當的方式來表示工件，它可以方便的模擬材

7、料去除。這種方法的目的是考慮到砂帶磨削的特點并維持先前近似的優勢技術。這種方法的目的是考慮到砂帶磨削的特點并維持先前近似的優勢技術。我們利用最新成就在基于點的渲染的面積和它合起來與離散向量的方法來開發新的自由形式砂帶磨削工件的代表性模擬。 磨削誤差評估可以很容易地進行這種表示形式。自由形狀面元為基礎的建模曲面從根本上說，所有的近似模擬技術離散工件取利用圖像空間渲染。它們包括一個選定的底（支架）和一組某一種的基本元素組成。范胡克（1986）和齊藤和高橋（1991）使用選定的 xy 平面為基礎，近似固體與一維的元素稱為 DEXEL 或 G-緩沖液中。Jerard 等人（1989）根據其離散化過程在

8、連續光滑的表面和應用的集合與上點相關的法向量該表面以表示工件而 Ayasse（2003）只是把表面三角形網格作為支持基礎。隨著基于點的發展渲染技術（Levoy 和懷特迪，1985; Pfister 等人，2000; Rusinkiewicz 和 Levoy，2000; Zwicker 等，2001），但它確實使一些有意義的通過均勻和密集表示工件采樣點和一些基本要素與它們相關聯。表面離散化術語“面元”是一個縮寫為表面元件或表面體素的體繪制和離散拓撲文學。赫爾曼（1992）中定義的面元中的取向路的（d-1）維對象。為（D= 3），這對應于一個導向單元方（素面）和與體素的思想相一致作為小立方體。 P

9、fister 等人（2000）改性的定義作為一個零維 n 元組與形狀和陰影屬性的局部逼近對象表面。在保持與 DEXEL 或 Gbuffer 的約定，我們把它適應我們的應用程序，并重新定義它為：一個面元是一種面向圓盤，這在當地接近的物體表面，延伸在正常方向，包括形狀信息，燈罩，位移和鄰居的屬性。因此，該面元數據結構的設計應該包括的位置和方向，紋理信息，局部微分幾何鄰居和一些修改標志。其實，它看起來更像是一個 DEXEL 表示方法參數化的空間，如圖 1 所示（見頁 1222）。在第一步驟中生成的面元為基礎的表示的光滑表面是近似表面由一組采樣點。兩方面決定取樣時，應考慮密度。一個是磨削的錯誤過程。從

10、另一個角度來看，它也是曲面近似誤差。因為一個點是分段常數面逼近，由此而來近似功率是線性的，這意味著給予樣品皮，近似之間的平均高度 H 相對于每個坐標誤差函數是為了（h）條。由此產生的問題數是平方成正比，所要求的精度。另一個方面是視覺偽影。通常表面應均勻采樣，但偶爾我們要改變它，以提高渲染效果在后面的章節。通常情況下，抽樣方法進行離散化對象作為幾何參數的函數表面上，如曲率或輪廓。這物體空間離散通常會導致過多的或過少的原語進行渲染。 Pfister 等人（2000 ）離散對象對齊圖像的空間符合預期的輸出分辨率。他們采樣幾何模型從一個立方體的三面分為三正交的 LDI ，稱為分層深度立方體（LDC）。

11、光線投射所有的路口，并生成surfels 在每個交叉點。表面的法線通過凹凸和置換貼圖是波瀾不驚。最不發達采樣后，得到的點集有減少，以消除冗余。Mueller 等人（2003）研制的對象的體積表示使用類似的技術被稱為多 DEXEL 。它包括三個正交的常規 DEXEL 量，是相當適合銑削。首次提出了表面繪制橢圓的提示圖標目的由 Zwicker 等（2001） 。據微分幾何形狀，例如橢圓形是最佳的線性近似平滑的表面。因此它是優于三角形網格，但仍然保持了 C - 1連續性和提供更好的拓撲的靈活性。雖然該橢圓圖示似乎是最好的一個對象的渲染目的的近似，它是不適合的材料去除過程這就要求工件的非常密集的采樣表

12、面，以確保所要求的精度。如果的橢圓，然后在一定的我們可能會得到一些橢圓的長 UI 或六區軸。在系他們的一小部分，然后就變得非常立足該面元數據結構上過程中，切割器可聯難以處理這樣的情況，因為大橢圓應該下滑和重新采樣。因此，我們采用密集采樣點的面元數據為基礎結構。最不發達的采樣是容易實現，而且可以還原后生成均勻分布點。但也有一些缺點，即表面時帶有高曲率變化和特征。在現階段最自由曲面進行處理被表示為樣條曲面，該裝置它們可以被看作是二維域并且，在這些規則網格的頂點域可以作為點集。更電網由 u 和 v 等值線生成，更高的密度表面采樣得到。由于表面地，順利地描述，更差幾何屬性可以得到。在面元為基礎的模型表

13、示，支持基礎是近似點集的設計表面和工件的庫存被表示位移沿法線方向的各點。這樣的設計曲面的離散化后，下一步驟是計算的位移。既然我們已經得到的位置和 eachpoint 的方向，相應的光線形成，并用于計算與股票曲面相交。該過程很相似，光線追蹤。作為精庫存材料。因此產生的位移介于小多交點過程中，帶研磨除去少量從一條光線和工件股票不太可能發生。否則，就需要進行特殊處理，以避免偽影的效果。雖然這是一個的過程之前的模擬中，生成速度仍是一個重要的問題，特別是大型和復雜的工件。因此，要加快計算，我們安排股票面在空間數據結構。鄰里和法線有兩種類型的法線向量相關聯的與面元的數據結構。一個是法線方向的設計表面近似點

14、。它 也是基點的延伸方向。另一為以后正常流離失所點位移計算。前者可直接抽樣設計的表面，而當獲得后者對過程呈現很大的影響并有使用其他技術來產生。一的方法是通過分析局部估計它附近各點。這些本地社區通常使用構造或者歐幾里德不考慮鄰里或 k-近鄰的連接信息?？紤]表面采樣方法以前通過，我們可以發現，點集由規則柵格的各頂點在 2D 參數域和該連接信息是明確的。所以正常的攝動技術，例如作為凹凸貼圖或置換貼圖，似乎是一個理想的選擇估計的法向量位移點。 Blinn 明（ 1978）介紹了凹凸測繪作為一種技術，使表面出現粗糙或起皺。這種效果是通過擾動實現在一個表面上的表面法線，猶如一個高度場流離失所的表面的方向原

15、有的表面正常。由于凹凸貼圖只改變一個對象的外觀，它使某些近似。標準技術的凹凸貼圖假設凹凸只是一個大頭微位移和的，因此幅度高度場是可以忽略不計。由于幾何形狀保持不變，在輪廓一些缺點和陰影被引基面是由一個矢量函數定義 P（U，V），它定義 3D 點（X，Y，Z）的表面上。法線的基面是由 N 定義（U，V）并用 D 的位移標尺欄位（U，V）。兩者的這些被定義在同一個域作為基面 P（U，V）。取消以下這些符號的點在新的流離失所表面 PN（U，V）被定義為P (u,v) = P(u,v) + D(u,v) N (u,v),(1)當然而，事情在我們的應用程序有點不同?；媸窃O計的 splatted 表面上

16、，而置換貼圖是不是一個給定的變量。相反，它是從獲得的結果射線追蹤程序。這意味著，N（U，V）中方程（1）是已知的事。我們的任務是唯一確定點在新的法向量偏移表面。這個程序是所描述的相同 Blinn 明（1978）。的法線矢量與這個新的表面是通過采取它的偏導數的叉積而得。N = P2u × P2v (2)如上面提到的那樣，位移的范圍圖 D（U，V）相比小到可以忽略整體 。所以 U DN'和訴 DN'可丟棄， 并且新的法線向量可以簡化 下面的等式。入。位移 是一個方法通過定義一個偏移量來呈現表面細節（位移）從基面。它不同于凹凸 在該表面的幾何形狀也是修改，而不是只擾動法線。

17、這結果在一個更真實的渲染那里的流離失所幾何圖形可以在輪廓中可見一斑。位移 的基本思想是非常簡單的?；嫜仄浞ň€擾動使用在指 移的位移值圖。作為結果的新位移面是創建。多格特和 Hirche （ 2000 ）中定義這個如圖 2 所示的數學框架。圖 2 位移算法由于受影響地區的法向量保持在過程中發生變化，這是很重要的在為了計算鄰居點擾動動態。如遇大型變形，不僅是位移貼圖沒有任何有效的多，也嚴重的視覺假象會發生。在這種情況下， 該技術描述這里不再適合和布爾運算上面元數有界的固體可以被認為是另一種（Adams 和 Dutre，2003）。夏普特征表示當使用 surfels 表示工件用鋒利的特點，一些渲染

18、的問題會出現。一是走樣其中大多發生文物對面沒有任何補丁的邊界鄰近的補丁。它原來是更嚴重當該面元半徑變大。 Zwicker 等 人（2001）所使用的表面的局部覆蓋的片段實現邊緣抗鋸齒。Chhugani 和庫瑪（2003）提出了一個解決方案，這降低了在邊界或輪廓上點的大小。它可能導致的表面之后的未覆蓋區域或孔采樣。夏普特點，通常被一些組成連接在一個非平穩的方式修補，這表示邊界的正常值有明顯的不連續性鄰近補丁。這些功能通過面元造成嚴重的視力問題圖 3 中的左畫面顯示。Chhugani 等。通過平滑緩解這個問題法線邊界附近。這些法線被平均與相鄰附近的邊界點補丁。但它有一個致命的缺點時所采用面元表示，

19、因為它改變了擴展基準點的方向。Pauly 等人（2003）所使用的延伸介紹了表面潑灑技術在（ Zwicker 等，2001）。這個裁剪技術可以產生完美的視覺效果。但一些不正規的形狀可以從削波，這是很難得出來形容我們的新面元的元素。因此，我們開發另一種潑灑技術，所謂的“邊界重新取樣” ，以消除這兩個邊緣混疊和銳利的特征表示在所示圖 3。圖 3 夏普特色的代表性例子這個想法是由亞當斯的工作和啟發 Dutre（2003 年），誰使用裁剪和分割逼近兩種固體的交線。在我們的方法，我們掃描的設計后，每面元表面離散化。如果它位于所述貼片邊界，則對下一個面元的距離相同的邊界曲線 L 的計算方法。根據一個用戶定

20、義的分割值 e，的數目新surfels 可以計算當 n= L/ E。該這些 surfels 的中心是 C= C0+ Ie 和半徑指定為 e。那些 surfels，其半徑較大比邊界曲線的距離也發現和半徑被調整以提高渲染。人砂帶磨削模擬根據上述技術，威肯現在實行的使用 SURFELS人帶的模擬磨削工藝。工件由下式表示 surfels 和彈性接觸輪，具有磨削安全帶及固定裝置的人制造單元組成多邊形。預先定義的研磨路徑是由接觸點。在每一個接觸點，接觸情況是由本地化確定程序，以計算的作用力。然后實際去除分布由本地計算過程模型。材料的去除，可以模擬通過不斷修改 surfels 受影響區域。以這種方式，消除了

21、產生體積不犧牲精度淘汰如果兩個接觸點之間的距離為足夠小。所設計的工件進行研磨通常是由 B_Rep 代表，包括一些樣條補丁。為了生成該面元表示，它必須被 splatted。采樣的密度相關到 FEM 網格，這是決定的分辨率由用戶指定的精度。越細的網格是，密度較大的表面采樣率。對于每個補丁，這是一個組件的邊界的特征，一重新采樣過程被施加到滿足顯示質量的要求。那么對于一個給定股票，每個面元元素的流離失所點其計算方法是光線投射。去除計算內的自由曲面磨削過程材料去除運算是中的一個最重要的，也許也是最的方面。整個系統通過逐步推動從工件的庫存中減去材料。正如上面提到的，它不能使用布爾集合運算該工具包絡和工件之

22、間一樣車削或銑削工藝。相反，計算應根據經驗模型考慮到考慮很多影響參數。在這樣的復雜的局面，線性全球磨由 HAMMANN（1998）給出的模型不適合了。特別是，當地的非受力均勻在接觸區域的分布，必須考慮和其他制造參數的影響還需要進一步研究。該過程可以被劃分分為三個步驟：接觸情況確定，強制分布計算和清除計算。第一個介紹的幾何交集研磨帶與工件之間，這將被用于獲得在接觸區域中的第二階段。那么其他參數包括獲得最后的拆除。全過程可以表示為圖 4 中所示（參見第1222） 。在應用中，工件被表示由 surfels 和股票組成流離失所者該 surfels 點。在每個接觸點預先的路徑，那些surfels 的流離

23、失所點位于上方的接觸切面是被發現。我們選擇的切平面為 X-Y 平面和項目每個受影響的面元流離失所點于該平面，以獲取其 Z 值。根據需要有限元法，這些隨機分布的點用于通過推斷來生成規則網格網或在這些網格點插值 Z 值在沒有數據存在?？死锔瘢▕W利弗和斯特，1990）是更靈活的法，并且是對于網格化幾乎任何類型的數據集非常有用。同大多數數據集，克里格法與線性變差是相當有效的， 并產生最佳的總體解釋。對于較大的數據集，但是，克里格可以是相當緩慢的。所以快，但不太精確的 Shepard的方法（謝潑德， 1968）采用提真效率。作用力是不容易的，因為測量 該傳感器是難以安裝，以獲得快速變化的過程中局部高動力

24、分配高速磨削。因此，近似解是非常流行在這方面如果變形足夠小。然后，它可以被視為全彈性變形和應變-應力的經典理論模型可以被應用。一旦變形信息彈性接觸輪是已知的在作用力的接觸面積，可按照還計算經典的應力應變關系。計算轉出是一個Signorini 問題和有限元分析是一種在解決它首先不言而喻技術（百隆和薩特邁耶，2000;。Blum 等人，2003）。最后，其它工藝參數的影響應結合在一起，產生的結果這是記在過程模型磨削。局部模型不是簡單地采取單數量為力或切除，但目前使用整個接觸區域的當地情況值的格局。廣義的局部模型 HAMMANN 的模型（HAMMANN，1998），可以表示為其中，r 是材料去除速率

25、，CA 是恒定 通過實驗決定，KA 是結合常數的阻力系數，kt 為磨皮帶的磨損因子，Vb 是磨削速度，Vw 為工件進料速度，LW 是在研磨區的寬度和 FA 是接觸輪與部分之間的作用力。特別是，其中 m 和 n 是離散的網格在兩個方向上的接觸面積。在這個模型中，力 FA 或去除速率 r 不再是一個 1值參數，但是這表示整個離散矩陣在接觸區域的信息。它含有較多的比全球磨削模型，是信息適用于自由曲面的磨削。插圖對一個磨點這些步驟在圖 5 中所示（見 1222 頁）。砂帶磨削模擬在規定的路徑中的每個接觸點都有兩個屬性：位置和方向。位置是笛卡爾坐標 P 在人基座X，Y，Z坐標系和是的在這一點上，本地框架

26、。雖然不同類型的人有不同的方式來表示定向，我們選擇人。以保證近似精度，相鄰觸點的距四元數 R W，X，Y，Z為標準方法。轉換時可能需要應用于各種離點應足夠小。因此對于預先計劃路徑，一些額外的點可能需要添加。該這些點的位置可以被線性內插的在圖 6a 所示。關于旋轉，它是比較復雜的。因為我們知道，所有的四元數到一個超球在空間。與線性問題元數的內插（線性插值）是它 interpolatesalong 的兩個四元數之間的割線但不是他們的球面距離。其結果是， 內插運動不具有平滑的速度：它可能加快在一些路段太多了。球形線性插補（slerp），如圖 6b 所示，去除這個問題，通過沿圓弧線條，而不是插值的割線

27、線。雖然高階插值可以達到 C2 的連續性，slerp 可以得到滿足相對較低的計算結果成本。接觸點圖 6 插值。（一）直線插補的位置;方向的（B）球面線性插值Q1 和 Q2，插值之間的第 i 個點結果為：其中，=阿科斯（Q1Q2）。圖 7（見 1222 頁）示出的水的例子點選磨削沿的路徑之一。磨削誤差評估其中一個模擬的目標是幫助人程序員估計最終的零件表面質量。所以這是非常重要的，以評估磨削誤差，以看看是否有任何問題，如鑿或咬邊發生。該錯誤通常被描述為差異該面元為基礎的研磨面之間和設計的光滑表面。對于面元元，這意味著位移的面元之間的距離點和所設計的表面。所以這個驗證程序通常被轉換成計算表面近點。最

28、近點計算的用于復雜曲面的算法是基于這樣的事實，即一個空間點之間的最小距離 P 和一個面 S 發生在其中一個表面點 Q 向量 PQ 是垂直于表面的切線平面。該屬性的非 linearequations 一個系統，并通過使用牛頓/拉夫遜解決迭代搜索過程。在 DEXEL 模型中，所有的元件是垂直于所選擇的基準平面和誤差估計問題被轉換成計算所述表面附近的點之間的問題該 DEXEL 點和設計曲面。它可以是通過上述方法解決，如果精心選擇初始點被選中。黃和奧利弗（1994）提出了處理前的體素數據結構在所有的設計曲面的包圍盒構造提供近距離足夠的出發點。與 DEXEL 數據結構相比， surfelbased 表示

29、在分析一個很大的優勢磨削誤差。 surfels 的基點是設計圖面潑灑的輸出，并恰好位于該表面上，而位移點僅僅是移動沿著一定的距離方向的表面法線向量的。所有我們需要做的是計算之間的距離基準點和流離失所點，每個面元元并與誤差容限相比較。如果最終長度大于上限較長（假設該公差范圍為 TL ， TH ） ，然后咬邊發生。否則，如果它是下面的下限，那么它導致剜。迭代過程來找到表面附近的點被省略，并且計算的時間僅正比于面元元件數（ （ n）的。由于只有那些受影響的面元一個接觸點需要被更新，程序已經限制了搜索區域。所以 theefficiency 可以進一步提高。結果磨削誤差評估是由幾個可視化色調描繪了磨削深

30、度。色相指數為基于錯誤安排而對于一個給定建 1 面元的磨削誤差，對應的顏色是挑來代表它。例如，在圖 8b （見 1222 頁）深綠域的誤差范圍內相對于設計的標稱容差范圍表面上，而外面的明亮區域代表咬邊和內側黃色表示的量的剜。圖 1 參數化面元坐標系圖 4 去除計算程序圖 5 計算去除一個接觸點。 （a）以磨削路徑的接觸點;那（二）方式的情況 點; （三）強制分布從接觸的情況計算;（四）在接觸區的最終去除分布圖 7 水龍頭磨。 （一）工件股票經過地面 3 磨削點; （二）工件股票整個地面打磨后的路徑圖 8 磨削誤差評估。 （一）3 后分析點磨削; （二）整個路徑分析后磨碎有兩種實現方式評估：評估

31、和事后分析。磨錯誤評估計算之間的差異設計面與股票和動態顯示。這種方法更生動的瞬間觀察員。相比之下，后分析計算所有的刀具路徑后，錯誤已被處理。這是明顯地更有效。結論我們已經提出了一個面元為基礎的曲面造型 技術，人的砂帶磨削模擬。它結合了近期的發展 基點的建模和渲染技術，傳統的離散向量去除過程可以在交互式可視化方法因此是適合于自由曲面的表示工件。有了這個建模技術，材料方法和磨削誤差很容易被評估。通過引入局部打磨模型，該系統可以有效地模擬和恰恰驗證了人程序?；谠摻Y果，點。人程序員可以優化和糾正任何計劃磨削路徑意想不到的情況，如咬邊，圓鑿或點致謝特別感謝是由于張翔和馬利克 Cabaravdic 的建

32、設性意見和建議。參考文獻亞當斯，B.，Dutre，P.，2003?；硬紶柌僮魃厦嬖薪绲墓腆w。 ACM 跨。 。圖，22（3）：651-656。 DOI：10.1145/882262.882320Ayasse，J.，2003 離散位移場：一個多功能表示幾何的模擬計算機計算機輔助制造。博士德，多特蒙德。，大學多特蒙博林，FJ，1978。模擬皺面的。在計算機圖形學第五屆年會和交互技術，SIGGRAPH'78。紐約，美國， 頁 286 - 292。 DOI：10.1145/800248.507101百隆，H.，薩特邁耶，2000。一種自適應有限離散的簡化的 Signorini 問題。 Ca

33、lcolo。，37（2）:65-77。 DOI：10.1007/s100920070008百隆，H.，施羅德，A.，薩特邁耶，2003 年后驗誤差界的有限元方案的模型摩擦問題。威滕-Bommerholz。Chhugani，J.，庫馬爾，S.，2003 年財政預算案采樣曲面設計。 2003 年學術研討會集交互式三維圖形。紐約，美國，第 131-138 頁。多格特，M.，Hirche，J.，2000。自適應查看從屬鑲嵌置換貼圖的。從ACM SIGGRAPH/ EUROGRAPHICS研討會圖形硬件。美國紐約，第 59 頁 - 66。格萊澤，G.，Gröller，E.，1998。高效成交量代在數控銑削的。于：赫格隆，H.C.，Polthier，K.（主編），數學可視化。施普林格，海德堡，第 89 頁 - 106。HAMMANN，G.，1998。Mlierung DES Abtragsverhaltens Elastischer Robotergefuehrter Schleifwerkzeuge。博士，斯圖加特大學，德國斯圖加特。赫爾曼，TG，1992。離散喬丹表面。CVGIP：圖表。模型圖像處理，54（6）:507-515。 DOI： 10.1016/1049-9652（92）90070-E黃翼，奧利弗，黃建忠，1994。數控